數學思想在初中數學函數教學中的應用探討

馮敏

【摘要】在初中數學函數教學中，教師要引導學生熟練掌握并靈活應用數學思想.學生如果能夠巧妙論證并應用數學思想方法，就可牢牢抓住解題關鍵，以此提高數學學習能力.基于此，針對數學思想在初中數學函數教學中的應用相關知識，本文進行了簡單分析.

【關鍵詞】數學思想;初中數學;函數教學;應用

引 言

隨著新課標改革的深入，作為初中階段重要學習科目——數學科目也發生了一定的改變.在以往的課堂教學中，因為數學是高考必考科目，所以教師面臨很大的教學壓力.在實際教學中，很多教師一味追求學生成績，在課堂上為學生灌輸知識以此提高學生成績，但課堂教學效率難以提高.初中階段，函數教學具有重要的意義，其利于闡述地球運動變化規律，同時也是一種數學模型.學生學習函數問題，利于提升其數學思維水平.教師在函數教學中引入數學思想，對提高學生數學核心素養具有非常重要的意義.

1 初中階段數學思想內容

1.1 函數數學思想

初中數學中，變量轉換問題比較常見，對于此類問題，教師往往通過函數數學思想解決.而函數思想是指具化抽象變量，并利用變量關系重新構建函數關系式，再借助這一函數關系式解決實際學習中出現的數學變量轉換問題.由此，我們可以發現，建立函數關系式就是具化抽象問題的過程.教師可引導初中學生深入了解數學知識蘊含的抽象關系，從而從根本上優化和提高學生數學學習效率.

1.2 數形結合學習思想

眾所周知，初中數學中，數形結合思想的應用非常重要，利于提高教師數學教學質量與學生學習效率.初中數學知識可簡單地劃分成幾何與函數兩部分，數形結合思想可在幾何與函數知識間構建聯系，可有效融合抽象與具象化知識.學生掌握這一思想后可很容易地解決數學幾何與函數問題.

1.3 分類討論數學思想

數學中，很多問題有不確定的已知條件，因而其答案也是不確定的.在實際練習中，為了獲得準確答案，學生要結合數學題目中的已知條件進行分類討論，解出不同情況下所對應的正確答案.分類思想與其他數學思想不同，其重視細節分析.

1.4 其他思想

當前，初中數學教學中還有其他數學思想，比如統計、算法、整體及化歸等思想，每種思想對數學學習都發揮著一定的作用.初中數學課堂教學中，教師作為教學組織者與學生學習的引導者，要積極分析教材內容，發掘教材中蘊含的數學思想，并靈活應用這些思想引導學生學習數學知識，加強學生數學思維與修養的培養，從而使學生更好地理解教材中出現的數學概念，提高數學學習自信心.

2 初中函數教學中包含的數學思想

2.1 函數部分包含的數學思想

初中數學教學中，函數部分是整個教學的引入部分，旨在引導學生觀察生活現象，結合圖像、表格填寫與問題分析等方式，導出函數中存在的兩個變量及對應關系.此單元的學習利于學生對函數圖像與變量對應關系形成初步了解，體現了數形結合與函數思想，但其體現程度不高，只是簡單點綴了一下.比如，“自變量可取確定值α，函數對應值是確定且唯一的，這一對應值就是自變量是α的函數值”這句話中，簡單點綴了函數思想，以此增強學生動腦思考的能力.再比如，函數概念中，描述兩個變量間一一對應的關系，這闡述了函數概念的同時也初步體現了函數思想.

2.2 一次函數與正比例函數中包含的數學思想

“一次函數與正比例函數”體現了函數、方程及一般數學思想，而函數思想是體現最多的，其在每章節都有體現，尤其是習題部分最為明顯.比如，一次函數概念中“如果兩個變量x與y的關系式為y=kx+b（其中k，b為常數且k≠0），那么就可將y看作x的一次函數（其中x是自變量，y是因變量）”.y=kx+b是一次函數的一般形式，而y=kx（b=0）是特殊形式，所以利用概念可直接體會一般與特殊的數學與函數思想.

2.3 一次函數圖像中包含的數學思想

“一次函數思想”章節體現了綜合性數學思想，包含函數、方程、數形結合及分類討論等思想，其中函數與數形結合思想體現最多.比如，正比例函數y=kx中，當k>0時，隨著x值的增大y值變大;當k<0時，隨著x值的增大y值變小.此部分中，分類討論k值，以此獲得不同結果，這是以直觀文字展現數學思想的分類討論思想.

2.4 一次函數應用中包含的數學思想

“一次函數應用”中充分體現了函數、方程、數形結合及化歸等各種思想，而函數與數形結合思想是體現最多的.比如，例題中求兩點連成直線與坐標軸構成三角形的面積的問題就是應用函數圖像來進行解答的，體現了數形結合思想.另外，題目中要求解答圍成圖形面積，要先求出三角形兩條直角邊邊長，此時要明確這條直線與x軸、y軸的交點坐標.所以，整個解答過程中，將求圖形面積變為求直線與坐標軸交點問題，充分體現了化歸思想.

2.5 反比例函數中包含的數學思想

學習反比例函數是在學習一次函數的基礎上進行的.初中數學中，反比例函數知識包含反比例函數的定義、反比例函數的圖像與性質、反比例函數的應用三部分知識.第一部分是導入，介紹反比例定義，盡管內容比較簡單，但蘊含的數學思想是非常豐富的，因而對解決實際問題至關重要.第二部分圖像與性質是利用圖像形式探究函數性質，是數形結合思想的體現.第三部分是反比例函數的應用，旨在考查學生對該函數知識及數學思想所掌握的情況與應用意識.

2.6 二次函數中包含的數學思想

初中數學函數知識中，二次函數是最后一種函數類型，也是函數學習中最難的知識點.二次函數作為重難點知識，教師必須要重視此部分內容的教學.另外，二次函數知識與后期圓錐曲線與方程根、函數零點等知識密切相關.初中數學課本中，二次函數部分數學思想以數形結合、函數及方程等各類思想為主，以直觀圖像引導學生深入理解函數概念，從而使學生更好地掌握函數性質.二次函數中也體現了很多模型思想，以課后練習題最為集中，因而教師要深入發掘數學思想并將其與課堂教學融合起來，以此幫助學生學習二次函數知識，并熟練應用其蘊含的數學思想解決實際問題.

3 初中數學函數教學中數學思想應用建議

3.1 有效樹立數形結合思想

數形結合思想是函數概念深化的重要形式.初中數學教師要深入了解函數概念.在日常教學中，初中數學教師要為學生有效滲透函數概念.一次函數圖像表現為一條直線，而二次函數圖像則表現為一條拋物線，不同函數其變化趨勢是升降結合的.反比例函數圖像為雙曲線，其可向x軸無限延伸.數學教學中，教師通過應用函數思想，可為學生帶來直接感官體驗，同時還能引導學生養成直觀的理性思維習慣，這是非常重要的.數學解析法呈現了自變量與函數的所有相依關系，因而在理論分析與推導計算中有很強的適用性.與此相比，圖像法能夠直觀地展現函數變化情況，為研究與記憶創造條件.數學教學中，教師結合應用這兩種數學思想，對學生樹立正確的數形結合思想發揮著重要的作用.

3.2 應用函數模型思想解決函數問題

函數模型思想是指利用運動變化觀點對實際問題中兩個變量間的關系進行研究和分析，構建函數模型，結合函數性質解決實際問題的方法.

比如，某報亭從報社買進某種日報的價格為每份0.30元，而以每份0.50元的價格賣出，如果報紙賣不出去可以每份0.10元退給報社.實際上，一個月（30天）中，有20天每天報紙只能賣出150份，剩余10天每天則能夠賣出200份.假設每天從報社買進的報紙份數必須相同，那么該報亭每天要買進多少份報紙方可確保本月獲得最大利潤？最大利潤為多少？

分析：本題目包含很多數據信息，閱讀理解題意搞清楚各變量間的關系，同時明確自變量取值范圍是解決本題的重點.

解答：假設報亭從報社每日買進報紙x份，其每月賣出獲得的利潤是y元，根據題意可以得到y=（0.50-0.30）x·10+（0.50-0.30）·150·20-（0.30-0.10）（x-150）·20（150≤x≤200），經過簡化可以得到y=-2x+1200（150≤x≤200）.

因該函數在150≤x≤200時，隨著x值變大y值逐漸減小，因而當x=150時，利潤y取最大值，其最大值是-2×150+1200=900（元）.根據這一結果就可得出報亭每日從報社買進150份報紙，當月所獲利潤最大且最大值為900元.

3.3 應用轉化思想解答函數問題

轉化思想是基于某種轉化過程，把要解決的問題歸納為容易解決或已經解決兩種類型，以此解決原有問題.比如復雜問題的簡化、陌生問題熟悉化以及數學化問題等，都可應用轉化思想解決.

例如：在A，B，C三棟樓間設取奶站，A，B，C三棟樓在同一直線上順次為A樓、B樓、C樓.其中A，B兩棟樓間相距40 m，而B，C兩棟樓間相距60 m.已知A，B，C三棟樓每天取奶人數分別是20人，70人與60人.問取奶站設在哪個位置可使每天所有取奶的人數到取奶站的距離總和最小？

解析：假設取奶站設在距A樓x m處，所有取奶的人到取奶站距離總和是y m.如果取奶站在A，B兩樓之間，即0≤x≤40時，那么y=20x+70（40-x）+60（100-x），化簡可得y=8800-110x.因隨著x值變大y值不斷變小，所以當x為40時，y取最小值，是4400;如果取奶站設在B，C兩樓之間，即404400.因此在B樓設立取奶站，每天所有取奶的人到取奶站距離總和是最小的.

3.4 通過探究問題應用數學思想

數學思想的應用旨在引導學生有效解決遇到的數學問題.實際教學中，營造氣氛良好的探究教學氛圍，是應用數學思想引導學生深入探究數學問題的重要契機.比如，在二次函數表達式的教學中，教師可提出以下問題：已知二次函數y=ax2+bx（a≠0），該函數圖像經過（2，6）與（-1，3）兩點，求二次函數表達式.將（2，6）與（-1，3）兩點坐標分別代入二次函數表達式，解方程組，進而可得函數表達式.因此對于上面這種形式的二次函數，我們只要知道兩個點的坐標就可將其表達式求出來.

結束語

綜上所述，在初中數學函數教學中，作為一名數學教師要深入了解數學思想對課堂教學的意義以及發揮的作用.教師講解函數問題時，應該應用數學思想，這樣不僅有利于全面提升教學質量，還可以強化學生知識汲取能力.教師在課堂教學中應用數學思想，可有效啟發學生數學思維，提高學生創新水平.因此，優秀的初中數學教師在教學中要有效引入數學思想，滲透數形結合、轉化以及分類探討等方法，引導學生靈活應用數學思想解決實際中遇到的數學問題，以此全面提高學生數學綜合素養.

【參考文獻】[1]談為偉.初中數學函數問題中的數學思想探究[J].中學數學，2020（8）：71-72，89.

[2]景年山.數學思想在初中數學函數教學中的應用研究[J].中學數學，2020（2）：84-85.

[3]劉建兵.初中數學教學中數形結合思想的應用：以函數教學為例[J].數學大世界（中旬），2020（1）：36.

[4]胡杰.初中數學教學中數學思想的運用[J].現代交際，2019（24）：182，181.

[5]李哲.初中數學函數等量替換思想的培養策略[J].課程教育研究，2019（31）：143.

[6]陳向華.滲透數學思想的初中函數教學策略探究[J].中華少年，2019（15）：234.

[7]付滟.滲透數學思想的初中函數教學研究[D].重慶：重慶師范大學，2018.