數(shù)學實驗：提升學生數(shù)學思維能力的有效載體

俞連山

[摘 ?要] 數(shù)學實驗是提升學生學習能力、發(fā)展學生數(shù)學思維能力的有效載體、媒介. 通過數(shù)學實驗，能轉變學生的學習方式，讓學生的數(shù)學學習從被動轉向主動、從離身轉向具身. 作為教師，要立足整體進行謀劃，通過頂層設計，讓學生收獲一些正本清源的原理認知、去蕪存精的概念理解、斂聚而生的建模意識、刻骨銘心的活動經(jīng)驗.

[關鍵詞] 初中數(shù)學;數(shù)學實驗;思維能力提升

數(shù)學實驗是融合學生數(shù)學思維與操作于一體的一種學習方式. 著名數(shù)學教育家波利亞曾經(jīng)這樣說過：“數(shù)學有兩個側面：其一是系統(tǒng)性的演繹科學;其二是具有試驗性、創(chuàng)造性的歸納科學. ”借助于數(shù)學實驗，能有效地發(fā)掘數(shù)學學科的育人功能，彰顯數(shù)學學科的育人價值，同時能轉變學生的學習方式，讓學生的數(shù)學學習從被動轉向主動、從離身轉向具身. 數(shù)學實驗是提升學生學習能力、發(fā)展學生數(shù)學思維能力的有效載體、媒介，正如歐拉所說：“數(shù)學這樣的一門學科，既需要觀察，更需要實驗. ”數(shù)學實驗能為學生數(shù)學學習提供良好的服務，能讓學生個性化學習落地生根.

數(shù)學實驗：讓數(shù)學思維更有深度

初中生的數(shù)學思維，已經(jīng)開始由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡. 發(fā)展學生的數(shù)學思維是初中數(shù)學教學的根本旨歸. 提升學生的思維能力，不僅可以依靠邏輯推理，還可以依靠數(shù)學實驗. 利用數(shù)學實驗，不僅有助于學生對相關內(nèi)容形成具體、形象的心理表征，更有助于學生展開深度思考、探究. 借助于數(shù)學實驗，提升學生的學習能力，增進學生數(shù)學學習信念，引導學生全息洞察相關內(nèi)容.

比如教學“角的平分線的性質(zhì)”，很多教師總是直接示范如何作角的平分線，然后講解角的平分線的性質(zhì)，最后是對角的平分線的應用. 這樣的教學，盡管也能讓學生掌握作角的平分線的方法，但學生沒有對角的平分線的作圖法的深刻理解. 學生“知其然”，而“不知其所以然”. 因此，為突破這樣的現(xiàn)象，筆者在教學中采用了數(shù)學實驗的方式，引導學生經(jīng)歷角的平分線的建構過程.

問題：我們在紙上畫一個角，如何才能得到它的平分線？我們在一個木板或鋼板上如何得到一個角的平分線？（無法通過量角器測量，也無法折角等.）

觀察：這里有一個角平分儀，如何用這種角平分儀來平分角？其背后的數(shù)學原理是什么？

實驗：我們?nèi)绾谓柚诔咭?guī)作圖的方法作一個角的平分線？用尺規(guī)畫角平分線與用角平分儀畫角平分線有怎樣的相似之處？

探究：角的平分線有什么性質(zhì)？

應用：（略）.

通過這樣的一個作角平分線的實驗教學，讓學生充分經(jīng)歷角平分線的作法的探究過程. 通過激發(fā)學生的認知沖突，引入生活中的角平分儀，對學生的思維、探究進行原型啟發(fā). 在此基礎上借助于尺規(guī)作圖的方法，引導學生建構角平分線，只有當學生深度把握了角平分線的內(nèi)在數(shù)學本質(zhì)，才能引導學生繼續(xù)深入地探究角平分線的性質(zhì)，助推學生對角平分線的靈活應用. 數(shù)學實驗讓學生的數(shù)學思維更有深度.

數(shù)學實驗：讓數(shù)學思維更有廣度

在數(shù)學教學中，如果學生的思維缺乏聯(lián)結，就會走向單子化、碎片化的狀態(tài);而數(shù)學實驗，則能讓學生將相關的數(shù)學知識聯(lián)結起來，從而讓學生的數(shù)學思維更具系統(tǒng)化. 如果學生在數(shù)學學習中，其認知、思維沒有有效集結，就會呈現(xiàn)一種無序狀態(tài). 數(shù)學實驗對于發(fā)展學生的數(shù)學思維是全方位、立體化的，它不僅包括“猜想—驗證”，更包括“分析—探究”. 通過數(shù)學實驗，能豐富數(shù)學學科的育人方式，彰顯數(shù)學學科的育人價值和功能.

比如教學“圓周角”這一部分內(nèi)容，首先和學生一起復習了圓心角的定義、性質(zhì). 不僅讓學生簡單地回顧，還要讓學生借助于數(shù)學實驗驗證“圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等”. 在此基礎上，讓學生在圓周上任意取不同的三點A，B，C，進而建構出圓周角∠ACB. 接著，讓學生借助于多媒體課件進行仿真性的實驗操作并向他們提問：拖動圓周上的任意一點C，圓周角在這個過程中大小會發(fā)生變化嗎？在圓外任意取一點P，然后連接AP，BP，拖動點P，∠APB的大小會發(fā)生變化嗎？在圓內(nèi)任意取一點P，然后連接AP，BP，仍然推動點P，∠APB的大小會發(fā)生變化嗎？通過實驗，讓學生將相關的圓周角和圓心角的知識進行整合，這一過程有助于促進學生的類比思維的發(fā)展. 同時，筆者作了一個在圓上、以圓心角為頂角的等腰三角形，由此引導學生結合頂角（圓心角）、外角和底角之間的關系，讓學生證明圓心角和圓周角之間的關系. 如此，將演繹與歸納、推理與實驗相結合，讓學生的數(shù)學思維更有廣度.

數(shù)學實驗：讓數(shù)學思維更有效度

學生的數(shù)學思維具有獨特性、廣闊性、批判性、敏捷性和靈活性等特質(zhì). 在初中數(shù)學教學中，教師可以充分應用數(shù)學實驗，引導學生從多個視角、多個層面、多個方向、多個結構去審視數(shù)學知識、建構數(shù)學知識，從而讓學生的數(shù)學思維更有效度. 在初中數(shù)學教學中，通過自身活動獲得的數(shù)學知識和能力，遠遠比別人強加的掌握得更加透徹. 為此，教師要讓學生自己設計實驗，引導學生交流實驗方案，讓學生認識到數(shù)學實驗的可行性.

比如“無理數(shù)”概念比較抽象，從人類的認識歷史來看，無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)經(jīng)歷了曲折的過程. 對于初中生來說，無理數(shù)也是需要突破的一個理性認知. 為此，教師在教學中可以借助于數(shù)學實驗，讓學生積累感性的活動經(jīng)驗，為學生理解抽象的數(shù)學知識奠定堅實的基礎. 在實驗過程中，有部分學生借助于數(shù)軸這一數(shù)學認知作為有效載體，采用尺規(guī)作圖的方法作出了無理數(shù). 具體來說，就是先在數(shù)軸上作出一個距原點單位1的點，然后由原點豎直向上再作一個距原點單位1的點，連接作出的兩個點，得到一個等腰直角三角形;以原點為圓心，等腰直角三角形的斜邊為半徑作弧，與數(shù)軸的交點就是的點. 有了這樣的操作，學生紛紛探究用尺規(guī)作圖的方法表示其他的無理數(shù)：有的學生在方格紙上，分別以邊長1、邊長2等的正方形的對角線畫出了，等無理數(shù)，通過這樣的方法，學生能感受到正方形的邊長和面積之間的關系;有的學生用一把剪刀、兩張同樣大小的正方形紙片（邊長為1），將這兩張正方形紙片分別沿著對角線分成兩個相等的等腰直角三角形，然后將這四個等腰直角三角形重新拼接成一個大正方形，這個大正方形的邊長就是;有的學生受到了其他同學的啟發(fā)，用五個邊長為1的小正方形，通過分割拼成了邊長為的大正方形，等等. 通過多樣化的數(shù)學實驗，學生從不同的實驗視角、用不同的實驗方法，積極地建構、創(chuàng)造出無理數(shù)的理解方法. 這樣的實驗過程，較之于教師的機械、重復、枯燥的說教，更有啟發(fā)性、生命力.

數(shù)學實驗，讓數(shù)學思維更有創(chuàng)新度

數(shù)學實驗應當是培育學生創(chuàng)新素養(yǎng)的重要載體、媒介，是學生數(shù)學創(chuàng)新的發(fā)動器、驅(qū)動器. 數(shù)學實驗的目的不僅在于引導學生建構數(shù)學知識，更在于提升學生對知識的創(chuàng)造力、建構力. 數(shù)學實驗打破了傳統(tǒng)的“滿堂灌”“滿堂練”等數(shù)學教學格局，致力于生成學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學生的“數(shù)學的眼光”“數(shù)學的大腦”. 通過數(shù)學實驗，讓學生的數(shù)學思維更有創(chuàng)新度.

比如在引導學生探索“三角形全等條件”時，筆者借助于生活中一些具體的事例，讓學生進行數(shù)學實驗，通過畫圖、疊合等操作，激發(fā)學生猜想，并讓學生驗證自己的猜想，這樣的一種學習方式，讓學生的思維更有創(chuàng)新度. 由此，筆者設置了一個總體性的問題情境：有一塊三角形形狀的玻璃壞了，如何才能去買到一塊完全相同的玻璃？這個問題能激發(fā)學生想辦法去探索兩個三角形全等的條件. 首先讓學生在透明紙上畫兩個指定了一條邊長度的三角形，然后讓學生以小組合作的方式將這兩個三角形的一條邊重合，判斷兩個三角形是否重疊;在此基礎上，讓學生畫兩個指定了角的三角形，同樣以小組合作的方式將兩個角重合，判斷兩個三角形是否重疊;在此基礎上，讓學生增加一些條件，從而引導學生去猜想三角形全等的一些條件，如“三條邊相等”“兩條邊和一個夾角相等”“兩個角和一條邊相等”，等等. 有了數(shù)學實驗的操作，就能幫助學生積累相關的感性經(jīng)驗，從而為學生理性認識三角形全等的條件奠定堅實的基礎.

數(shù)學實驗是數(shù)學學科育人的重要載體，能啟迪學生創(chuàng)新思維，讓學生學會學習. 作為教師，要將學生的數(shù)學實驗過程做深、做到位，要讓學生的動手操作與動腦思維結合起來. 初中數(shù)學實驗是一項創(chuàng)造性的學習，作為教師要立足整體進行謀劃，通過頂層設計，讓學生收獲一些正本清源的原理認知、去蕪存精的概念理解、斂聚而生的建模意識、刻骨銘心的活動經(jīng)驗.

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