生活體驗詮釋數學本質

郭軍明

[摘? 要] 生活中蘊涵著豐富的數學知識、原理. 數學教學應適時地將學生的視野從課堂引向生活世界，尋找數學概念、法則、定律、公式、方法、思維的現實模型. 文章基于“現實背景與形式模型互相統一”的數學教學原則，在高中數學課堂教學中充分利用學生已有的生活體驗，來解釋數學原理、認識數學本質、體會數學價值.

[關鍵詞] 數學本質;生活體驗;高中;教學

數學體系的構建是由生活、生產的需要而產生的，以及它自身的邏輯演化而發展的，所以生活世界是數學體系的基礎，是數學知識的意義之源，數學與現實生活有著難以割舍的聯系. 從某種角度看，數學和生活的關系像是一個“映射”，也就是說數學總能找到在生活世界中的投影.

數學課程中設置有一定文字量的生活背景和應用實例，但很多教師把它們視為簡單的“輸入”和“輸出”的教學環節，生活與數學兩者的聯系找不到相應的結合點. 在教學時應適時地將學生的視野從課堂引向生活世界，努力尋找數學概念、法則、定律、公式、方法、思維在客觀世界中的模型，使學生理解數學知識、領悟數學思想、體會數學意義.

■認識數學語言的文化背景

1. 數學概念的文化背景

（1）體驗數學概念的產生過程.

一切科學知識都是來自生活、受生活的啟迪. 然而數學概念往往被抽象化的外衣包裹，但這些被包裹的概念常是有著其生動、具體的實際背景的. 在數學教材中許多概念（如集合、函數、導數、向量、數列、概率等）都是從豐富的、深厚的現實生活體驗中引出的，所以數學概念教學要從學生的生活經驗和已有知識出發，以學生已有的體驗和容易理解的現實問題為素材，經歷產生概念的過程，讓學生在熟悉的事物和具體情境中理解數學概念的內涵.

（2）嘗試數學概念的本意解釋.

一般數學概念的定義都是嚴密的、精煉的，揭示本質屬性的. 總是帶著一副冷靜的、刻板的面孔，然而我們的學生是一個個活生生的個體，有時兩者往往產生一種無形的心理對立. 要使兩者達成統一，只有讓數學概念鮮活化和生動化.

①偶爾的一個英文注釋，常常可以吸引對概念更多的注意. 如函數（Function：功能、運行），所以函數f（x）一般以首字母f表示;直線（Line），所以直線一般用l表示;曲線（Curve）以C表示，等等. 當多于一個數學對象的表示時，一般以原始對象的后續字母表示，如函數f（x），g（x），h（x）;直線l，m，n;曲線C，D，E. 這種數學語言的世界性標注規則，是對數學寬廣文化背景的詮釋，讓學生從文化的角度認識數學語言的科學性和規范性.

②偶爾的一句中文詞義標注，常常可以引起對概念更深層的思考. 如對函數概念的認識，“函”指容納或者用匣子或封套裝盛的意思，那么“函數”就是容納實數或者把實數用匣子或封套裝盛起來，這里的匣子或封套可以理解為集合. 這也從另一個側面了解“函數”這一名稱的用意. 再如很多學生對平均數和期望的概念沒有一個正確的區分，教學時通過對期望的本意解釋（對未來情況寄托希望或有所等待），讓學生認識到期望有著對未來的一種堅定的向往. 所以不管隨機變量在實驗中的取值如何，都不會改變其值，它是隨機變量取值想要達到的某種程度，是隨機變量的本質屬性. 而平均數只要到實驗結束之后，便可知，其值會隨實驗的不同而變化，是隨機變量的外在表現形式.

2. 數學符號的文化淵源

數學符號是數學思維的表現形式，它能清晰地表達出數學思維的過程，是數學思維的載體. 人們在長期實踐中，由于研究的需要，創造了大量的數學符號，來代替或表示某些數學概念、運算與關系.

（1）數學符號的縮略記法.

符號的引入不是隨意的，而是有客觀依據的，是為了人們便于書寫、理解、記憶和應用. 多數數學符號的產生，源于文字的縮寫. 如虛數單位“i”是引用imaginary number（虛數）的第一個字母;積分符號“■”也是引用了Summation（求和法）的第一個字母;自然對數的符號是“Natura logarithm”的縮寫，知道這一點就不可能寫成“In”了. 在教學中引導學生正確理解數學符號的含義，讓學生意識到這些記號是約定俗成的，不可隨意更改.

（2）數學符號的會意表達.

象形和會意也是數學符號的一個重要來源，數學符號語言有一種提示的功能，見其形，明其意. 在獨立性檢驗中，學生對假說“H■”比較難以理解，不知道其傳達的意思，其實“H”是Hypothesis （假設、假說）的首字母，“0表示沒有”，兩者連起來就是“假設沒有關系”的意思，

（3）數學式子的直觀印象.

數學式子的引入是科學的和自然的，直觀的和形象的，如分數指數冪a■化為根式■，分子的m在根號內，分母n在根號外，不少學生容易把m，n換位了，我們可以用一個“子里母外”的俗語，其中隱含的意思不言而喻、心領神會，永久性地避免了錯誤的發生. 數學符號語言結構嚴謹，特征清晰，使用數學符號語言可以大大減少記憶量，從而使數學對象之間的結構關系表現得更清晰，更便于檢索和聯想.

■尋找數學思維的現實來源

1. 數學方法的生活靈感

（1）數學方法的形象比喻.

用學生生活中常見的現象來描述數學知識、原理或方法，使抽象的數學變得形象、生動而且易于掌握. 比如綜合法證明過程就像生活中的“順藤摘瓜”，只要“藤”不斷，“瓜”一定能摘到. 這里的“藤”比喻為推理過程，“瓜”比喻為所證結論. 再如在教材（必修3）的隨機抽樣中，有這樣一段話：“我們知道，為了判斷一鍋湯的味道如何，如果鍋里的湯被充分攪拌了，那么我們只須嘗一勺就可以了，同樣的高質量的樣本來自‘攪拌均勻的總體. ”對抽樣方法的目的作出了形象的比喻.

在教學活動中，教師要針對教學內容，充分調動知識儲備，合理發揮想象，注意事物彼此之間的關聯、適當、適度的形象比喻，變抽象為具體，化呆板為生動，呈乏味為有趣. 例如，在綜合法和分析法的具體教學中，我們可以把這種證明的過程比作從條件的此岸到結論的彼岸構建思維橋梁的過程. 我們知道，在現實生活中，建橋都是從兩岸相對同時進行的. 所以證明也是從條件和結論同時出發，逐步向中心靠攏，實現對接.

（2）數學方法的經驗啟示.

許多數學思想和我們日常生活中遇到的一些簡單道理是一致的，我們要把數學問題和這些日常生活中的簡單道理聯系起來，必修3的算法初步中，學生對于交換兩個變量A和B的值的賦值語句“x=A，A=B，B=x”難以理解. 其實這一交換方法來自生活中的將兩個容器中的溶液相互交換，如把兩個容器中的醬油和醋相互交換. 要實現此目的，那么必須要借助一個空容器（即x），先把醬油倒入空容器（即x=A），再把醋倒入原先裝醬油的容器（即A=B），最后把醬油倒入原先裝醋的容器（即B=x）. 實踐表明，在學生能夠富有意義的原理、方法的抽象形式之前，具體的活動以及學生生活中熟知的知識和經驗，能有效地幫助他們更好地理解數學知識方法的意義.

2. 數學構想的現實原形

（1）數學模型的生活反映.

數學模型是關于部分現實世界和為一種特殊目的而作的一個抽象的、簡化的結構. 最經典的例子就是糖水不等式. 有兩杯濃度不一樣的糖水的濃度分別為■，■，且■<■，混合之后的濃度介于兩者之間，即■<■<■. 它源自普通的生活靈感，卻能推演出生活之外的客觀規律，

（2）問題解決的日常舉例.

學生在面對一個陌生的數學問題時，其思維總是自然而然地與日常思維接軌或相匹配，由此激活學生已有的活動體驗，調動內部已經形成的經驗、策略、模式，找到問題解決的突破.

比如，小圓圈表示網絡的結點，結點之間的連線表示它們有網線相連，連線標注的數字表示該段網線單位時間內可以通過的最大信息量. 現從結點A向結點B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，則單位時間內傳遞的最大信息量為（? ）

A. 26 B. 24 C. 20 D. 19

這個問題比較陌生，如果把A看成是自來水總廠，B看成是某一用戶的水龍頭，那么從A分4路到達B，每一路線管中，水流量是由最細的管線所決定的，即是由每路管線中的每節管道的最大流量的最小值決定的，否則會使水管爆裂的，因此本題中的最大信息量為4條網線單位時間內可以通過的最大信息量的最小值之和.

■結語

生活孕育了數學，生活教會了數學，數學又服務于生活，生活和數學就像一對母子. 作為數學教育工作者，不能忽略數學遺傳的各種生活性狀，只有認識到數學寓于的生活道理，才能談得上有意義的數學應用.