根植習題“土壤” “生長”數學素養

徐劍

[摘 ?要] 利用課本所賦予的教學功能，關注課本習題的“深加工”，基于“用教材教”的教學理念進行教學，可以促使學生認知結構的不斷完善，促成學生思維的不斷深化，對于提升學生的數學素養來說更是極有意義. 具體來說，課本習題是引出新知的重要源泉，習題多解是拓展思維的內在活力，習題變式是深化理解的外在助力，習題拓展是獲得一般結論的不竭動力.

[關鍵詞] 課本習題;一題多解;變式;拓展;數學素養

從課程改革實施至今，從關注學生“雙基”的培養到當下的核心素養的培育，越發凸顯教學的創造性和發展性. 這樣的大環境下，不少教師盡管已經意識到課堂重心需要轉變，卻沒有認真思考如何實現這樣的轉變，在教法和學法上保留著原有方式，停留在“教教材”的教學模式，無法在真正意義上提升學生的素養.

課本習題是編者從知識內容和課程標準的要求出發精心設計而成的，具有一定的典型性和發展性，是豐富教學設計的良好素材，是數學思維的生長點. 教師的教育智慧體現在對教材的準確理解和教學理念的精準貫徹，從而教師需要吃透課本精神與實質，細細揣摩每個習題，利用課本所賦予的教學功能，關注到課本習題的“深加工”，基于“用教材教”的教學理念，充分實現教學理念與課堂教學的完美契合，為學生開辟一條數學學習的新天地.

課本習題是引出新知的重要源泉

不少教師只知課本習題在鞏固基礎知識技能方面的效能，卻忽視了課本習題在新課引入時同樣具有重要的意義. 良好的開端是成功的一半，富有創意地進入新課是每個教師需要深思的問題，也是長久以來困擾教師的一個難題. 課本習題是引出新知的重要源泉，倘若從學生的已有認知結構出發，基于學生的最近發展區，以課本習題為新知的生長點創設情境，通過問題引領，同樣可以讓學生產生主動探究的欲望，促進思維活動的有效推進.

案例1：以“雙曲線”的導入為例.

出示習題：如圖1，已知圓O內有一定點A，且定長r為圓O的半徑，點P為圓O上的一個動點，線段AP的垂直平分線l與半徑OP交于點Q，試說出隨著點P在圓O上不斷運動時點Q的軌跡，并說明理由.

師：大家還能回憶起這一問題的解答過程嗎？結論是什么？（學生經過回憶，七嘴八舌地說出解答過程，并闡明結論“點Q的軌跡是以點O和點A為焦點的橢圓”）

師：剛才大家的回答都非常精彩. 那么，倘若稍加變換問題，將題目的條件“圓O內有一定點A”變為“圓O外有一定點A”，“半徑OP”變為“直線OP”，則點Q的軌跡又是什么呢？（學生在自身的已有認知中進行猜想和討論，課堂氣氛火熱）

師：下面，通過幾何畫板的演示來驗證大家的猜想. （通過演示，在師生互動和直觀中讓學生感知一個新的曲線）

師：經過剛才一系列條件的變化，點Q滿足什么幾何條件？我們該如何刻畫諸如此類的曲線呢？（引出課題）

評析：傳統數學教學中，教師一般會生硬地拋出概念，讓學生自我消化;而本例中，教師從實際出發，以課本習題為載體創設情境，提出與概念相關的典型問題，不僅可以活躍課堂氣氛，還可以自然而然地讓學生建立感性認知，水到渠成地實現課堂生成.

習題多解是拓展思維的內在活力

日常教學中，開展習題多解的探究可以很好地引導學生全方位地認識和掌握習題，活化所學知識，增強知識之間的聯系，同時也可以拓展學生思維的寬度和維度，培養學生靈活多變的思考方式. 因此，教師可以根據具體的教學內容，靈活地選擇適合“一題多解”的典型習題，讓學生在“一題多解”中積累解題經驗，滲透數學思想，拓展思維活力;同時尋求獨特而簡捷的解題方法，以達到提高解題能力的目的. 這里值得注意的是，習題的多解需要從問題的不同角度展開，標新立異構建不同的思路，而對于一些怪、偏、繁的解法大部分情況下都可以選擇略過.

案例2：一海島長期駐扎著一支軍隊，海島離岸邊最近的點B的距離為150 km，軍需品倉庫則設于岸邊與點B的距離為300 km的點A處，且點A和點B之間有一條鐵路. 倉庫內有一批緊急物資需要在最短時間內運送到海島，可選用海陸聯運的方式進行運送. 火車速度為50 km/h，輪船速度為30 km/h，現試著在岸邊選擇一點C，先火車運送到點C，再從點C處以輪船運送至海島，那么點C選在何處才能使得整個運輸的時間最短？

評析：“一題多解”的目的不僅僅在于解題本身，更在于學生思維的鍛煉. 實踐表明，學生的解法越多，思路越開闊，思維就越靈活. 本例是一道典型的“一題多解”的習題，可以通過判別式法、換元法、數形結合法、導數法等四種方法進行解答. 通過教師的鼓勵、點撥，讓“冰冷的美麗”綻放“火熱的思考”，激發學生主動探索的熱情;學生獨辟蹊徑，形成了登臺展示的火熱場面，解法也就源源不斷地流淌了出來. 合理而有效地運用好“一題多解”的訓練能促進學生思維的生長，在這里得到了很好的詮釋.

習題變式是深化理解的外在助力

由于課本中習題是以靜態的形式呈現的，且受到篇幅性和精華性的影響，不可能過于完善，從而易淡化學生的探究積極性，無法指引學生進行深入探究. 而課本習題大部分都具有可探究性和可變性. 鑒于此，教師在教學的過程中，若是將教材中靜態的數學習題通過聯想和變通，以習題變式的形式呈現，則可以活躍學生的思維，幫助學生理解概念的生成過程和法則的發展過程，加深對知識的理解.

案例3：已知函數f（x）為偶函數，且在區間（0，+∞）上為減函數，試判斷f（x）在區間（-∞，0）上是什么函數，并予以證明.

變式：已知函數f（x）為奇函數，且在區間（0，+∞）上為減函數，試判斷f（x）在區間（-∞，0）上是什么函數，并予以證明.

評析：這是一道典型的習題變式，教師通過對教材習題的充分挖掘與利用，以變式的形式呈現，使得習題教學不再是“就題論題”的模式. 這樣利于加深學生對兩個常用結論的理解和認識，利于指引學生的思維走向深處;這樣學生在教師變式的驅動下探清問題，揭示本質，實現學力的生長. 在這個過程中，學生從中收獲的不再是一道數學習題，而是對一類數學問題的理解和一種主動探究的精神.

習題拓展是獲得一般結論的不竭動力

一些教師在日常練習中不太喜歡運用課本習題，而會選擇從教輔資料中引例或是運用高考題，這是源于他們認為教材習題過于簡單，對發展學生的數學思維毫無益處. 對于這一觀點筆者不敢茍同. 事實上，教材習題不僅利于夯實“雙基”，還可以通過深入挖掘和有效拓展獲得一般結論，同時深化學生的數學思維，以達到對數學知識的真正理解.

案例4：以對“三角函數輔助角公式”的探究為例.

出示習題：化簡：①cosx-·sinx;②sinx+cosx;③（sinx-cosx）;④cosx-sinx.

評析：以上習題是“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”教學中的習題，目的是為了引導學生創造性地逆用公式進行化簡. 經過觀察可以發現，以上四個習題均具備輔助角公式的一般形式，為了讓學生更自然地獲得一般性結論，教師可以讓學生化簡各式，并推導得出輔助角公式;更進一步地，運用輔助角公式再化簡以上各式，以此完美地詮釋其內涵與外顯. 這樣的設計中，通過抽象和提煉，循序漸進地使得學生的認知結構從“認識”上升到“理清”的層面，喚醒學生的靈感，拓展得出一般結論，同時使得學生的數學思維又一次向縱深發展.

總之，是否能超越課本習題的固有設計，靈活運用課本習題，除去需正確理解習題的設計意圖之外，還需做到對學科知識的整體把握. 相較于其他學科，數學有可能更需要把握教材. 如果能在教學設計中把握數學知識的脈絡，關注到課本習題的“深加工”，展開習題多解、習題變式和習題拓展，就能使得教學有的放矢. 只有這樣，才能讓學生所學知識更系統、更具有遷移能力，才能促進學生數學素養的生成以及數學思維能力的形成.

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