淺談小學數學教學中的初等幾何變換思想

潘禹妍

摘要：幾何學作為數學的一大分支，隨著時間的推移，越來越受到人們的重視。初等幾何變換思想在小學數學中應 用較多，掌握初等幾何變換思想對學生解決平面幾何中的難題大有裨益。通過閱讀大量文獻并基于對小學數學教材的分 析，首先從概述和研究價值出發(fā)展開論述，進一步強調初等幾何變換在小學數學教育中的重要地位;結合小學數學中典 型的平面幾何題型，針對例題，分析解題思路;從學生、教師、教學效率等多方面考慮，提出幾點對初等幾何變換在小學數學教學中的思考。

關鍵詞：初等幾何;變換思想;小學數學

一、 初等幾何變換思想的概述

近年來，隨著新課改的實施，數學的應用性愈加受 到重視，中小學的數學教學結構也做出了相應的調整， 初等幾何變換更深層次地融入數學的教學內容中。初等 幾何變換作為數學教學中一種重要的解題思路，其主要 特點是圖形變化。所以，在幾何問題的求解過程中，掌 握圖形變化規(guī)律是解題的關鍵所在。幾何變換是初等幾 何在數學教學中應用最多的現代數學思想，小學數學中 常見的變換有：平移變換、旋轉變換、軸反射變換，三 者都是全等變換，皆屬于初等幾何變換中的合同變換。

二、 初等幾何變換思想的研究意義

通過研究小學數學教材可以發(fā)現，在小學課本中已 經早早地出現了幾何圖形的身影。然而，由于小學生的 認知水平有限，小學課本中的幾何內容的設置并不從幾 何的公理體系出發(fā)，而是以小學生們已有的經歷經驗為 起點。以認識簡單的幾何形體為例，在引導學生認識正 方形、長方形、圓形等幾何圖形時，教師們往往會引導 學生去聯想身邊的實物，譬如積木玩具、課桌黑板、各 類生活用具等，以此來啟發(fā)學生們將實物與幾何圖形相 互聯系、清晰概念。而平移、旋轉與軸對稱內容的教學 過程，生動、有趣、直觀地打破了學生頭腦中對幾何圖 形的靜態(tài)的認識，學生通過一系列的觀察、操作與理解， 不僅可以慢慢構建、發(fā)展其空間觀念，還為他們創(chuàng)新意 識的激發(fā)與培養(yǎng)創(chuàng)造了條件。

對于小學生而言，他們剛剛接觸幾何變換，無法對 幾何變換做更加深入的解讀，在遇到幾何問題時，他們 并不能有意識地將題目與幾何變換的相關性質相聯系， 很難理解并運用幾何變換的思想解決幾何問題，這也就 導致了學生們解題時思維的固定性，加大了解題的難度。 因此，教師需要及時給學生灌輸初等幾何變換思想，幫助他 們深入理解并養(yǎng)成運用幾何思想解決幾何問題的習慣，這一 點顯得尤為重要。

三、初等幾何變換思想的實際應用

合同變換中的平移變換、旋轉變換與軸反射變換是小學 階段數學教學中的三類典型的幾何變換。對小學生而言，他 們已具備了一些日常生活的經歷與經驗，對于日常生活中的 平移變換、旋轉變換的現象已經有了一定的了解。例如，電 梯的上下平移運動、鐘表上時針與分針的旋轉運動等。然而， 幾何變換的知識并未直接在教材中體現，這就需要教師在教 學平面幾何圖形時有意識地向學生滲透，幫助學生在面對較 為靈活的幾何題目時，合理運用幾何變換思想，高效解決幾 何問題。

“變中藏不變”是幾何構造的指導思想，找到運動過程 中的不變要素，如不變的位置、形狀、大小、關系等，這些 "不變”往往就是解題的突破口，而合同變換與這些"不變” 有著千絲萬縷的聯系。

平移變換思想在小學數學中的應用頗多，譬如平行四邊 形面積計算方法的推導教學就與平移變換思想息息相關。在 學習此知識之前，學生已經掌握了長方形的面積求解方法。 因此，在教學時，教師可以有意識地引導學生將平行四邊形 與已學習過的平面圖形建立聯系。學生動手操作，探索交流， 易發(fā)現：截取平行四邊形的任意一條高，可將平行四邊形分 為一個直角三角形和一個梯形，或者分為兩個梯形，隨后通 過平移圖形，平行四邊形可轉化為長方形，進而發(fā)現平行四 邊形的底和髙與轉化后的長方形的長和寬之間的聯系，這樣 一來，平行四邊形面積的計算方法就呼之欲出。這一過程正 是運用了平移變換的思想，使圖形與圖形之間構建起了聯系。

平移變換思想的運用不僅有助于面積計算公式的推導， 還可幫助學生開拓解題思維，創(chuàng)新解題方法。例如本題：如 圖1， 一塊草坪長為42米，寬為25米，它被4條1米寬的小路平 均分成了9小塊，草坪的面積是多少平方米？

本題中，若學生固定思維，僅依靠原圖尋找解題突破點， 則較難解決問題，但若運用平移變換的思想，將四條小路進行 平移，如圖2所示，則9塊小草坪就可聚集為一個長方形大草坪， 易得長方形草坪的長與寬，算得草坪的面積為：40X23=920 （平方米）。

除了平移變換思想，掌握并運用旋轉變換與軸反射變換 思想對學生學習數學知識也有著不容小覷的作用。考慮到小 學生的認知水平有限，小學階段的數學教材僅加入了平移、 旋轉與軸對稱的幾何變換理論知識，教師從學生實際生活出 發(fā)，結合生活中常見的平移、旋轉與軸對稱變換的現象，引 導學生對圖形的變換形成基本概念，為中學階段更深層次的 幾何學習打下基礎。在教學過程中，若教師能有意識地滲透 變換思想，多方面地向學生展示旋轉與軸對稱的變換實例， 則有助于學生發(fā)現圖形變換的多樣性與幾何圖形的獨特美感， 有利于學生發(fā)展創(chuàng)新思維、樹立空間觀念、感受并創(chuàng)造生活 中的美。

四、初等幾何變換在實際教學中的幾點思考

初等幾何變換在小學數學中應用頗廣，如何及時、高效 地為學生滲透幾何變換思想，幫助學生理解并熟練掌握幾何 變換是對教師的一大考驗。因此，筆者就小學幾何變換教學， 從學生與教師兩個角度出發(fā)，提出幾點教學思考。

（一）重視數字化的多媒體教學

與其他小學數學知識點相比，初等幾何變換的教學內容 有著明顯不同，其中一大難點在于它的抽象性，這就要求學 生具有較好的發(fā)散思維和聯想能力。若教師運用傳統的填線 作圖方法，通過親自演示來進行例題講解，不僅操作步驟復 雜，需要花費一定時間，而且不利于學生觀察整個幾何變換 的過程，從而缺少對幾何圖形的整體認知。相反，若借助一 些好的教學手段，則能達到事半功倍之效。

我國的信息技術發(fā)展已進入新時期，將小學數學教學與 數字化的多媒體相結合逐漸成為一種主流的教學形式。譬如， 在面對部分涉及旋轉變換的例題時，小學生由于缺乏空間想 象能力，往往會表現得束手無策，對于變換后的整體圖形無 法完全理解，這就造成了解題上的巨大困難。針對此種困境， 幾何畫板充分發(fā)揮了作用。通過演示整個旋轉變換過程并對 比變換前后圖形的差異，期間配合教師的講解，學生很容易 就可以掌握解題思路。此種教學模式可以為學生提供一個動 態(tài)的變換過程，讓學琳幾何變換有更加生動的認知，也可 以培養(yǎng)學生的空間想象能力，為以后的空間幾何學習打下基 礎。

（二） 重視自主探索的啟發(fā)式教學

現階段，多數的小學數學教學模式仍是通過教師講解 例題引出知識點，學生進行課后習題訓練鞏固所學知識的 形式來完成教學任務。此種模式下，學生需要通過大量的 課后訓練、步步改錯才能真正掌握幾何變換的知識點，而 且一旦脫離習題訓練一段時間，遺忘的概率會顯著增加， 必須再次講解。如此反復，必將造成大量的教學時間的浪 費。

“授人以魚，不如授人以漁。”與其直接傳授給學生 解題技巧，不如步步引導，讓學生嘗試著自己探索解題方 向。此種教學模式把學生作為主體，由學生控制課程進度， 教師作為點撥人，可以充分發(fā)揮學生自身的主觀能動性。 學生自己摸索出的解題方式是學生慣性思維的產物，再次 遇到相關的題目時能夠順其自然地出現在腦海里，印象深 刻且不易遺忘。

（三） 重視實踐運用的趣味性教學

數學不同于語文、英語等文科，主體構成是嚴謹的思 維邏輯和正確的公式技巧，注重客觀實際的論證，而不是 主觀想象的臆斷，這在很大概率上會導致數學教學的枯燥 乏味。在幾何變換教學中，學生面對的都是形形色色的幾 何圖形，題目本身的抽象性會影響到學生的聽課興趣，使 得學生的注意力會時不時地轉移，一旦分神，大概率會影 響后續(xù)的聽課效果，很難再次跟上教師的節(jié)奏，興趣就更 小了。如此惡性循環(huán)，結果就是知識點把握不住。

興趣是學生最好的老師，對于幾何變換問題，教師更 要注重學生的聽課興趣，讓興趣去激發(fā)學生的求知欲。可 以給學生設置一種實際問題的場景，把抽象的幾何變換問 題變成聯系生活實際的趣味問題。除此以外，也可以考慮 不定期地在課前布置一道趣味奧數幾何題，激發(fā)學生的思考 興趣，為后續(xù)的教學開展做好鋪墊。

（四） 重視學生參與的互動性教學

課堂教學不是教師一個人的講解專場，而是教師與學 生積極互動的思維碰撞。傳統的幾何變換教學模式是一種 知識點的單向傳輸，學生只需不斷聽取，按部就班地去解 題，其中跳過了當場反饋、困惑解答的過程，教師對于學 生的知識掌握情況也不能了解透徹，雙方之間缺少溝通互 動的橋梁。

前文提到的幾何畫板，是一種可以提供互動性教學的 平臺。一方面，幾何畫板的應用改變了教學形式，讓學生 有更大的學習興趣;另一方面，教師可以邀請部分學生走上講臺使用幾何畫板，共同參與幾何變換的學習，針對 學生反映的問題集中解答。此外，互動性教學還是改變 傳統師生關系的一項重要舉措，有利于形成亦師亦友的 新型師生關系，在這種關系下開展教學能夠有效地活躍 課堂氛圍，調動學生的積極性。

五、結束語

初等幾何變換作為小學數學的重要組成部分，不僅 具有獨特的魅力，其實用性與重要性更是不容忽視。小 學生對幾何變換思想接觸尚淺，即便有了一定的理解， 遇到問題時，其應用幾何變換思想的意識仍然較為薄弱， 這就需要教師做出適時、恰當的引導。興趣是學習的基 礎，教師應從學生的心理層面出發(fā)，觀察學生接納知識 的能力與水平，因材施教，甄選出最適宜的教學模式，而 不是墨守陳規(guī)、刻板教學。總而言之，掌握初等幾何變換 思想，不僅能幫助學生高效率地解決幾何問題，其對學生 思維層面的開拓與升華更是大有裨益。

參考文獻：

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（責任編輯：吳延甲）