數形結合在可視化數學探究中的運用初探

金建偉

[摘? 要] 數形結合的思想是數學中最基本、最重要，也是最本質的思想方法之一。可視化的數學教學將以往傳統的講授式課堂向啟發式課堂轉變，在概念探究、量感探究、算理探究、規律探究中，教師用可視化引領思維，用可視化激活思維，用可視化交流思維，從而讓數學探究活動變得“可視化”。

[關鍵詞] 小學數學教學;可視化;數學探究;數形結合

數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休。”這句話的意思是在數學教學中精確地抓住數與形之間本質上的聯系，將“數”和“形”結合起來可以優勢互補，可以用“形”直觀地表達“數”，用“數”精確地研究“形”。現代數學教學研究也表明：數形結合的思想是數學中最基本、最重要，也是最本質的思想方法之一。數形結合的本質就是將抽象的數學知識（數理、算理、規律）的探究與直觀的圖形巧妙合二為一，以形助數、以數輔形，尋求解題思路，使數學問題從復雜變得簡單、從抽象變得具體。

可視化數學學習，即在學習抽象的數學知識（數理、算理、規律）的過程中讓數學的思維過程外顯化，讓數學算理在實踐操作中摸得著，讓數學思維在視覺表征中看得見。它既是理念，又是行為，學生經歷著“直觀地看”“形象地畫”“出聲地想”等方式。由此可見，數形結合是實現可視化數學學習的重要手段。在數學學習中，研究的對象是抽象化的、形式化的材料，在研究這些抽象的數學材料時，我們需要培養學生的各種數學能力（類比、分析、歸納、演繹、聯想等）。可視化的數學教學將以往傳統的講授式課堂向啟發式課堂轉變，用可視引領思維，用可視化激活思維，用可視化交流思維，從而讓數學學習變得“可視化”。

借助數形結合，促進學生的深度數學學習，提高學生的數學素養。筆者在實際教學中，進行了數學結合可視化的探究，從以下幾方面進行贅述。

一、可視化的概念探究

皮亞杰研究發現，兒童在前運算階段中認識事物以感知具體形象為主，從豐富的表象中進行概括與歸納。數學概念是數學學習的基石，從學科本質角度講要引導學生經歷概念的形成和概念的同化過程，從兒童視覺角度講要讓概念可視、可感、可摸，彰顯概念建構過程中的“思維鏈”。因此，在小學數學的概念教學中，教師應讓概念教學變得可視化，幫助學生理解概念，直至運用。

例如，教學“分數的初步認識”一課，教師用“平均分蛋糕”的實際情境作為支撐，讓學生經歷這樣的幾個概念學習過程。

首先出示“分蛋糕”的情境圖，提問：“4個同樣的蛋糕，平均分給2人，每人分幾個？”喚醒“平均分物”的生活經驗;接著設問：“同樣的2個蛋糕，平均分給2人，每人分幾個？如果只有1個蛋糕，平均分給2人，每人分幾個？你能用合適的數分別表示平均分的結果嗎？”然后，教師利用課件動態演示1個蛋糕，平均分給2人、3人、4人的情形，讓學生初步感悟分數的意義，初步感知同一個蛋糕的“”“”“”究竟有多大;接著，教師用不同大小的圓片，讓學生動手操作平均分成2份，體會他們所操作圓片的“”大小不同，但是都用來表示。

在這樣的概念教學過程中，教師重視了“重現原型”，經歷了“初建表象”，并能將“表征內化”直至“完善結構”。這樣可視化的過程，讓學生在概念的形成、建構的過程中，經歷了概念從“具象化”到“形式化”的轉變，通過橫向與縱向的融會貫通，從“串聯”走向“并聯”，從“可見”走向“想見”，促進了學生的思維的深度發展，體現了可視化概念教學的價值。

二、可視化的量感探究

“量感”是對某種“量”的直覺或敏感度，是人們在實際中主動運用“量”的意識和能力。量感能夠讓人在不借助工具的情況下就能對某個量進行大小等的推斷，或者能夠判斷某個單位表示的量與某種物體實際大小是否相符合。量感的學習在小學階段隨處可見，但是目前在小數課堂上，對量感的學習多重視結果，不重視過程，這不利于量感的形成。因此，教師在教學中應有意識地提供可視化情景，豐富學生的量感學習體驗，引發學生量感學習的需要，促進他們對量感學習的思考，激發他們量感學習的潛能。

例如，在二年級的長度單位“厘米”的學習中，在學生建立了“1厘米”的表象后，教師拿出一根長5厘米的小棒，讓學生不使用測量工具直接估一估這根小棒幾厘米，并說出依據。教師讓學生分組討論后，再全班匯報。有學生說：“我的食指寬約1厘米，我用4根手指并排量，還多了一點點，所以我估計這根小棒大約長5厘米。”有學生說：“我是用食指的寬去量的，量了5次，我估計這根小棒長5厘米。”還有的說：“我的一拃長10厘米，這根小棒差不多是我一拃的一半，我估計是5、6厘米吧。”在學生充分交流后，教師再讓學生用直尺驗證剛才的估計結果。

在這個過程中，教師從學生生活出發，利用常見的數學學具——小棒，把長度單位“厘米”與實際聯系起來，使教學情境可視化，讓學生經歷量感建立的過程。學生在解決的過程中，能夠基于自身的學習習慣和運用量感的經驗進行探究。學生對厘米的概念更精確了，同時豐富了學生的量感體驗以及思維品質。

三、可視化的算理探究

小學生的思維處在從形象思維為主逐步向抽象思維為主過渡的過程，當然小學階段的這種抽象思維很大程度上依賴具象。數學學習尤其是計算學習顯得尤為枯燥而繁雜，教師在計算教學中運用數形結合，既是學生自身的需要，也是后續教學的需要。計算教學中運用數形結合可以幫助學生建模，讓學生經歷對計算法則的直觀理解過程，從而將抽象的數理轉變為形象的認知。

例如，一年級數學教學“20以內數的認識”一課中，認識“個位”和“十位”之間的進率關系時需要引入小棒，教師應設計大量的小棒擺放活動，以便學生理解兩個數位之間的十進制關系。

1. 教師通過9根小棒添上1根就是10根，然后捆成1捆，讓學生體會“1捆就是1個10，也就是10根”;2. 將這1捆放在“十位”，又認識了新的計數單位“十位”;3. 1捆添上1根，就是11根，“11”的兩個“1”對應著“1捆”和“1根”，學生初步感知，同樣的“1”在不同的位置上表示的多少也不同……

這個教學過程中，教師利用充分的數和形相對應，將數位形象化，幫助學生理解了算理，為后續理解“滿十進一”和“退一當十”的算理打下基礎。因此，在計算教學中引入數形結合，可以將無形的計算法則形象化，將抽象的數量關系具體化，有利于學生高效地學習，有利于學生興趣的培養，有利于他們從“怕數學”變成“愛數學”。

四、可視化的規律探究

《數學課程標準（實驗稿）》中指出小學數學的課程目標之一：能從一定的數學情境中發現蘊涵的規律，并在具體情境中運用，發展和培養學生的實踐能力和創新精神。小學數學教材中“找規律”的教學內容在每個年級都有涉及。“規律題”即在已知條件中（或數字或圖形）探索出潛在的規律，并能熟練地運用其中的規律，去解答相應的實際問題。數學教師要善于運用“數形結合”來解決此類“數學規律”的探究問題。

例如，二年級數學“厘米和米”一單元中有一道操作題：“平面上的4個點之間最多可以連多少條線段？”這個題目蘊含著深刻的數學思想，怎樣讓學生找到此類題的規律，并能運用呢？教師可以設計這樣幾個環節：1. 課始，同桌兩人握手，要握幾次？三個人之間每兩人握一次手要握幾次？小組內8人每兩人握一次手，又要握幾次呢？如果全班同學握手呢？學生領悟出這當中肯定有巧妙的方法，不可能一個個地去數，要從簡單的入手找規律;2. 先探究有2個點時連出的總線段數，再列出3個點和4個點的情況，板書出“點數”“增加條數”和“總條數”，之后再讓學生自己探究5個點和6個點時的“點數”“增加條數”和“總條數”，讓學生自己發現規律;3. 利用已有的建模，推算出10個點、20個點時的線段總數;4. 找出1+2+3+4+…的計算規律;5. 回憶這節課發現的規律在平時見過的哪些問題中可以運用。

這個過程中，課始教師巧設握手的游戲，緊扣了例題，引發探究的需要，非常有效;課中在平面內點與線段數之間關系的探究中，通過課件演示和學生畫圖、自主探究，學生經歷著從無序到有序，從雜亂到清晰，學生不再是簡單的模仿者，而是真正成為知識的建構者;課尾，教師讓推算10個點和20個點的線段總數時優化1+2+3+…的計算方法，接著還原生活，解決實際問題。利用“直觀”進行思考，一步步地讓學生體會“化難為易”的數學思想，有效地體現了數形結合的優勢，從而讓規律探究變得“可視化”。

總之，數形結合可以將抽象的數學思維與視覺直觀的認知過程相融合，可以使學生的探究過程變得“化難為易”“化繁為簡”，這不僅可以提高學生的探究興趣，提高知識獲得的流暢感，還可以提高數學能力和數學思維的品質。作為小學教師，要充分發掘并充分利用身邊的素材，無論是適合的教具還是適用的軟件，無論是古老的尺規還是前沿的軟件圖形，都是可以應用的教學資源。

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