例談綜合題的解法

史玨爾

【摘要】綜合題一般由一個(gè)較為復(fù)雜的圖形和幾個(gè)基本問(wèn)題有機(jī)組合在一起的題目，它涉及到數(shù)學(xué)中較多的數(shù)學(xué)知識(shí)，并蘊(yùn)涵著一定的數(shù)學(xué)思想方法。首先要會(huì)分解圖形，尋找到解綜合題的突破口，在此基礎(chǔ)上利用圖形的直觀性進(jìn)行聯(lián)想、猜想、驗(yàn)證與篩選，獲得解題方法的信息，然后利用綜合和分析的思維方法找到解題的方法，并結(jié)合各種數(shù)學(xué)思想方法和添加輔助線，使問(wèn)題得到順利解決。

【關(guān)鍵詞】思維方法 ?數(shù)學(xué)思想方法 ? 直觀性 ?輔助線

綜合題是涉及數(shù)學(xué)中較多的數(shù)學(xué)知識(shí)的題目。一般的綜合題是由幾個(gè)基本問(wèn)題有機(jī)地組合在一起，并蘊(yùn)涵著一定的常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法。所以，在解綜合題時(shí)，只要分清題目的結(jié)構(gòu)，把綜合性的問(wèn)題，分解為若干個(gè)基本問(wèn)題，同時(shí)注意運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，就能解答好。

一、分析圖形的結(jié)構(gòu)。

1、綜合題往往有一個(gè)較為復(fù)雜的圖形。實(shí)際上，這種圖形往往是幾個(gè)常見(jiàn)的基本圖形有機(jī)地組合在一起。而學(xué)生要解答好綜合題，首先要會(huì)分解圖形，然后，從基本圖形著手，尋找到解綜合題的突破口。

例1 ? 已知：在⊿ABC中，AD為∠BAC的角平分向，以C為圓心，CD為半徑的半圓交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AD與點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)M，且∠B=∠CAE，F(xiàn)E：FD= 4：3。

求證：AF=DF;（2）求∠AED的余弦值;（3）如果BD=10，求⊿ABC的面

分析 ? 本題的圖形是曲直混合的圖形，所以顯得比價(jià)復(fù)雜。在此圖中，我們可以通過(guò)把EF⊥AD，和∠DAE=∠ADE的組合，分解出一個(gè)等腰三角形的三線合一的基本圖形。把∠B=∠CAE和∠AEB是公共角這兩個(gè)條件組合起來(lái)，又可以分解出⊿ABE∽⊿CAE。……