高等代數與高中數學教學銜接問題與策略研究

朱迪　張昆龍

摘 要：高等代數課程對提升學生的思維水平有很大的幫助，因其與高中數學在知識、思維方法等方面存在銜接問題，很多學生在學習高等代數時都會遇到困難。基于對問題的解決，文章提出添加幾何獲得直觀、改變教學觀念、增加教學實踐等改進策略，以提高高等代數教學效率和教學質量，提升學生思維水平。

關鍵詞：高等代數;高中數學;銜接問題;幾何直觀;教學觀念;教學質量;思維水平

中圖分類號：G642;O15-4 文獻標志碼：A文章編號：1008-3561（2021）03-0110-03

一、引言

作為基礎數學、應用數學、數學師范等專業的必修科目高等代數，自開始在高等教育階段進行授課時起，就有很多學生反映課程難學，很抽象。雖然高等代數知識在課本的編寫上做出了調整，但從實際的教學效果看，作用甚微。并且在聽不懂的學生中不乏許多在高考中取得好成績，高中知識學得比較扎實的學生。這種情況出現的原因是什么呢？

在閱讀完高中教材、高等代數教材以及各學者對這個問題的分析之后，筆者發現學生覺得困難的一個原因是高等代數中常用的知識和思想在高中知識的教授中沒有做足夠的關注，但在大學學習時已經默認該知識學生已經熟練掌握了，因此出現了高中知識和高等代數知識之間的銜接問題。

在這樣的背景之下，解決高等代數的教學問題就變成了一個具有實際意義的問題。本文依據高等教育出版社出版的高等代數（第三版）教材，分析高等代數知識和高中數學知識之間的銜接問題以及解決策略，希望能為高等代數教學提供一定的幫助和借鑒。

二、銜接問題

高等代數課程的內容包括線性空間、線性變換、多項式等多項內容，并且高等代數具有理論性強、抽象性強等特點。由于其內容多、抽象性強、對學生的要求也高。因此高中數學與高等代數的銜接問題也是多方面的。

1.知識層面

（1）在求解方程方面。高中數學在求解二元一次方程（組）和三元一次方程（組）的問題時是利用消元的方法，而在高等代數中求解方程問題是利用矩陣和行列式的方法。高中求解的二元一次方程和三元一次方程都是具體的方程（組），并且消元之后帶來的影響也是非常明確的。而高等代數中的矩陣和行列式是抽象的，并且需要經過矩陣的變換來求解，這對于剛學習高等代數的學生來說無疑是困難的，很多學生甚至不知道什么是矩陣，不知道矩陣是如何產生的，也不知道為什么要這樣求解。

（2）在向量方面。高中時學習了向量的長度和兩個向量之間的夾角知識，這為學習歐式空間的長度和夾角問題做了鋪墊。高中對于向量部分的知識是通過列出代數式把幾何問題轉化成代數問題來求解，但在高等代數中隨著維度的增加，學生對于向量所表示的幾何體越來越不可以直接觀察到。并且，教師在教授高等代數的過程中，很少利用幾何來解釋向量、由向量構成的矩陣等內容，大多是直接從代數的角度來推理論證知識，對學生的數學抽象素養要求很高。此時講空間概念，對學生的理解來說無疑是困難的。

2.思想方法層面

（1）在數學歸納法方面。在高等代數的學習中有一種重要的處理問題的方法——歸納法。例如，在高等代數中的行列式按行（列）展開的公式證明中就用到了這種方法。但在高中數學的學習中，雖然在數列的證明中有運用歸納推理來證明題目的案例，但這種從特殊到一般的推理方法在高中知識中并不多見。由此可見，這種處理高等代數問題的常見方法，在高中數學的教學中并沒有受到重視，在進入高等教育階段之后很多學生表示難學也在預料之中。

（2）在嚴謹的邏輯推理方面。弗賴登塔爾在《作為教育任務的數學》一書中說道：“不同階段數學知識具有不同的嚴謹性。”即學生在高中時接受的嚴謹性和在接受高等教育時期接受的嚴謹性是不同的。因此，對同一個知識點會有不同的描述，也會引起一定的混淆和斷連。例如，高中數學對于向量共線的定義為若兩個向量和滿足=λ，則這兩個向量共線。高等代數中的相對應知識點定義為：對于線性空間A中的向量：a1，a2，…，an，如果存在不全為零的數k1，k2，…，kn，使得k1a1+k2a2+…+knan=0，則稱向量組是線性相關的，否則稱它為線性無關。在高中數學中對于“基底”的定義為如果兩個向量不共線，那么這兩個向量叫作一組基底;在高等代數中則定義為設V為一線性空間，如果r個向量a1，a2，…，ar∈V，且滿足以下條件：（i）a1，a2，…，ar，線性無關;（ii）V中任一向量都可由a1，a2，…，ar線性表示，那么向量a1，a2，…，ar，就稱為向量空間V的一個基，r稱為向量空間V的維數，并稱V為r維向量空間。若能夠找到滿足上述兩個條件的無數個向量組，此時V為無限維線性空間。同一知識點用不同的方式呈現，就會導致學生不能夠較好地將高中知識和高等代數知識相聯系，從而造成銜接的斷層。

3.對數學的認知層面

學生從高中過渡到大學，對數學的認知也在不斷變化之中。高中時期學生認為數學是用自己的語言去描述這個現實世界中的數量關系和空間形式，其研究對象為現實世界，具體表現為點、線、圖形、數字、代數式、方程等內容。而到了高等代數學習時期，學習內容和研究對象變成了抽象的矩陣等價、矩陣變換、向量之間的線性關系等非具體對象。向量空間、歐式空間的出現，打破了傳統的、可以具體看到的數學研究對象，成為一種高度抽象的數量關系和空間形式。

三、銜接策略

高中數學和高等代數之間銜接問題的出現不能簡單歸咎于某一方，也不能歸咎于教學方法存在不足，更多的是教學觀念使然。因此，應對兩個階段的教學同時進行調整。

1.改變教學觀念，關注學生的過去與未來

教育應貫徹落實“以人為本”的教學觀念，教師在授課時，不應該把眼光只放在某一節課上，而應該把眼光放在學生的過去與未來，關注學生在未來需要學習什么，以便為學生未來的學習做好鋪墊。大學教師也應當關注學生已經學了什么知識，以便與學生已學的知識做好呼應和銜接。大學教師可通過發放網上問卷的形式，了解學生對知識的掌握情況，以便更好地開展教學。

2.高等代數的教學方面

（1）添加幾何，形成直觀。隨著信息技術的發展，教師不僅可以在網上上課和查找資料，還可以利用計算機技術制作需要的教學課件。特別是數學中關于幾何的部分，如果用幾何動畫來演示和復現圖形的呈現過程，學生就可以直接看到，易于理解和掌握。高等代數講授中加入幾何內容，能對純代數推理進行補充，學生會更容易學習。

例如，在線性變換的學習中，加入幾何、矩陣的本質意義就是一種變換。矩陣的變換主要包括旋轉、剪切、伸縮三種類型，下面以旋轉變換為例，演示幾何角度下的線性變換。如圖1所示設點（x， y）離坐標原點的距離為r，與x軸夾角為θ0，將其繞原點逆時針旋轉θ，旋轉之后點的坐標為（x'， y'）。顯然（x'， y'）與原點距離不變，仍舊為r。此時可得

整理①②可得：

x'=xcosθ-ysinθ③

y'=xsinθ-ycosθ④

把③④兩式整理成矩陣形式可得

x'y'=cosθ-sinθsinθ-cosθxy

即上述矩陣的作用為將一個向量旋轉得到另一個向量。

（2）鞏固舊知，得到新知。高中時期學過函數和復合函數的概念，函數和復合函數從本質上來說都是一種映射，而這對于理解高等代數中的線性變換以及線性變換的復合具有很大作用。

高中時函數的定義為A、B是兩個非空數集，如果按照某種對應關系f，使對于集合A中的任意一個數，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f：AB為集合A到集合B的一個函數，記作y= f（x），x∈A。由定義可知x經過對應關系f的作用變成了f（x）。復合函數g（f（x））的含義則為x先經過對應關系f的作用變成f（x），而f（x）又在對應關系g的作用下變為g（f（x））。

高等代數中線性變換的定義為線性空間V的一個變換T稱為線性變換，如果對于T中的任意元素α，β和數域P中任意數k，都有T（α+β）= T（α）+T（β），T（kα）= kT（α）。由定義可知向量α在映射T的作用下變成了T（α）。此時將T與函數定義中的對應關系f對比可知，兩者的作用相同，對于現行變換中的復合變換矩陣B成矩陣T的作用與復合函數的作用相同，先對向量實行矩陣T帶來的變換，再進行矩陣B帶來的變換。如圖2所示。

（3）立足“教學做合一”的教育理念，增加實踐內容。“教學做合一”的教學理念是陶行知先生提出的。陶行知先生認為“教”“學”與“做”是一件事情的三個方面，三者相互融合，要在做中教也要在做中學。“教學做合一”不僅是一種教育理念，還是一種教學方法，即教師教授的方法需要以學生的學習方法為基礎，學生學習的方法需要以做的方法為基礎，怎樣做的就怎樣學，怎樣學的就怎樣教。如果光教不做，或者光學不做，就不能算是學習。強調教與學都應該以做為中心，特別強調了“做”在學習中的重要性。高等代數作為一門極其抽象的課程，如果能夠在教學或者課后作業中增加實際應用，比如，利用高等代數知識調節圖片色彩，不僅可以提高學生的學習興趣，還可以促進學生對圖片色彩改變原理的了解，拓展學生的知識面。

3.高中教學方面

（1）注重思想方法的講授。高中數學涉及很多關于思想方法的內容，比如數列證明中的數學歸納思想，從圓的定義及性質到橢圓的定義及性質的類比思想，解決函數題目時的分類討論思想。但在高中的學習中，這些思想都運用在解決問題上，對于思想方法產生的源頭、過程、如何運用，這些內容都在課堂講授中很少涉及。進入大學的學習之后，學習的內容需要更加深入，不再是簡單的知道一個公式就可以了，而是要深入了解思想方法。

（2）注重對概念的講解。在高等代數的學習中，一些概念性的內容已經在高中數學中有所涉及。比如上述例子中的線性變換的概念和函數的概念，都是在映射的基礎上做出的定義。但是高中數學中對于映射這個概念只是做了粗略的講解。如果學生在高中時期對映射有了一個較為深入的理解，那么將會對高等代數的學習有很大的幫助。此外，教師對知識概念做深入的講解，鼓勵引導學生探究或歸納出一些定義，將有助于學生對知識的認知和理解。

四、結語

高等代數是提高思維品質的一門重要課程，要提高高等代數教學質量，做好高中數學與高等代數之間的銜接是非常重要的。銜接并不僅僅是在知識上，更重要的是在思維方式及對數學的理解上。總之，處理高等代數課程和高中數學的銜接問題應該對大學和高中兩個階段的教學進行改進，包括教學方式、教學內容以及教育觀念等。

參考文獻：

[1]代業明.從方法論和認識論看線性代數與中學數學的聯系[J].煤炭高等教育，2011（05）.

[2]蘇華東，黃春紅.高等代數課程與高中數學的教學銜接策略[J].南寧師范大學學報，2020（01）.

[3]陳昌平，唐瑞芬譯.作為教育任務的數學[M]上海：上海教育出版社，1995.

[4]劉紹學，錢珮玲，章建躍.普通高中課程標準試驗教科書數學必修4A版[M].北京：人民教育出版社，2016.

[5]王萼芳，石生明.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2005.

[6]顧靜嫻.借鑒陶行知教育思想，立足發展數學核心素養[J].數學教學通訊，2019（22）.