關(guān)注概念復(fù)習(xí)深度 提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

李榮軍

[摘? 要] 高三概念復(fù)習(xí)不再是簡單的基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念的重現(xiàn)，其更重要的是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的建構(gòu)與完善，是數(shù)學(xué)思想方法的滲透與提煉，是數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提高與升華. 在高三概念復(fù)習(xí)中，既要準(zhǔn)確把握概念，又要重視其外延的拓展，善于結(jié)合教學(xué)實(shí)際，揭示概念間的聯(lián)系，挖掘蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法，從而拓展概念的長度與寬度，提高概念的高度與深度，促進(jìn)學(xué)生不斷提升能力.

[關(guān)鍵詞] 概念復(fù)習(xí);思想方法;思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基石，是數(shù)學(xué)的靈魂，是學(xué)生理解數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的理論依據(jù)，是提高學(xué)生解題能力的關(guān)鍵，其在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位和價(jià)值是不言而喻的. 若想學(xué)好數(shù)學(xué)則首先要掌握概念，只有這樣才能認(rèn)清問題的本質(zhì)，從而做出科學(xué)的判斷，找到合理的解決方案.

高三數(shù)學(xué)教學(xué)主要以復(fù)習(xí)為主，在復(fù)習(xí)過程中大多數(shù)教師為了追求速度，常常簡化了對概念、公式、定理等基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)、鞏固和拓展. 這在概念復(fù)習(xí)中尤為突出，因?yàn)樵趲熒臐撘庾R(shí)里認(rèn)為概念只要記住就可以了，從而導(dǎo)致學(xué)生對概念的認(rèn)識(shí)不深，也難以關(guān)注概念間的聯(lián)系. 在解題時(shí)常常出現(xiàn)這樣的情況，對于同一類型的題目教師明明做了詳細(xì)的講解，學(xué)生也進(jìn)行了一定的強(qiáng)化訓(xùn)練，但他們在遇到類似的題目時(shí)還是屢屢犯錯(cuò). 究其原因主要是教師把高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的重心放在了解題上，忽視了對基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)和鞏固，從而使得學(xué)生的基礎(chǔ)仍非常薄弱，影響了他們的長遠(yuǎn)發(fā)展. 教師在教學(xué)中切勿急功近利，應(yīng)注意鞏固與強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)，拓展與延伸基礎(chǔ)知識(shí).

在復(fù)習(xí)教學(xué)中如何開展概念教學(xué)呢？筆者認(rèn)為首先師生要改變對概念教學(xué)的片面認(rèn)識(shí);其次要研究數(shù)學(xué)概念的教學(xué)策略. 在復(fù)習(xí)概念時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將相關(guān)或相近概念建立聯(lián)系，同時(shí)重視挖掘數(shù)學(xué)思想方法，并通過恰當(dāng)練習(xí)讓學(xué)生感受概念在解題中的重要價(jià)值，從而激發(fā)他們對概念學(xué)習(xí)的興趣，通過深度挖掘不斷優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知，促進(jìn)學(xué)生提升解題能力[1]. 為了讓學(xué)生能夠精準(zhǔn)地理解并掌握數(shù)學(xué)概念，并可以靈活運(yùn)用概念去解決問題，筆者認(rèn)為在高三進(jìn)行概念復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：

[?] 把握概念的本質(zhì)

在新知教學(xué)中，雖然大多數(shù)教師對概念的形成過程、概念的內(nèi)涵及外延等相關(guān)內(nèi)容都進(jìn)行過重點(diǎn)剖析和探究，但學(xué)生在運(yùn)用概念時(shí)還是會(huì)因忽視符號(hào)的使用范圍，不理解概念的本質(zhì)，或出現(xiàn)遺忘等情況而出現(xiàn)錯(cuò)誤，這就要求教師在復(fù)習(xí)概念時(shí)仍需要花一些時(shí)間去鞏固它們，以保證學(xué)生可以準(zhǔn)確地把握概念[2].

例如在復(fù)習(xí)函數(shù)奇偶性定義時(shí)，奇偶函數(shù)具有如下性質(zhì)：設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)锳，對于任意的x∈A，都有f（-x）=-f（x）（或f（-x）=f（x））. 若只是如此復(fù)習(xí)，則其顯然缺乏深度，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步辨析，當(dāng)x∈A時(shí)，等式中出現(xiàn)了f（-x），所以-x∈A，從而引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注函數(shù)的對稱性. 其實(shí)在判斷函數(shù)奇偶性時(shí)，關(guān)于對稱性這一必要條件的探究是學(xué)生最容易忽視的，為此在復(fù)習(xí)階段教師要善于結(jié)合學(xué)生日常問題進(jìn)行科學(xué)指導(dǎo)，從而通過再思考盡量避免因考慮不周而出現(xiàn)錯(cuò)誤，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，深化他們對函數(shù)奇偶性概念的認(rèn)識(shí).

其實(shí)，對于一些概念的把握，不能僅從概念名詞上去理解，還應(yīng)深入探究，要做到精準(zhǔn)掌握，這樣不僅可以有效地規(guī)避錯(cuò)誤，而且可以拓展學(xué)生的解題思路. 例如函數(shù)奇偶性中的對稱性，在解題時(shí)完全可以應(yīng)用這一必要條件來挖掘一些隱含信息，以此豐富已知，便于學(xué)生找到解題的突破口. 另外，對于重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)卻屢屢犯錯(cuò)的情況，教師要認(rèn)真反思，出現(xiàn)這一情況往往是因?yàn)榻處煛鞍k”所造成的，教師認(rèn)為只要在易錯(cuò)點(diǎn)或重難點(diǎn)進(jìn)行重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)學(xué)生就不會(huì)犯錯(cuò)，但常常事與愿違. 在復(fù)習(xí)階段要以生為主，給學(xué)生一定的時(shí)間去思考、去探究，同時(shí)鼓勵(lì)他們?nèi)ソ涣鳌⑷ケ嫖觯瑥亩鼮槿娴亍?zhǔn)確地把握概念，以此有效避免解題時(shí)出現(xiàn)概念性錯(cuò)誤.

[?] 拓展概念的外延

因受知識(shí)體系的影響，有些概念在新知教學(xué)時(shí)局限于“就事論事”，概念間的聯(lián)系和拓展受到了很大程度的限制，這就給概念復(fù)習(xí)帶來了較好的發(fā)展契機(jī). 在復(fù)習(xí)階段可以引導(dǎo)學(xué)生通過聯(lián)想、總結(jié)、歸納將相關(guān)概念連接起來，從而通過拓展將相關(guān)的、相似的內(nèi)容編織成縱橫交錯(cuò)的概念網(wǎng)絡(luò)，形成一個(gè)完成的概念體系，便于知識(shí)遷移[3].

1. 縱向拓展

在新概念引入階段，教師也會(huì)帶領(lǐng)學(xué)生聯(lián)想與之相關(guān)的概念，從而通過縱向延伸來構(gòu)建知識(shí)體系，但因受時(shí)間和空間的限制，對概念的拓展有限，學(xué)生的概念體系有待完善，這就要求教師在高三復(fù)習(xí)階段打破原有的空間限制，引導(dǎo)學(xué)生去拓展和延伸，從而讓概念更具生命力.

例如對于偶函數(shù)的定義，在新知教學(xué)階段僅是根據(jù)教材內(nèi)容進(jìn)行建構(gòu)，在復(fù)習(xí)階段，教師可以引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變一下思路，換一種說法. 把函數(shù)解析式中的x換成-x，函數(shù)解析式不變，結(jié)合偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱的性質(zhì)，于是得出對于方程f（x，y）=0，如果將x換成-x，方程不變，那么方程f（x，y）=0表示的曲線關(guān)于y軸對稱. 同樣對于奇函數(shù)，將函數(shù)解析式中的x換成-x，同時(shí)y換成-y，函數(shù)解析式不變. 結(jié)合奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的性質(zhì)，可得出對于方程f（x，y）=0，如果將x換成-x，y換成-y，方程不變，那么方程f（x，y）=0表示的曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱. 基于上面內(nèi)容，容易猜想：若方程f（x，y）=0，如果將y換成-y，方程不變，那么方程f（x，y）=0表示的曲線關(guān)于x軸對稱. 這樣通過對函數(shù)奇偶性概念的延伸得到了一般曲線的對稱性，實(shí)現(xiàn)了從特殊到一般的轉(zhuǎn)化，推動(dòng)了知識(shí)體系的建構(gòu)和優(yōu)化.

其實(shí)對于函數(shù)奇偶性的定義，除了向一般曲線延伸外，還可以引導(dǎo)學(xué)生向函數(shù)圖像的一般性對稱延伸. 若函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對稱，則函數(shù)y=f（x+a）為偶函數(shù)，將等式中的x換成-x表達(dá)式不變，即f（a-x）=f（a+x）成立;若函數(shù)y=f（x）關(guān)于點(diǎn)（m，n）對稱，則函數(shù)y=f（x+m）-n為奇函數(shù)，將x換成-x，y換成-y表達(dá)式不變，于是f（-x+m）-n=-（f（x+m）-n），即f（m-x）+f（m+x）=2n.

由此可見，很多概念看似不相關(guān)，但若進(jìn)行深度的挖掘剖析，將其共性特征串聯(lián)起來，可使知識(shí)脈絡(luò)變得井然有序，不僅降低了記憶的難度，而且豐富了概念的內(nèi)涵，使概念復(fù)習(xí)呈現(xiàn)出別樣的精彩.

2. 橫向拓展

有些數(shù)學(xué)概念其定義角度或研究手段往往會(huì)呈現(xiàn)一種共性的特征，因限于學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，在新概念講授階段，概念教學(xué)大多還以教師講解為主. 雖然師生都較好地完成了“教”與“學(xué)”的任務(wù)，但其仍有一個(gè)較大的提升空間. 為此在概念復(fù)習(xí)時(shí)教師要有意識(shí)地將一些有共同點(diǎn)和相似性的內(nèi)容集中在一起，引導(dǎo)學(xué)生通過類比進(jìn)行自主探究. 這樣不僅有利于提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，而且通過橫向拓展有利于培養(yǎng)他們的辯證思維能力.

在復(fù)習(xí)圓錐曲線時(shí)，教師常常會(huì)把橢圓和雙曲線放在一起，借助兩定點(diǎn)距離之和（或之差的絕對值）為定值來理解和應(yīng)用概念，那么在此基礎(chǔ)上是否可以引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究呢？兩定點(diǎn)距離之商（或之積）又會(huì)有什么特點(diǎn)呢？

探究1：若動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B距離之商為定值，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是什么？

經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，若距離之商為不等于1的定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓. 這一知識(shí)點(diǎn)在高考中也常常出現(xiàn).

例1 若AB=2，AC=BC，則S△ABC的最大值是________.

分析：以AB為x軸，AB垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，由若AB=2，AC=BC，可求得動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為圓（x-3）2+y2=8. 得出軌跡方程后，問題自然就可以迎刃而解了，三角形的高的最大值即為圓的半徑，為此S△ABC的最大值為2.

例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線l：y=2x-4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上，若圓C存在點(diǎn)M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.

分析：由已知條件可知圓C的方程為（x-a）2+[y-2（a-2）]2=1，由MA=2MO知，點(diǎn)M的軌跡為圓x2+（y+1）2=4. 本題可轉(zhuǎn)化為關(guān)于兩個(gè)圓的位置關(guān)系問題，于是有1≤≤3，解得a的取值范圍為0

，.

探究2：動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)連線除了距離，還有斜率，若繼續(xù)探究斜率會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？

經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，若該動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的連線斜率存在，且斜率之積為定值m，則當(dāng)m>0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)形成的軌跡為雙曲線;當(dāng)m=-1時(shí)，軌跡為圓;當(dāng)m<0且m≠-1時(shí)，軌跡為橢圓.

在原有概念的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)新概念，探究新結(jié)論，拓展了概念的長度和寬度. 其實(shí)以上新概念、新結(jié)論在解題時(shí)常常會(huì)用到，如果復(fù)習(xí)時(shí)沒有讓學(xué)生經(jīng)歷探究的過程，那么學(xué)生在解題時(shí)自然容易發(fā)生思維障礙，不利于解題效率的提升. 反之經(jīng)過探究不僅強(qiáng)化了原有認(rèn)知，使原概念更加清晰，而且通過探究也豐富了原認(rèn)知，拓寬了學(xué)生的視野，有利于他們構(gòu)建更為完善的學(xué)科體系.

[?] 提煉蘊(yùn)含的思想

在教學(xué)中經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣的情況，學(xué)生不僅將數(shù)學(xué)概念、定理背得滾瓜爛熟，而且也掌握了解題方法和解題技巧，但解題時(shí)還是屢屢受挫，究其原因就是學(xué)生對一些概念、方法學(xué)得過于死板，不能領(lǐng)會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，在解決問題時(shí)難以抓住問題的核心. 要知道學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)單純靠死記硬背是很難有所突破的，為此教師在教學(xué)概念時(shí)要善于揭示問題的本質(zhì)，提煉其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，從而提升概念學(xué)習(xí)的高度.

例3 如圖1，在直三棱柱ABC-ABC中，AB=AC，點(diǎn)E在BC上，BC=4EB，點(diǎn)F在AC上，AC=4AF，求證：直線EF∥平面ABBA.

例3是一道高三模擬考試題，所考查的內(nèi)容主要是線面平行的判斷定理，對于這個(gè)定理學(xué)生都能熟背，也分析出證明該結(jié)論需要過直線EF作平面與平面ABBA相交，證明直線EF與交線平行，由此得出結(jié)論. 思路分析沒有問題，但如何過直線EF作平面呢？很多學(xué)生因?yàn)槲茨軠?zhǔn)確作圖，所以未能給出合理的證明，可見學(xué)生對“兩條相交直線確定一個(gè)平面”這一基本概念并沒有真正掌握. 雖然學(xué)生知曉文字概念，但是并沒有真正地領(lǐng)悟?qū)嵸|(zhì)，在復(fù)習(xí)時(shí)也沒有引起足夠的重視，為此在應(yīng)用時(shí)便無從下手. 在講解本題時(shí)，教師基于學(xué)生問題進(jìn)行深度剖析：如圖2，AC與BC都與平面ABBA相交，所以由相交直線EF，AC所確定的平面與平面ABBA的交線為AG. 當(dāng)然除了利用相交外，還可以應(yīng)用平行，分別過E，F(xiàn)作直線AC的平行線，分別交直線AA，AB于M，N，這樣通過平行線確定過直線EF的平面EFMN，得到交線MN，如圖3.

由此可見，數(shù)學(xué)概念教學(xué)要有一定的高度，不僅要掌握一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，更要重視蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方法的引導(dǎo)下進(jìn)行深度思考，從而通過深度挖掘找到問題的本質(zhì)，高效解決問題.

[?] 溝通概念的聯(lián)系

在高中階段，學(xué)生用數(shù)學(xué)的最直接表現(xiàn)形式就是解題，提升學(xué)生的解題能力自然也就成了師生的共同追求. 但高中數(shù)學(xué)題目綜合性強(qiáng)，若想提高解題能力，則需要學(xué)生站在整體的角度去思考問題，從而更好地溝通知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，順利找到解決問題的突破口.

例如，函數(shù)最值問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考的熱點(diǎn)問題，但函數(shù)最值的定義在教學(xué)中卻沒有引起師生的過多關(guān)注，大多數(shù)教師只要求學(xué)生能夠解決不同類型的函數(shù)最值問題就可以了. 其實(shí)細(xì)細(xì)品味容易發(fā)現(xiàn)，函數(shù)最值概念與不等式求最值、不等式恒成立等問題密不可分.

1. 函數(shù)最值定義與不等式

例4 求函數(shù)y=x2+的最小值.

錯(cuò)解：y=x2+=x2+3+-3≥2-3=1，所以函數(shù)的最小值為1.

以上錯(cuò)誤是學(xué)生的常見錯(cuò)誤，沒有驗(yàn)證取等條件就給出了最值顯然是不合理的. 思考上面的解題過程會(huì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生利用基本不等式解題是沒有問題的，但y=x2+≥1只是一個(gè)不等式，只能說明y值不小于1，并不能說明函數(shù)的最小值就是1，要確定1是最小值需保證1是函數(shù)值，可見不等式與最值既密不可分，但又不完全等價(jià).

2. 函數(shù)最值與不等式恒成立

仔細(xì)探究函數(shù)最值概念可以得到以下結(jié)論：

（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）在D上的最大值為M，最小值為N，則不等式f（x）≤a對x∈D恒成立的充要條件是a≥M;不等式f（x）≥b對x∈D恒成立的充要條件是b≤N.

（2）函數(shù)y=f（x）在x∈D上最大值為M，則不等式f（x）≤M對x∈D恒成立，且能取到等號(hào);函數(shù)y=f（x）在x∈D上最小值為N，則不等式f（x）≥N對x∈D恒成立，且能取到等號(hào).

其實(shí)以上結(jié)論在解決已知函數(shù)最值，求函數(shù)解析式中參數(shù)的值或參數(shù)取值范圍有著重要的應(yīng)用價(jià)值.

例5 設(shè)f（x）=-x3+x2+2ax，當(dāng)0<a<2時(shí)，f（x）在[1，4]上的最小值為-，求f（x）在該區(qū)間的最大值.

分析：本題在求解時(shí)學(xué)生會(huì)先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再研究函數(shù)在[1，4]上的單調(diào)性和極值，從而求出函數(shù)f（x）在[1，4]上的最小值表達(dá)式，結(jié)合已知建立等式求得a，最后將a代入函數(shù)求得最大值. 以上方法為常規(guī)方法，應(yīng)用結(jié)論2會(huì)有別樣的精彩.

解：因?yàn)閒（x）在[1，4]上的最小值為-，所以不等式-x3+x2+2ax≥ -對x∈[1，4]恒成立且能取等號(hào)，分離變量得2a≥. 設(shè)g（x）=，則2a≥g（x），對x∈[1，4]恒成立且能取等號(hào)，所以2a=g（x），x∈[1，4]. g′（x）==，因?yàn)閤∈[1，4]，所以g′（x）>0，g（x）在x∈[1，4]上單調(diào)遞增，g（x）=g（4）=2，2a=2，a=1，此時(shí)f（x）=-x3+x2+2x，求導(dǎo)研究單調(diào)性可知f（x）=f（2）=.

總之，在高三進(jìn)行概念復(fù)習(xí)時(shí)，教師不應(yīng)該僅限于照本宣科地簡單回顧，而是應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行深度挖掘和拓展，進(jìn)而通過橫縱延伸建構(gòu)完善的知識(shí)體系，以此提高學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)遷移能力，培養(yǎng)他們良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，最終提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

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