淺談中考幾何復習課的題組教學

張偉琴

【摘要】中考復習課是以某一知識為基準，對知識和方法的內在聯系進行橫向網構，對蘊含的數學思想進行縱向剖析的課.其注重數學思想和方法的滲透.中考復習課圍繞學生數學學科核心素養的發展需要，以提高學生的數學思維能力為核心，使學生掌握“四基” “四能”，達到講一題、得一法，會一類、通一片的效果.

【關鍵詞】中考復習課;核心素養;四基;四能

1 復習教學設計的思考

“直線與圓的位置關系”這節課用代數的定量來解決幾何的定位.以問題帶動復習，主線是d和r的不變和變構成的三種組合：（1）d定，r變;（2）d變，r定;（3）d變，r變.從架構上講，這些問題非常合理，也符合學生認知規律，不僅有數學知識（用d和r的大小關系來判定直線和圓的位置關系） 這條明線存在，而且有數學思想與方法 （求解問題的“序”）這條暗線隱藏其中.所帶班級的學生是B層學生，本節課先低起點，用題組1回顧激活基本模型結構，然后設置題組2，3，運用基本模型結構解決相關問題，最后設置題組4，在復雜情境中進行模型的轉化.通過這樣的逐步提升，不同水平層次的學生都能得到不同的發展.本節課問題設計系列化，就是將幾個背景相似、角度不同、層次不同，但在解題思想方法上具有相似性或存在內在聯系的幾個問題組合在一起，作為一個系列展開.學生在經歷由淺入深、層層遞進的思維過程中，逐步體悟“建立求解問題的序”的精妙.題組教學體現了知識線索的有效串聯和數學思想方法的有效滲透.

2 教學過程

2.1 用遞進式題組構建知識和方法，落實易漏點和易錯點

題組1：（d定，r變）如圖1，已知∠AOB=90°，OB=3 cm，OA=4 cm，⊙O的半徑為r.

（1）當r=2 cm，r=2.4 cm，r=3 cm時，判斷直線AB與⊙O的位置關系.

（2）若把直線AB改為射線，當r為何值時，⊙O與射線AB只有一個交點？

教學流程：學生在備用圖上完成，老師巡視，請學困生來回答.

老師點評：弄清兩個元素，即圓心的位置和直線的位置.找到圓心到直線的距離，得到d，再比較d和r的大小.

若把直線AB改為射線，當r為何值時，⊙O與射線AB只有一個交點？

學生用幾何畫板，通過動手操作，發現還有一種可能，故答案為r=2.4或r>4.

師：除了相切的時候有一個交點，還要考慮另一種情況：由于我們給的是射線，射線就涉及一個端點，所以我們要考慮這個圓剛過端點A的情形.這樣整個數軸就被2.4和4分成了三部分，我們將按04進行分類討論，這樣就不會遺漏了.

教學說明：

利用動態化教學手段彌補知識的缺漏和思維的不足，培養學生有效觀察的習慣，這么做便于基礎差的學生進行學習.

2.2 以探究式題組提升學生思維的深刻度

題組2：（d變，r定）如圖2，已知∠AOB=90°，OB=3 cm，OA=4 cm，半徑為1 cm的⊙C在邊OB上運動.

（1）當OC等于多少時，⊙C與直線AB相切？

（2）把“⊙C在邊OB上運動”改成“⊙C在射線OB上運動”，（1）的結果又是多少？

教學流程：教師讓學生在備用圖上完成.

（1）師：設⊙C與直線AB相切于點D，

方法1：S△AOC+S△ACB=S△AOB，即OC·AO2+AB·CD2=OB·AO2.

方法2：S△ABC=CB·AO2=AB·CD2.

以上都是用兩種不同的方法來表示同一塊三角形的面積，建立等量關系，構造方程.所以，當出現垂線段的時候，我們往往想到高，然后就和面積掛鉤了.

方法3：已知條件在△AOB中，要求的未知量CB和半徑1在△CDB中，兩個三角形的問題，我們往往歸結為是否相似，利用△CDB∽△AOB，相似三角形中的對應線段成比例，構造方程.我們也得到了一個相似的基本模型.

教師板書解題方法.

解題思路：

1.面積法 2.相似

（2）把“⊙C在邊OB上運動”改為“⊙C在射線OB上運動”，那么OC等于多少呢？

生：由于得出的兩個三角形是全等（△CDB≌△CDB）的，又BC=54，所以OC一個是3+54=174，另一個是3-54=74.

教學說明：

（1）同屏技術的運用：把學生在課堂中生成的知識實時上傳，更重要的是少了很多板書，提高教學效率 .同屏技術有利于教師在課堂上診斷學習狀況，也便于教師發現問題和解決問題.

（2）優化提升及反思：教師要適時引導學生探索一題多解，并對方法進行比較，從中挖掘通法通性.解題后的反思能讓偶然的思維變成必然，零散的思考變得凝練.

2.3 題組教學把方法遷移到新情境中，使學生體會運動變化過程中的不變性

題組3：（d變，r變）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，P是AC上的動點（P不與A，C重合）.設PC=x，點P到AB的距離為y.

（1）求y關于x的函數解析式.

（2）試討論以點P為圓心，半徑為x的圓與AB所在直線的位置關系，并指出相應的x的取值范圍.

教學流程：教師巡視，同屏學生作品.

（1）設PD⊥AB于點D.

方法1：△PDA∽△BCA.

方法2：S△BPC+S△APB=S△ACB，

即PC·BC2+AB·PD2=CA·BC2.

方法3：S△ABP=CB·AP2=AB·PD2.

（2）試討論以點P為圓心，半徑為x的圓與AB所在直線的位置關系，并指出相應的x的取值范圍.

同學們先在備用圖上試試看.

生：由y=x，得4（3-x）5=x，x=43.故當0

師：同學們，你們覺得這名同學做得對嗎？

學生思考片刻，有同學指出，當⊙P與直線AB相交時取值范圍不對，因為點P在AC上運動，點P不與A，C重合，所以43<x<3.

教學說明：

在連續的、螺旋式的系列問題探究中，將難點分散設計成有梯度的問題，減緩問題的難度，先求y關于x的函數解析式.這個y就是下一問中圓心到直線的距離d.隨著問題的不斷深入與發展，相切是一個等量關系，從而把函數問題轉化為方程，讓學生體會到方程就是函數當因變量y為一個數值時的特殊情況.

2.4 題組教學創設促進深度學習的真實情境，引導學生積極體驗

題組4：如圖4，在平面直角坐標系中，⊙O的圓心在坐標原點，半徑為3.點A（-7，9），D點是x軸上的一個動點，連接AD.

（1）若點D的坐標為D（3，0）.請直接寫出此時直線AD與⊙O的位置關系.

（2）若直線AD和⊙O相切，求D點的坐標.

（3）當直線AD和⊙O相交時，求D點橫坐標的取值范圍.

教學流程：

生：問題（1）是相交.

師：問題（2）由相切得到什么？

生：垂直.

師：由點A的坐標如何轉化成線段？

生：作點A到x軸的垂線段，點A到x軸的距離是9，到y軸的距離是7（如圖4所示）.

師：我們是不是就把這個圖轉化成我們熟悉的基本圖形了，我們要求什么？

生：D點的坐標.

師：要求什么，我們就設什么為x，剛才發現這里有一個相似的模型，它們的相似比是多少呢？

生：1∶3.

師：哪條線段可以用x表示出來呢？

生：AD=3x.

師：我們用什么來構造方程呢？

生：勾股定理.在Rt△AHD中，HD2+AH2=AD2，即（7+x）2+92=（3x）2.

師：此時得到點D的坐標是（5，0）.

師：其實還有一個點.在Rt△AHD中，HD2+AH2=AD2，即（7-x）2+92=（3x）2，得點D的坐標是-134，0.

師：當直線和圓相交時，點D的橫坐標在什么范圍？

大屏幕顯示第（3）問：當直線AD和⊙O相交時，求D點橫坐標的取值范圍.

學生馬上回答：-134<x<5.

師：對了，我們只要求出相切時的臨界點，很快就可以得到相交時點D的橫坐標的范圍了.

小結：

教學說明：

（1）深度學習重視學習的遷移運用和問題解決，在相似情境中能夠做到“舉一反三”，也能在新情境中分析判斷差異并將原則思路遷移運用.題組2.4教學創設促進深度學習的真實情境，引導學生積極體驗，將新知識與已有的知識經驗聯系起來，在已有知識結構的基礎上建構新知識.

（2）在題組2.4的教學過程中，教師給學生提供備用圖，設置第一問，從簡單處小步走，讓所有學生都能夠參與進來.教師適當給予學生必要的指導，使學生在不斷解決困惑的過程中獲得學習成功的體驗.

（3）注重建立知識間的關聯，提高學生知識運用的靈活性.這個過程解決了知識傳授難度與學生認知水平之間的矛盾，學生本身已有的知識儲備加上解決前面問題積累的經驗，使學生再一次經受了問題考驗，從而對這部分內容有了更透徹的感悟，有了更深入的理解.

（4）在小結提升環節，教師通過思維導圖梳理本文教學過程，讓學生對相關知識、方法和思維形成清晰的脈絡，將經驗結構化，進一步升華了活動經驗，提升了學生的思維水平.