試論初中數學教學中數學思想和方法的滲透

陳穎強

【摘要】數學思想是對數學事實與理論經概括后產生的本質認識。數學方法是指利用數學語言描述與解釋事物狀態、關系及過程，并加以推導、演算從而形成判斷、預測及解決的方法。數學思想是映射在數學頭腦中的空間與數量意識，而數學方法則是數學思想的外在表現。初中數學教學中滲透數學思想和方法，將使學生由對數學知識的表象認知轉化為理性、客觀且直達本質的認知。基于此，文章結合實際教學經驗、圍繞具體教學案例，從多維度探究初中數學教學中數學思想和方法的滲透策略。

【關鍵詞】初中? 數學教學? 數學思想? 數學方法

【中圖分類號】G633.6 ? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）40-0085-02

一、滲透數學方法，幫助學生了解數學思想

初中生雖然積累了一定的數學知識，但抽象思維能力、對比分析及邏輯推理能力較為薄弱，單純從數學思想和方法出發指導學生自主總結解決數學問題的基本程序、空間及數量關系規律等難度較大。這就需要教師以數學知識為載體，在教學中切忌直接揭示數學概念、運算法則、數學定理等，而是要開展數學知識的形成過程，讓學生經歷于生活及社會實際中發現問題，借助數學知識及技巧分析與解釋問題，依靠自身生活及學習經驗解決問題的過程，并通過過程及學習結果回溯掌握多種多樣的數學方法，初步了解數學思想的內涵及其在數學學習中的應用價值[1]。

以“三角形全等的判定（SAS ）”教學為例，教師以實踐為導入，請學生作一個角∠A1O1B1等于已知角∠AOB，連接繪圖中形成的點CD、C1D1，形成△COD與△C1O1D1，引導學生回憶作圖過程，分析兩個三角形中相等的條件。學生討論與交流后會發現OD=O1D1，OC=O1C1，∠COD=C1O1D1，△COD≌△C1O1D1。接下來請學生總結該三角形全等判定規律。

當學生經歷知識發生、發展過程，得到“SAS”三角形全等判定定理后，教師出示例題，請學生仔細審題后以口頭語言描述利用“SAS”證明兩三角形全等的步驟。教師根據學生表述進行板書，清晰列出2～3道例題的基本解題程序。當學生經歷數學知識的語言表征后，教師請學生觀察例題的基本解題程序，思考可否用數學語言，如符號、公式等進一步簡化三角形全等證明題流程。該階段由小組合作完成，各小組討論結束后進行展示，其余小組進行補充與完善等，由此形成指明范圍—擺齊條件—寫出結論的解題規范形式，且在“擺齊條件”下學生以“AB=A′B′;∠A=∠A′;AC=A′C′”數學語言清晰列出證明三角形全等的條件。

上述教學案例中主要滲透的數學思想為數形結合與多元表征思想，所涉及的數學方法主要為歸納法、數學建模方法，由學生自主經歷數學問題的結果過程，建構證明三角形全等的基本程序并用數學語言加以描述，可以在滲透多元數學方法的同時幫助學生初步了解數學思想。

二、訓練數學方法，深化學生對數學思想的理解

數學思想內容豐富，如數形結合思想、化歸思想、函數方程思想、類比思想等，與之相對應的數學方法也多種多樣，包括綜合法、反證法、歸納法、代入法、消元法等。初中數學教師在日常教學中應深入挖掘數學知識、數學習題內隱含的數學思想和方法，依靠學生內心體驗及自主學習意識將數學思想和方法巧妙滲透至學生知識學習及解題過程中，循序漸進地深化學生對數學思想的理解程度、對數學方法的掌握程度，并提升學生思維靈活性與敏銳性，進而為學生學習數學、應用數學知識解決實際問題奠定堅實有力的基礎[2]。

以“解二元一次方程組”教學為例，學生此前已經學習并理解一元一次方程概念及其解法、二元一次方程定義等知識，本節課的教學重點在于使學生掌握運用消元法解決二元一次方程的技巧。消元法這一數學方法中隱含著數學化歸思想，即將復雜問題簡單化、抽象問題具體化。在教授本節課知識時，部分教師通常結合示例演示代入消元法求解二元一次方程組的步驟，違背了數學思想和方法的形成規律。為改善此種教學現狀，教師可以雞兔同籠問題為導入，請學生思考在未學習方程前如何解決雞兔同籠問題？即將“14個頭”全部視作雞，共有28個腳，則差10條腿，將每只雞補齊兩條腿，則有5只兔子，4只雞。其中便隱含著二元一次方程組的解法，教師請學生列出該雞兔同籠問題的方程式，思考“38-2×14”這一結果由兩個式子怎樣變化得來，變化后式子中是否還有兩個未知數？通過實踐及問題引導學生發現解二元一次方程組的要點在于消去一個未知數，教師再次引導：怎樣消去一個未知數？——求未知項前常數的最小公倍數——求完后？——兩式子相減——求解一元一次方程——另一個未知數怎么求？——代入原式。

在上述教學案例中，從學生熟悉的數學問題入手，使得基本代數知識與方程知識融匯貫通，可以訓練學生類比、推導數學方法，引導學生深入感悟化歸思想。

三、掌握數學方法，指導學生運用數學思想解題

學生學習數學知識需要經歷聽講、復習才能得以鞏固。數學思想與方法的形成也是一個循序漸進的過程，因此在初中數學教學中，教師要善于為學生提供反復訓練與實踐的機會，促使學生不斷調整自身的數學認知結構，將數學思想和方法同化至認知結構中，當面對不同數學問題時能夠快速、靈活地調取儲存在認知結構內的數學思想與方法高效率、準確性地解決問題[3]。

以“一元一次不等式”教學為例，此前學生已經學習不等式及一元一次方程的概念，教師可以由舊知識引入，請學生通過類比法、綜合法嘗試總結一元一次不等式的意義。在指導學生認識不等式解集的概念時，教師請學生在數軸上標記處不等式解的范圍，請學生通過集體討論與自主探究說出不等式的解的特點，認識到不等式的解為一個集合，即在集合內的所有數都可以使不等式成立。為深化學生對不等式解集的理解，教師可以請學生選取集合外的數字代入到不等式中自主檢驗其是否滿足不等式成立的條件。此教學案例涉及數形結合及逆向思想，滲透了類比推理、總結歸納、反證等數學方法，可以增強學生思維活力，使學生從不同角度思考問題、學習數學知識。

再如講解“反比例函數k的幾何意義”時，教師引導學生回顧反比例函數解析式，說一說k的符號作用。接下來呈現題目：設點P（-3，4）是反比例函數y=圖像上的一點，過P點做向x軸，y軸引垂線，垂足分別為A、B，求矩形PAOB的面積。學生應用數形結合思想，借助所學的反比例函數知識求解。接下來，教師呈現變式1：將P點坐標改為（-3，y），反比例函數解析式為y=-;變式2：將P點坐標改為（x，y），解析式為y=。學生以小組為單位通過合作交流解決變式1、2，各小組描述自己總結的規律。教師借助幾何畫板隨機改變P點在圖像上的位置，使學生逐漸得出“S= |k|”這一結論。

一題多變可以為學生提供運用數學思想和方法解決實際問題的充足機會，從而幫助學生在學習與解題中逐漸掌握數學方法，更加合理高效地運用數學思想。

四、提煉數學方法，完善學生數學思想認知結構

因數學思想和方法分散在各個學段及數學知識模塊中，學生很難形成較為系統與完善的數學思想體系，在學習與解題中傾向于運用常規方式分析題目或汲取知識，導致數學思想和方法在初中數學教學效果中的滲透大打折扣。為解決上述問題，教師要善于提煉數學方法、總結數學思想，以單元為基礎進行整體設計，當學習完單元知識指導學生復習單元內容時，教師可以借助思維導圖這一科學高效的思維工具幫助學生總結提煉并累積數學思想方法。

以《二次根式》單元為例，本單元涉及分類討論思想方法、數形結合思想、整體思想、轉化思想等，教師以“二次根式蘊含的數學思想方法”為中心，將各類思想方法為分支引導學生繪制思維導圖，針對各類思想方法設計習題并進行專項訓練。

如分類討論思想方法：已知a為實數，化簡：。因式子中（a+2）及（a-1）的符號不能確定，需要學生根據二次根式的定義及性質等將其符號劃分為三種類型，并分類化簡上式。

再如整體思想：-=2，求的值。在解決該問題時，需要學生將已知條件兩邊平方得出x+的值，再以x+表示x2+，以此求解得數，體現出整體思想。

教師所選擇的題目需要具有代表性，學生完成習題后請其在思維導圖的各個分支下以自己的語言描述可能出現的情形與題目，運用該思想方法解決問題的思路等，以此形成學生頭腦中個性化的數學思想和方法體系，顯著提升學生數學學習及解題能力。

五、結束語

數學思想是指對空間及數量關系的理性認知，數學方法則是解決數學問題的基本程序，數學方法以數學思想為基礎，數學思想以數學方法為集中體現，串聯起全部的數學知識與關鍵技能。在初中數學教學中，教師要以具體的數學知識為載體滲透數學思想和方法，將知識學習的主動權歸還給學生，引領學生在建構知識體系的過程中自然而然地接受、了解、訓練與掌握數學思想和方法，從而在學生頭腦中形成個性化的數學思想和方法體系。

參考文獻：

[1]林霞.轉化思想在初中數學解題教學中的運用[J].數理化解題研究，2020.

[2]馬建成.淺談初中數學教學中數學思想和數學方法的滲透[J].讀書文摘，2017.

[3]趙輝.在初中數學教學中如何滲透數學思想方法[J].青海教育，2019.