重視“幾何直觀”提升解題能力

【摘 要】解題能力是衡量一個學生數學綜合能力的標準之一，本文以“幾何直觀”為數學解題的突破口，從重視“幾何直觀”培養，強化數學數感;加強“幾何直觀”應用，加速數學推理;增強“幾何直觀”理解，簡化數學運算;深化“幾何直觀”理念，促進模型思考這四個方面，探尋了利用“幾何直觀”提升學生解題能力的具體路徑。

【關鍵詞】幾何直觀;解題能力;初中數學;案例;路徑

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）34-0032-02

解題能力是數學學習的一項基本能力。“幾何直觀”是義務教育階段初中數學課程重點發展的一項學科思維。“幾何直觀”主要是指利用圖形來描述和分析問題，利用“幾何直觀”可使復雜的數學問題變得更加簡明形象，可幫助學生理解數學問題。在初中階段重視對學生“幾何直觀”的培養，可促使學生形成數學思維，提升解題能力[1]。下面筆者以蘇教版初中數學教材為例，就“幾何直觀”在解題方面的應用做初步探究。

1? 重視“幾何直觀”培養，強化數學數感，擴展解題視野

“幾何直觀”對數學課程尤其是初中數學課程的學習的重要性毋庸置疑。事實上，在蘇教版初中數學教材中，有著諸多“幾何直觀”案例，這些案例對學生數學數感的啟發、解題思路的豐富具有重要意義。課堂教學中，教師要依托教材，充分剖析和總結相關例題例證，用“幾何直觀”引發學生思考，以強化學生數感，夯實學生的數學解題基礎。

以蘇教版教材七年級上冊第2章“有理數”第2節“有理數與無理數”為例，在“什么是無理數”的教學設計中，教材并不是將“無限不循環小數叫做無理數”這個概念生硬而直接地告知學生，而是應用了“幾何直觀”思維，形象地刻畫了無理數的特征。教材先以兩個邊長為1的正方形，通過對角線剪開、重組，形成一個新的面積為2的大正方形，而這個大正方形的邊長則為無理數。本題借助“幾何直觀”，在數的認知過程中引入圖形，讓學生直觀感受到無理數的存在，培養了學生的數感，為學生數形結合解題能力的形成奠定了基礎。

2? 加強“幾何直觀”應用，加速數學推理，體現知識關聯

“幾何直觀”體現的是一種思維便利。在解題過程中，“幾何直觀”則表現為將復雜數學問題簡單化，利于數學推理及運算。眾所周知，數學推理是能力較強的學生在數學解題中的慣用方式，也是數學素養考核的基礎。數學推理是指借助題目條件和數學定理公式，經過嚴謹推算，最終實現對未知結論的推導演算的過程。事實證明，“幾何直觀”有助于加快數學推理進程，但這需建立在學生充分掌握相關數學概念和公式的基礎上，在數學“幾何直觀”的引導下，體現學生在解題推理過程中對相關數學知識的融會貫通。

以蘇教版教材七年級下冊第9章“整式乘法與因式分解”第4節“乘法公式”為例，在證明完全平方公式（a+b）=a+2ab+b的過程中，教材舍棄原本代入相乘推理算法，代之以“幾何直觀”的方法，將推理與圖形進行有效結合，體現了“幾何直觀”的便捷。教材借用小學階段已經學過的長方形面積公式，將（a+b）的公式直觀簡化為對邊長為（a+b）的大正方形面積的求解，通過將4個小長方形面積相加，直觀得出結論，大大提高了數學推理的效率，也體現出對中小學階段數學知識的銜接關聯。同理，對于（a?b）的推導，一樣可以通過“幾何直觀”，借助圖形面積公式求解，在此不再贅述。

3? 增強“幾何直觀”理解，簡化數學運算，豐富解題思維

運算能力是數學解題能力的基礎，也是初中階段數學訓練的重點，“幾何直觀”對學生數學運算能力的培養有著直接關聯。“幾何直觀”看似簡化了運算過程，但并未削弱對學生運算能力的要求。透過“幾何直觀”，學生在數學解題中可實現常規運算與便捷運算間的思維轉換，從中找出更為便捷的解題途徑。從本質上看，“幾何直觀”可簡化數學運算步驟，提高解題效率，體現了數學學科對解題思維的強調，可以推動學生解題能力的提高。

以蘇教版教材八年級上冊第2章“軸對稱圖形”的教學活動“折紙與證明”為例，眾所周知，在三角形邊角關系中，大邊對大角。但是如何證明呢？以圖1為例，常規解題思路如下：在長邊AC上取AB′=AB，∵AB′=AB，∴∠AB′B=∠ABB′，又∵∠AB′B=∠B′CB+∠B′BC（外角等于不相鄰的兩個內角和），∴∠AB′B>∠B′CB，又∵∠ABC=∠ABB′+∠B′BC，∴∠ABC>∠AB′B，∴∠ABC>∠B′CB。即可得出結論：?ABC中，AC>AB，則∠B>∠C（大邊對大角）。但借助“幾何直觀”，利用“軸對稱”原理，將短邊類似“折紙”一樣“折”向長邊，如圖2所示，可發現：∠AB′D為?B′CD的外角，即∠AB′D大于∠C，又∵∠AB′D=∠B，∴∠B>∠C。得出結論：大邊對大角。通過對圖1與圖2的對比，可以明顯看出：通過圖形轉化，借助“幾何直觀”可對運算過程進行簡化，以此對學生的解題思維進行拓展和提升。

4? 深化“幾何直觀”理念，促進模型思考，提升解題素養

模型思維是數學抽象思維的代表，體現了數學邏輯嚴謹的學科特點。“幾何直觀”致力于將復雜數學問題簡單化、形象化，與嚴謹科學的數學學科特點看似大相徑庭，實則相向而行。數學學科學習不應僅限于概念、公式、定理，更應該體現解題過程的靈巧和生動。“幾何直觀”將深藏在解題過程的數學之美展示在學生面前，可引導學生對解題過程進行模型化思考。這樣能夠加深學生對數學解題的理解，有助于學生數學解題素養的形成。

總之，數學是研究數量關系和空間形式的科學。“幾何直觀”可使復雜數學問題變得簡單直接，使枯燥的數字推理變得形象直觀，這既簡化了數學解題的過程，也蘊藏著數學解題的魅力，是促使學生理解數學、發現數學、愛上數學的催化劑[2]。教師要重視“幾何直觀”在數學解題中的應用，讓“幾何直觀”對接數字與圖像、數量關系與空間形式，以增強學生數學解題能力，為學生數學核心素養的培養服務。

【參考文獻】

[1]張萍.幾何直觀——初中數學教學新視域[J].新課程導學，2021（18）.

[2]吳靜.幾何直觀：思維可視化的有效路徑[J].江蘇教育研究，2019（35）.

【作者簡介】

張雷（1973～），男，漢族，江蘇省邳州人，本科，中小學一級教師。研究方向：中學數學教學。