滲透思維監控的數學解題教學示例

張昆 張乃達

[摘? 要] 數學解題解題活動具有重要的教學價值. 數學思維監控對于探究數學解題思路、選擇解題路徑、降低數學解題環節中的計算量具有定向、控制與調節作用，是通過數學解題思維活動過程必須培養的一項重要的教學目標. 文章以一道高考題的探究解題思路的實例說明之.

[關鍵詞] 數學解題;思維監控;教學設計

數學問題解決的教學價值在于：其一，培養學生的基本能力，提高學生獨立地分析問題、解決問題能力以及創造能力;其二，加深與鞏固所學習的基礎知識，啟發學生積極思考，提高學生的數學興趣;其三，幫助學生在真實的數學問題解決中形成具體的解決問題的方法;其四，萌生數學問題解決的思維品質，如深刻性、批判性、靈活性、敏捷性等思維品質;其五，促使學生體驗自己的思維方式，感受思維環節中的某些要素的作用，如數學思維監控系統的體驗與感悟;其六，訓練依靠直覺思維獲得解題思路并轉化為說服他人的邏輯表達的能力. 本文舉例說明思維監控結構在數學解題中的作用.

[?]從一個數學解題教學的例子說起

為了理清數學思維的監控結構的概念，為實際數學解題課堂教學滲透數學思維監控找到現實的依據，我們選擇一個典型的解題活動的例子，并從這個例子中的探究解題思路的心理活動說起.

例1 （1983年全國高考數學卷·理·題四）計算行列式（要求結果最簡）：

sinα? cos（α+φ）? cosα

cosβ? sin（β-φ）? sinβ

sinφ? cos2φ? ? ?cosφ

關于這道題解題思路的探析，利用《數學教學論》講授“數學問題解決教學”的處理策略的機會，在高師師范三年級數學師范生課堂上，筆者首先呈示了這道高考題，并且要求學生盡可能快速地分析獲得解決這道題的思路. 結果發現，一部分學生不假思索地利用三階行列式的展開途徑，解決了問題;一部分學生雖然也采用了行列式展開的方式，但在課堂上有限時間里，沒有得到解決問題所要求的最終結論;還有一部分學生運用了行列式的相關性質，而沒有進行行列式展開，比較簡捷地解決了問題;另外一部分學生雖然準備使用行列式性質，在有限時間內卻沒有得到問題的最終結果. 現通過采訪使用行列式性質解決問題途徑的學生，將利用行列式性質探究解題思路的想法敘述如下：

首先，這部分學生認識到，這是一個三階行列式，可以將行列式展開，使其形成一般性的數式變形運算，部分學生直接據此想法展開了行列式，部分學生沒有展開（因為，他們產生了更深層次的思維分析）.

其次，展開行列式與未展開行列式的學生，都遇到了同樣的問題，由于展開行列式產生了六項求和運算的形式，再加上這個和式的每一項的因式中具有兩角和、差或二倍角的三角展開式，如此，又在前述和式的各項中生成的兩相和的因式，從而又分成了十二項的求和運算，每一項中具有三個因子，如此，通過分組分解因式的變形活動將會非常煩瑣（當然，因為筆者敘述所花費的時間比較多，所以學生的思考沒花多長時間便可以完成這種結論. 為了行文方便，記這種解題活動為“展開式方法”），雖然可以解題，但解決問題的技術途徑比較繁雜，將會花費不少時間（那些沒有展開行列式的學生就是使用思維分析的途徑，這便是思維監控的內涵所在）.

再次，由此想到可否拋開“展開式方法”解決問題.

最后，過渡到了審視這個行列式中的元素之間的關系，考慮能否利用其整體結構性，進而考慮可否使用行列式的相關性質獲得解決問題的思路，最終決定使用行列式性質使相關的信息生成解構的途徑，來尋找解決問題的思路，這是一個非常好的想法. 于是，筆者決定采用這種探究思路的方法（為了行文方便，這種方法簡稱為“結構性方法”）.

在“結構性方法”的數學觀念指引下，這部分學生意識到首先使用行列式中的一行（如第三行中）的三個元素，試圖尋獲這三個元素之間可能存在的某種關系，有學生說，他是先將cos2φ展開成cos2φ-sin2φ，結果發現將第三列乘以cosφ，第一列乘以sinφ的相反數，將數乘變換后的第三列加到第一列上去，就使得第三行第一列上的那個元素成為cos2φ，與第三行第二列上的那個元素相同了，檢視第一、第二行中的元素之間經由數乘以后的關系，也得到了與第三行相似的結果，意味著問題已經得到了解決. 現將這部分學生關于例1的這種“結構性方法”解答過程實錄如下：

sinα? cos（α+φ）? cosα

cosβ? sin（β-φ）? sinβ

sinφ? ?cos2φ? ? ? cosφ（等式的性質，行列式的性質）=-·-sinαsinφ? cos（α+φ）? cosαcosφ

-cosβsinφ? sin（β-φ）? sinβcosφ

-sinφsinφ? cos2φ? ? ?cosφcosφ（利用“第三列加到第一列上去，行列式值不變”的性質）=-·cosαcosφ-sinαsinφ? cos（α+φ）? cosαcosφ

sinβcosφ-cosβsinφ? sin（β-φ）? ?sinβcosφ

cosφcosφ-sinφsinφ? ?cos2φ? ? ? cosφcosφ（利用相關的三角恒等式公式）= -cos（α+φ） cos（α+φ） cosαcosφ

sin（β-φ）? sin（β-φ）? sinβcosφ

cos2φ? ? cos2φ? ? cosφcosφ

（兩列相等的行列式的值為零）=0.

這是關于三階行列式的運算或者變形的問題，關于運算或變形能力，十三院校協編組編制的《中學數學教材教法》在論述關于“運算能力”的教學目標時指出，“我們加上了‘正確、迅速與合理的要求. 其實，只有在運算中具有了‘合理的要求，即只有運算步驟、運算過程完全合理，才能實現‘正確、迅速的這種要求，反之，要實現‘正確、迅速的要求，運算也必須要‘合理.”[1]要實現運算的“合理”性，就需要特別強調不能進行盲目運算，盲目性的操作往往使得解題活動過程事倍功半，因此，要發揮思維對于運算步驟、運算過程的指導作用. 那么，在數學解題教學活動中，如何實現數學思維對于數學運算的指導作用呢？為此，我們引入“思維的監控結構”這個概念加以說明.

[?]數學思維的監控結構

通過數學問題解決的思維心理學的研究認識到，在主體的認知結構中存有一個所謂的“思維的監控結構”. 思維監控結構內涵的實質就是，在面臨具體問題時，思維者對于自己的思維及其指導下的操作活動行為的可行性或優劣層級能夠自我意識、自我提醒、自我評價與自我把握，或者就是對認知結構中的發動思維活動某些方向做出認識、評估，進而進行達到結論的可能性的價值判斷，最終做出選擇或者放棄趨近這個方向的思維路徑，簡單地說，這就是主體對于自己的認知活動自身的認識. 關于思維的監控結構，使用一種形象的說法，就是在思維的指導下采取行動時，主體的意識結構中似乎有兩個人，其中一個人在行動，另一個人在評價那個行動的人所發出的行為是否正確、可靠，從而提醒那個行動的人是否選擇或放棄正在執行的行動過程.

那么，在數學解題活動中，當主體面對有些相當難度的問題時，思維監控結構可以發揮怎樣的作用呢？長年的解題活動與解題教學經驗，使我們認識到，思維監控結構在數學解題思維的過程中具有定向、控制與調節等方面的作用.

其一，定向. 思維監控結構的定向作用主要體現在主體對于自己的思維方向的選擇上. 它表現在對于面臨的外在提供的客觀數學化信息的某些要素所組成的輪廓的價值、難度、性質，趨近于最終的解題結果的可能性，思維運動向度的恰當與否做出估計、評價與判斷，從而在啟動行為時做出方向上的選擇.

思維的定向表現在對于思維的課題是否合于某種價值的判斷;還表現于在思維探索方向的選取上，評價這個方向對于問題的解決是否有前途，或者估計這個方向所遇到的困難，所花費的時間等都有所預計. 因此，思維監控結構中的定向，在啟動思維時，于可能產生的眾多方向中確定某一個主攻方向，這個方向對于決定后來的環節具有非常重要的作用，它決定了這個方向是否可以解決問題，在能夠解決問題的前提下，完成這個方向的具體活動是簡潔的，還是煩瑣的，因此，在數學解題活動的教學中，特別要注意培養學生的思維定向這一環節，它直接關乎解題的成功與否，或者解題所花費的代價的高低.

例如，在探究例1這道題的解題思路時，在思維的起始處，所有的學生都沒有繞過“展開式方法”的這一步，在形成這種思維方向以后，有的學生不加思索而盲目地按照這個方向具體地執行下去. 由于過于復雜，結果大部分學生沒有走到最終答案就停止了行動. 此時，對于這批學生來說，如果給予他們充足的時間，其中的一部分學生可能想到選擇其他的方法（“結構性方法”）解決問題，另一部分學生可能放棄這條思路了，這部分學生主要就是沒有充分意識到自己的思維監控結構所發揮的定向作用;還有一些學生在使用“展開式方法”時，沒有盲目地跟進計算操作，而是對于這條思路采用的思維手段加以估計、評價與判斷，認為這條思路解決問題途徑漫長，可能會事倍功半. 于是，轉化為使用“結構性方法”這種途徑的方向上，如此，認識結構中的思維活動就努力趨近于這個方向.

其二，控制. 思維監控結構的控制作用主要體現在主體對于自己的思維方向的控制上. 數學思維的監控結構不僅體現于思維的起點與定向環節，而且貫穿于整個數學解題的思維活動過程之中，這是因為，對于具有一定難度的數學問題，探究思路活動的過程將會呈現于由多個環節所組成的探究活動，其中的每一個比較難的環節都需要啟動與定向，從而表現為思維活動的控制上. 它對于思維活動所組成的環節不斷地進行自我評估、判斷，從而實現每一個環節對于解題結果的作用.

思維的控制表現在對于解題主體認為正確的、有發展前途的那種思維方向的活動給予鼓勵;對于那些干擾信息，或者由思維結構所估計到了的那些雖然可以解決問題但是需要巨大代價的思路做出摒棄或排除;并且對于思維活動的可能進展做出評價;對思維過程中可能出現的錯誤及時地識別、糾正與彌補. 主體對于思維活動的控制，還表現在對選擇的思維策略所具有的清醒態度，在于正確區分猜想與事實，等價轉換與非等價轉換的認識上. 總之，對思維過程的控制是思維預見性與思維實際發生過程相比較的結果，它是進一步對思維過程做出調整的根據.

例如，在探究例1的解題思路時，學生在使用“結構性方法”解決這道題時，如果解題主體探究行列式的“三列”之間數式關系，他可能就會采用將第一列與第三列進行相應的處理，從而獲得處理結果與第二列的具體數式關系. 他可能選擇其中非常熟悉的一行（例如，第三行）中的某個要素作為特例來展開研究，如此，就將思維活動控制在找到解決這種設計的具體操作技術途徑上了，并且堅定地認識到了這種“結構性方法”比“展開式方法”要優越得多的結論，從而堅定了放棄“展開式方法”而選擇“結構性方法”的途徑.

其三，調節. 思維監控結構的調節作用主要體現在主體對于自己的思維方向的調節上. 調節是思維監控結構對于思維活動過程做出評價后采取的應變決策，正是這種調節的作用，才使思維活動成為一種有目的、有控制的組織活動. 在長期實際解題活動中，我們發現許多學生在某一條思路上原地設圈，形成了一種封閉的循環路徑，這可能與其數學知識、解題經驗等有關，但更重要的是，與他不善于進行思維的調節有關;可能也與數學教師沒有細心地培養學生的數學思維監控結構有關.

例如，在探究例1的思路過程中，從“展開式方法”轉化為“結構性方法”就是思維監控結構之下的思維調節活動的過程，其實，這種思維調節活動展現了數學思維的靈活性品質. 如果一個學生不能從“展開式方法”轉化為“結構性方法”，那么他就會花去許多考場上寶貴的時間，還不一定能夠達到最終的這個簡化結果，這將是得不償失的. 由于創造性的數學思維活動在解題時是一種不斷嘗試的過程，因此，必要時就需要經常對思維過程及其成果做出調整[2].

[?]滲透思維監控結構在課堂教學中需要注意的問題

關于通過解題活動過程向學生滲透數學思維監控結構，在中學數學課堂教學中，教師特別要注意的是，不能將這種“展開式方法”與“結構性方法”直白地提供于學生，那樣就會極大地損失數學解題思維活動的教學價值，應該由他們自己選擇，首先出示問題，進行課堂布白，鼓勵學生自行思考探究問題的思路，這樣學生就會自行地發現解決問題的不同路徑或方向;然后，對于這些路徑或方向自己依據各種不同的線索，進行比較與價值評估，從而選擇最優化的方向或途徑，這正是通過解題教學活動過程，滲透思維監控結構的途徑所在. 如此，才能比較好地實現在數學解題教學中滲透數學思維監控結構的目的.

[?]簡要結語

在數學解題活動過程中，真正的解題智慧并非有一套固定不變的原則可依循，而是對應著不同的現實問題的難局，有恰如其分的不同對策，這種“難局”及其產生的“對策”必然需要思維的監控結構的幫助才能實現[3]. 所以愚昧的人，偶爾也會出現深具智慧的反應;倒是聰明的人往往因為緊守著某些原則，遂做出錯誤的判斷來. 因此，數學問題解決中的大智慧其實是“無心”的，不會被既有的原則、經驗和思考方式所局限. 能靈活、彈性地深入變動詭譎的難局里，洞見常人所不能見的問題核心，察知常人所不能知的長遠發展，而其擬定的對策，也往往出乎常人的想象，甚至初看起來是違反常識的，唯有等到問題完全解決，才能看清這深遠通透的智慧來.

參考文獻：

[1]? 十三院校協編組. 中學數學教材教法（總論）[M]. 北京：人民教育出版社，1980.

[2]? 張乃達. 數學思維教育學[M]. 南京：江蘇教育出版社，1990.

[3]? 張昆. 數學解題教學設計的創新實踐研究——基于“美學”的視點[J]. 數學教育學報，2015，24（5）.