親歷過程促概念形成積累經驗助思維發展

胡允社

【摘 要】 數學概念是發展思維、培養數學能力的基礎，具有抽象性的特點。在數學概念的教學中，教師要依據學生的心理特征、知識背景和認知規律，處理好數學概念的抽象性與學生思維的形象性之間的矛盾，為學生提供探究的空間，引導學生經歷概念本質特征的概括過程，從中體驗數學家概括數學概念的歷程，以此培養學生的創新精神和實踐能力，積累數學活動經驗，從整體上促進學生數學素養的提高。

【關鍵詞】概念教學 ? 經歷過程 ? 活動經驗 ? 數學能力

數學概念是數學教學的重要內容，也是學生認知、判斷、理解和解決問題的基礎，是數學基本技能形成與提高的必要條件。小學數學是一門概念性很強的學科，在教學數學概念時，教師要明確概念教學并非直白地告訴，也不能單純地理解成學生會解決幾個問題，而是要使概念的呈現體現層次性，為學生提供充分的探究空間，引導學生自主探究、合作交流，讓學生在經歷“數學化”和“再創造”的過程中理解數學概念的發展和形成過程，進而理解概念本質，發展學生的數學思維、培養數學能力。

一、重直觀，化抽象為形象

數學概念的理解與掌握，往往需要經歷一個由生動的直觀表象到抽象的思維，再從抽象思維到實踐運用的過程。在整個小學階段，教材中大部分概念沒有嚴格的定義，而是從學生所了解的實際事例或已有的知識經驗出發，盡可能通過直觀的具體形象，幫助學生認識概念的本質屬性。但對小學生來說，數學概念還是抽象的。因此，在概念教學中要加強直觀教學，以學生的感性經驗為基礎，讓學生經歷一個主動的、復雜的思維過程，通過自己的觀察、操作、思維活動逐步建立起事物一般的表象，分出事物主要的本質特征或屬性，并從感性上升為理性，進而把握概念的內涵和外延。

例如，在教學《平行與垂直》這節課時，為了讓學生理解“平行線”的抽象含義，體會“不相交”的真正內涵，筆者和學生一起經歷了如下的探究過程：

1.認識“相交”和“不相交”

（1）收集展示：教師收集學生將直線“平移和旋轉”后畫在紙上的情況。

（2）分類討論：根據他們的位置關系，你能給他們分類嗎？

（3）反饋交流：在多種方法的辨析中聚焦以平移和旋轉為標準的分類方法。

當學生對④和⑤有爭議時，借助直尺和幾何畫板進行直觀展示，利用“直線可以無限延長的特點”明晰位置關系，學會“透過現象看本質”。

（4）觀察旋轉后的兩條直線，揭示“相交”和“不相交”。

2.認識平行

（1）引導學生聚焦在“不相交”這一類，并思考它們有什么特點。

（2）討論：永不相交。

師：永不相交是什么意思？

生：不管怎么延長，這兩條直線是永遠也不會相交的。

（師引導學生回顧幾何畫板上平行線的位置關系，通過課件背景的格子圖直觀感受平行線間的距離處處相等）

生：它們之間的寬度都是一樣的，所以永不相交。

師：像這樣的兩條直線叫作“平行線”，你能說一說什么叫平行線嗎？

生：不相交的兩條直線叫作平行線，也可以說這兩條直線互相平行。

3.完善概念

（1）我們剛才一起討論了平行線，看看書上是怎么介紹平行線的。

看了書之后你有要補充的或不明白的地方嗎？（指出：同一平面）

（2）借助課件和實物教具，直觀認識“同一平面”，并完善概念。

通過上述操作、想象、辨析、明晰等一系列活動，為學生在直觀感知和抽象概念之間搭建橋梁，將抽象的概念直觀呈現，逐層深入，學生在探究和矛盾中深刻地建立起“平行”的意義，使學生多層次、多角度感悟“平行線”的本質。這一過程，是學生數學思維得以錘煉、發展的過程，對學生形成由表及里的縱深思維具有潛移默化的影響。

二、巧勾連，化單一為系統

學生對概念的認識，也需要隨著數學學習程度的提高，由淺入深，逐步深化，由此建立起數學思維。在概念教學中，教師要重視概念的關聯，從學生日常生活提取素材，從數學知識體系出發去溝通概念間的聯系，處理好概念的階段性和連續性的關系，讓學生在經歷概念形成的過程中積累數學活動經驗，體會數學與生活的密切聯系，感受概念間的密切聯系，幫助學生形成完整的、系統的知識。

1.溝通內部聯系

現行數學教材在編排時采用螺旋上升的處理原則，對于那些較為抽象或深刻的數學概念，在認識上要經歷較長的學習階段。教學這類概念時，教師應溝通知識點間的密切聯系，站在數學知識體系及學生心理的角度，深入分析每一個概念出現的必要性和合理性，從而對學習對象的深度、廣度等方面體現出螺旋上升的做法。如在教學“分數的意義”時，教材分兩個階段編排，應分別把握好兩個階段的教學目標。第一階段編排在三年級，教材從學生的實際出發，讓學生在具體操作中認識幾分之一和幾分之幾，在概念的呈現上采用描述式：“像1/2、1/3、1/4、1/5這樣的數，就是分數”，再由原來的一個物體或一個圖形漸漸地引申到一個整體的幾分之幾。整體編排借助直觀，讓學生在經歷直觀操作的基礎上初步認識分數，并嘗試解決簡單的問題。第二階段編排在五年級，讓學生在第一階段的基礎上系統地學習分數，在頭腦中建立起“整體意識”，也就是“單位1”，從而明確分數的意義。在概念的呈現上采用定義式：把“單位1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數，叫作分數。這一階段的認識從直觀到抽象，在教學時要注意溝通概念間的內在聯系，運用同化概念進行教學，讓新概念與學生原有的數學認知結構中的概念相聯系，讓學生在經歷分階段呈現概念的過程中明確目標、理解深刻，同時幫助學生形成結構化的、系統的知識。學生對這種概念體系印象深刻，同時也獲得了精確的、可辨性強的知識。

2.發掘生活背景

在小學數學教材中，許多數學概念都是從我們日常生活中抽象化形成的。教師在教學時要從學生的生活經驗和知識經驗出發，為他們創設學習數學概念的問題情境，使學生在經歷“從生活中來、到生活中去”的過程中體驗概念的形成過程，從而促進概念內化，建構數學概念。如在教學《三角形的認識》時，通過列舉生活中無處不在的三角形實例，讓學生尋找這些實例的共同點，接著圍繞問題“三角形在生活中的運用非常廣泛，是否與它的特性有聯系呢？我們帶著這一問題繼續今天的學習——三角形的認識”進行展開，然后在讓學生經歷將實物抽象成三角形的過程中尋找共性并得出三角形的概念，認識三角形各部分名稱、用實驗的方法驗證三角形的穩定性，通過動手實踐、對比、辨析三角形具有穩定性的特點，最后再引導學生思考課前情境中各是運用了三角形的什么特性，從而使學生深刻體會數學與生活的密切聯系，增強學習動力。

三、多列舉，化被動為主動

數學概念往往都是在實踐的基礎上經過多級的抽象概括產生的，小學生的抽象思維能力還處在發展的過程中，其思維能力以直觀、感性為主。因此教師在概念教學中，應尊重學生的認知規律和身心特點，巧妙地引導學生在列舉的過程中理解并掌握抽象的概念。

概念抽象需要典型實例，如果教師自己舉例、概括，自己給定義，就可能枯燥乏味，學生被動聽，參與欲望不強，導致理解不透。如果讓學生舉例，就能調動學生參與的積極性，迫使學生開動腦筋，百花齊放、生動活潑的場面自然形成，而且在舉例過程中，有獨立思考、合作交流，甚至有爭辯，這就形成了促進概念理解的機制。實際上，概念教學中的“參與”，其關鍵是參與從典型實例中概括概念本質特征的活動。如在教學《乘法的初步認識》時，讓學生通過分一分小棒、寫一寫算式、給算式分類的過程中初步感知“相同加數”，再讓學生在師生互動、生生互動的過程中自主地編含有相同加數的算式、寫含有相同加數的算式，當編出9個2相加、51個2相加、95個2相加等算式時，學生感覺到寫這樣的算式太累了，促使其進一步思考更簡潔的表達方式，從而自然地引出“乘法”。學生在列舉中主動研究自己、老師或同伴的例子，促進學生的思維深度參與，幫助學生在經歷概念的形成過程中感悟概念、積累活動經驗。

四、強應用，化知識為能力

讓學生在經歷應用概念的過程中理解和掌握概念的內涵和外延，既能促進學生對數學概念的深刻理解，又能讓學生體驗到學習數學概念的價值。教師在概念教學中應重視精心設計一些與概念密切相關的習題，為學生創造舉一反三的機會，讓學生在理解數學概念的基礎上，經歷運用概念去解決同類事物的過程。例如，筆者在教學《平均數》一課時，設計如下練習：

（1）下圖是艾艾所在小組前3名隊員跳遠距離的統計圖，虛線所在位置能反映他們跳遠平均距離的是（ ? ? ）。

（2）經過計算，前3名隊員跳遠的平均距離是168厘米，當輪到艾艾時，他想：如果自己也能跳到168厘米，小組的平均成績將不變。你認為正確嗎？什么情況下他們小組的平均成績將會發生變化？

（3）夢夢的跳遠成績比艾艾差。艾艾認為：夢夢所在小組的平均成績肯定比自己所在小組的平均成績差。他說得對嗎？

平均數是統計學中的一個重要概念，它常用于表示統計對象的整體水平，在學生知道了平均數的概念和計算方法后設計這樣的練習，讓學生在經歷概念運用的過程中加深對平均數本質意義和特點的理解。第一題通過選擇感受平均數的取值范圍，也為“移多補少”方法的應用提供了支撐，學生在加強對平均數理解的同時，數感也得到了培養。第二題讓學生在辨析中體會到一組數據的平均數會受到這組數據中每一個數據的影響，感悟到平均數的敏感性。第三題讓學生在對比中明白平均數并不是一組數據的每一個數據，其中的數據有可能高于平均數，也有可能低于平均數，這就是平均數的“虛擬性”。概念教學的基本目標是讓學生理解并能運用概念表達思想和解決問題，為實現對概念的深度理解，要為學生創設靈活運用概念的機會，讓學生在運用的過程中對概念內涵的理解引向深入，積累豐富的數學活動經驗，進而深度建構模型。

李邦河院士認為，“數學根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也！”任何數學概念的發展、形成，都經歷了數學家無數的觀察、分析、猜測、實驗、判斷、辨析、調整、優化等一系列數學思維活動。對這種創造過程的了解，可以讓學生體會到一種活的、真正的數學思維過程。從這個意義上說，數學概念的形成過程可以引導我們經歷知識的再創造過程。教師應為學生提供參與概念本質特征形成的過程，避免出現概念教學走過場、以解題教學代替概念教學的現象。通過這樣的過程，學生不僅能獲得知識與技能，而且感悟到知識的產生與發展，習得數學思想方法，積累數學活動經驗，從整體上促進學生數學素養的提高。

【參考文獻】

[1]楊永麗.新課程理念下概念教學的策略初探[J].小學數學教育，2019（5）.

[2]方家社.基于深度學習理論的小學數學概念教學[J].小學數學教育，2017（7）.

[3]郜舒竹.“概念”的生成過程[J].教學月刊（小學版），2020（4）.