條件關聯追本源 思維流淌顯本質

羅靜 何貽勇

[摘? 要] 在解一個數學問題時，教師一般都會引導學生找顯性條件和隱含條件，并做出一系列的思維反應訓練活動，從條件出發將思維的觸角發散開來，進行一系列的大膽嘗試與猜想，找到與已學知識的關聯，即追尋問題的本源，將思考痕跡中的思維流淌出來，方顯問題的本質.

[關鍵詞] 條件關聯;思維;思維流;數學本質

一道題的所有條件中，最重要、最關鍵的那（幾）個條件就是我們解決問題的思維流的源泉，也是我們平時說的“題眼”，一道題的題眼也許就是一個蘊含數學含義的字、詞，一個具有特殊含義的符號，一個隱藏數學道理的結構式等，而解決一個數學問題的切入點或者突破口恰好就是題眼. 在此基礎上，直覺思維、聯想思維應運而生. 直觀感覺、發散聯想都很重要，它們是開啟解題思路的“金鑰匙”，直觀感知和聯想點有沒有起作用，得以嚴謹的數學推理和演算來證明.

案例呈現

案例 如圖1，在正方形ABCD中，E是CD的中點，F是AD的中點，連接BE，CF，它們相交于一點P，求證：AP=AB.

讀：首先容易分析出△BCE≌△DCF，即可得出∠CBE=∠DCF，從而BE⊥CF. 這是本題中涉及線段AP的一個重要特征，在后面的圖形中均已標出.

想：如何證明兩條線段相等的基本思考點是：①證等腰（基本圖形）;②證全等;③構造全等;④轉化再證相等（轉化邊、角）.

聯想一：全等三角形構造

這道題的最初想法是構造全等三角形，如圖2所示，證△ABF≌△APG即可，或者如圖3所示，證△AQB≌△AFP，而圖4、圖5都是由線段在幾何位置上的對稱性來構造全等，既可以向內構造，又可以向外構造，請讀者自行畫圖. 圖6證△ABM≌△APM.

聯想二：構造基本幾何圖形

如圖7所示，連接BF，構造等腰三角形ABP;如圖8所示巧作中垂線，取BC的中點M，連接AM，證AM是BP的中垂線即可.證明線段相等除了構造全等，也應考慮構造所學習的基本幾何圖形（模型），如中垂線、角平分線、特殊三角形、特殊四邊形等，將分散孤立的幾何元素集中在基本圖形中，利用它們的關聯解決問題.

聯想三：直接計算的方法

除了上述過程中涉及幾何圖形局部的特點以外，還應有利用幾何整體觀來解幾何題. 由正方形的圖形特點，可以考慮建立平面直角坐標系，利用解析式幾何法求解證明. 設正方形的邊長為2，記為∠CPB=θ，利用余弦定理公式法直接計算AP=2;如圖9所示，仍然設正方形的邊長為2，利用勾股定理直接計算出AP=2亦可.

簡評 上述思路方法中涉及的構造是學生學習幾何基本知識、基本技能、基本思想中所積累的基本活動經驗，此學習過程非常重要. 只有在這樣的直接經驗和間接經驗的基礎上，才容易聯想到構造幾何圖形來突破線段相等證明問題. 往往要求學生要具有較強的分析能力、數學表達能力，只有這樣，才能做到解答過程思路清晰、條理清楚、結構緊湊、過程簡潔. 推理過程不再贅述.

教學說明 上述方法中的構造全等三角形，實無定法，但都有著一般性的心得體會和基本學習經驗！一是抓住關鍵因素的特征，盡量發揮題設的特點，關聯已經學過的基本知識和技能，批注出它的二級結論;二是當題目的條件、結論過于分散或孤立時，把條件和結論之間的點、線“集中”起來，集中到一個基本的幾何圖形中，共同發揮較大的作用，為解題服務.在這個思維場中，當經驗不足以克服困難時，迅速捕捉到可行的解決方法（方案）體現出了思維流活動的軌跡全過程（如：平行思維流軌跡、周圍擴散思維流軌跡、廣角投射思維流軌跡等），教學中應當有意識地構建學生解題過程的整體觀.

上述思維過程中，一般都有這樣三個方面的思維活動經驗，第一，對數學核心知識結構的理解要更加深入，利用數學基本知識之間的聯系尋找關聯解題，像這樣圍繞在基本知識周圍，從橫向、縱向羅列出有關的二級結論，甚至三級結論，并將它們放進大腦里迅速進行排序，其基本知識面的范圍半徑越寬，思路就越開闊，思維過程就越明朗. 第二，條件和結論之間的關聯，問題與類似問題之間的關聯，知識與類似知識之間的關聯，都會促使解題者產生豐富的聯想活動，捕捉到思考數學問題和解決數學問題的最初想法，并形成最后成熟的想法. 第三，從數學問題的表征形式、呈現形式出發，利用數學方法正確表征問題本質，正確拆分目標任務（模塊），由此開啟了一系列解題思維流活動.

教學啟示

1. 掌握基礎知識，重視知識之間的關聯點

學生面對一個數學問題所涉及的基本知識點時，最初的想法是什么？往往會利用聯想思維、自己的基本活動經驗開始一系列的思考. 最初的心理狀態又是怎樣的？從剛開始比較茫然的狀態到有章法可尋，在思考的后半段時間里內心是比較踏實的. 因此，深入理解數學每一個分類下的基本概念的內涵和外延以及主體知識結構的邏輯關系，是基本活動經驗積累與再積累的一個前提，理解知識板塊之間的數學本質聯系是基本活動經驗的創造與再創造的關鍵. 這就要求在教學中要特別注意引導學生對數學問題所涉及的基本知識的來龍去脈、邏輯關系、數學基本知識體系進行熟練掌握，并強化訓練由知識點聯想到解題突破口和切入點的思維過程. 比如，在一元一次方程的應用中解行程問題時，利用行程問題中速度、時間、路程等基本數量關系（基本事實），利用它們是“同等地位”的題干已知條件，尋找思路進行一題多解，這樣的數學思維軌跡是平行的，體現了數學思維的對稱性.

2. 理解基本解法，構建解題方法模塊框架

在解探究圖形變化規律問題時，我們通常從兩個角度出發：一個是從幾個特殊圖形所對的數和序號出發，找相鄰兩個圖形所對的數之間的變化量與位置序號有怎樣的關系;另一個是從圖形的角度出發，觀察圖形的分布特征，變化趨勢，從中發現規律，并以此類推，得到圖形的規律，需要運用從特殊到一般的探索方式，分析歸納出增加或減少的變化規律，并用含有n的代數式表示出來. 需要注意的是用局部的一兩個圖形之間的規律代替一般規律，以及忽視第一個圖形的規律都是常見錯誤之一，這中間所涉及的數學基本思想方法是數形結合、邏輯推理、直觀想象、分解化歸，幾何代數化、代數幾何化等.

開展對學生的解題反思研究，學生在有了一定的方法和經驗并不斷探索其他的方法時，雖然大多數探索的方法大同小異，但也經常會有意外的驚喜收獲，因此指導學生解題后反思非常重要.學生的學習反思有以下幾個層次：一是反思自己的解題過程是否正確，是否為通性通解法，是否忽略隱含條件，是否主觀臆斷，是否用特殊代替了一般情況，是否無故增設已知條件，邏輯是否有問題等等. 二是反思過程與方法的優劣，是否有其他的更優的方法，對于同一道題從不同的角度去思考，會得到不同的啟發和認識，從而能得出更多的解題方法，體會出方法之間的優劣，有了方法的比較，學生思維的觸角才能伸向不同方向、不同層次、不同高度，才能更好地發展發散思維能力.三是反思過程與方法的運用范圍，還可以類比地學習哪些方面的知識，解決哪些問題，由此培養一種遷移能力，這樣不只是舉一反三，還能達到觸類旁通，甚至是融會貫通.教師如果長期堅持這樣的學法輔導教學，學生就會形成一定的思維方法，更加能上升到用數學思想解題，也會積累到許多數學基本活動經驗 [1]. 學生自己形成的解題方法模塊的再訓練是非常重要的，只有這樣，學生的思維才能得到鞏固和發展，才真正意義上有了一定程度上的思維習慣和應試素質.

3. 開闊思維視野，形成解題基本思想體系

以轉化思想為例，波利亞的數學解題觀是“解題就是轉化問題”，將原問題轉化為已經解決（能解決）的問題，就是問題的條件的推理步驟序列的集合，把整個題的條件與結論串接起來的各個步驟所組成的序列就是解題過程. 教學時，應引導學生經歷觀察、聯想、轉化的基本學習過程，將上述問題轉化的關鍵因素一一排列出來，找出問題本質即可迎刃而解. 比如：二次函數中的面積最值問題的轉化過程中由幾何問題代數化（利用函數思想求最值）和代數問題幾何化（利用幾何圖形直觀理解）相結合來解決問題是我們常用到的基本活動經驗. 還可以適當地再積累基本活動經驗，如上述面積最值問題的解題過程中的結論呈現出來，即點E的橫坐標為直線與二次函數的交點橫坐標和的一半時，面積取最大值. 甚至適當地拓展到不是直線與二次函數兩交點有關的三角形面積最值問題， 將問題繼續向上述問題轉化. 比如：在二次函數中求面積最值問題、周長最值問題、特殊線段最值問題、距離問題時，都可以轉化為求“鉛垂高”的最值，無論是直接法、切線法、割補法，還是化斜為直，都是利用轉化思想將問題不斷聯想轉化，直至轉化到最根本的問題上來，轉化到熟悉易解的簡單問題上來.

教學建議

解題教學活動中學習場[2] 的營造，應凸顯出解題訓練中思維場營造. 解題過程主要是深化鞏固數學知識與方法，訓練數學思維與能力. 解題過程中思維規律主要還是“思維定式”或“經驗優先”，經驗起著至關重要的作用，比如學生面對一個數學問題，根據題目“環境”判斷思考的路徑，憑直覺思維、經驗選擇最優解題方法，憑扎實基本功和豐富的經驗判斷一個結果是否正確等. 因此，解題教學活動重點解決的三個方面的問題：一是解決“怎么想”的問題，即解題思路和計劃是如何想出來的？二是解決“怎樣做最好”的問題，即執行解題計劃時應該注意哪些因素？三是解決“反思、點撥”的基本經驗積累問題，即從技巧到方法的提煉，力求透過解法看本質，達到舉一反三，觸類旁通，進而達到從方法上升到思想以至融會貫通[3] .

讀一讀、想一想、算一算、推一推、理一理、寫一寫等過程是學生獲得思維發展的有力保障. 因此，解題的一般步驟主要是讀、想、理（算）、寫，即讀懂題意主要是標注已知條件和基本事實，批注二級結論，挖掘題設中的隱含條件;想出解題方法與思路，明確已知與未知的數學聯系，這樣才能準確理解數學問題，并形成證題思路;理就是在讀和想的基礎上，選擇易于表達的證題方法，并嘗試寫出關鍵的式子;寫就是用盡可能簡潔、簡練、準確的規范語言，將證明中涉及的等量代換方程思想、邏輯推理等書面表達出來. 這樣能更好地將數學抽象（讀：捕捉數學信息，是一個從數學外部到數學內部的過程），邏輯推理（想：推導數學結論，從一個數學結論到另一個數學結論的過程），數學建模（寫：尋找基本圖形、幾何模型，從一個數學問題到另一個數學問題的過程），數學運算（算：邊角等量代換），直觀想象，數據分析（理：角度、邊長所暗示的幾何知識）在解題過程中得以落地.

教會學生解題和教會學生會解題是兩碼事，是授人以魚和授人以漁的區別，特別要將探尋一題多解的思考過程展現給學生，尋找方法的方法傳授給學生，使學生學習能力真正得到提高. 這樣既要求學生儲備基本知識與技能，又要求學生將原有的基本活動經驗作為新的基本活動經驗的積累與再積累、創造與再創造，使這樣的過程不斷延續下去.

在教學中，對學生解題能力的培養與落地生根的思考，一是注重選例的典型性，讓學生經歷簡單模仿、變式練習、自發領悟、自覺分析、反思提煉的訓練過程，從而獲得嘗試、體驗、領會、悟道的基本活動經驗;二是注重挖掘多角度思考的課本習題;三是注重對教材習題的數學本質的引申與拓展;四是注重對學生思維品質培養的引導;五是注重對學生思維痕跡的總結提煉.

綜上所述，我們應從各個方面做好充分的教學準備，更好地追尋問題本源，將思考痕跡中的思維流淌出來，以此揭露出數學問題本質.

參考文獻：

[1] 何貽勇. 初中數學課堂教學高效性的實踐與思考[J]. 數學教學通訊，2019（2）.

[2] 黃仁壽. 學習場的誘惑——發展高中數學核心素養的思考和實踐[M]. 湖南：湖南教育出版社，2018.

[3] 彭林，劉杰. 中代數一題多解[M]. 上海：上海教育出版社，2018.