初中數(shù)學(xué)速解動點問題的策略研究

谷琴

摘要：初中數(shù)學(xué)動點問題中的函數(shù)圖象問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點，也是難點，更是中考熱點，通常多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)。大多數(shù)學(xué)生遇到這個類型的問題都束手無策。其實，只要我們通過大量的實例，分析其本質(zhì)，問題就迎刃而解。如何速解初中數(shù)學(xué)動點問題中的函數(shù)圖象問題呢？歸根結(jié)底主要還應(yīng)夯實學(xué)生的“四基”，培養(yǎng)學(xué)生的“四能”。本文將對初中數(shù)學(xué)動點問題中的函數(shù)圖象問題的類型及速解策略進(jìn)行探討研究。

關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué); 動點函數(shù);速解策略

初中數(shù)學(xué)動點函數(shù)圖象問題主要考查學(xué)生的基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗以及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，旨在通過解決這些問題培養(yǎng)學(xué)生的各種能力，掌握解題的基本思想和速解策略。

一、中考動點問題中的函數(shù)圖象問題的常見考查類型

1、分析實際問題判斷函數(shù)圖象

2、結(jié)合幾何圖形中的動點問題判斷函數(shù)圖象

3、分析函數(shù)圖象，然后進(jìn)行幾何計算。

二、初中數(shù)學(xué)動點函數(shù)圖象問題的速解策略

想要速解動點函數(shù)圖象問題，應(yīng)通過大量的實際例子，深入分析問題的本質(zhì)，橫向找聯(lián)系和共性，縱向找本質(zhì)的區(qū)別。具體策略如下：

1、分析題意，明確意義。明確橫軸、縱軸上的兩個變量所代表的意義、動點運動的方向、速度以及點在幾何圖形上運動過程中的特殊位置：起點、拐點和終點。

2、操作演示，找準(zhǔn)對應(yīng)。讓學(xué)生實際操作，畫出運動中的幾種圖形，然后，教師再借助于現(xiàn)代信息技術(shù)幾何畫板演示動點運動過程中所構(gòu)造出的圖形，找準(zhǔn)動點在幾何圖形中運動的過程中特殊點（起點、拐點和終點）與函數(shù)圖象中特殊點之間的對應(yīng)關(guān)系。

例1：（2020·平頂山二模）如圖①，在? ?ABCD中，動點P從點B出發(fā)，沿折線B→C→D→B運動，設(shè)點P經(jīng)過的路程為x，△ABP的面積為y，把y看作x的函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖②所示，則圖②中的a等于（ ）

A.3 15 ? ? ?B.4 6? ? ? ?C.14? ? ? D.18

點評：本題中動點P在幾何圖形上運動的過程中分三種情況：⑴點P在BC上運動;⑵點P在CD上運動;⑶點P在BD上運動。運動中的這三種情況分別對應(yīng)右圖中的三段函數(shù)圖象。其中點P在幾何圖形上運動的過程中有幾個特殊位置：起點B、拐點C、拐點D和終點B，它們分別對應(yīng)右圖函數(shù)圖象中起點（0，0）、拐點（6，a）、拐點（14，a）、終點（18，0）。找準(zhǔn)了對應(yīng)關(guān)系，結(jié)合兩個變量的意義及所求的問題，列出符合題意的方程即可求解。

3、“動”中尋“靜”，以“靜”制“動”。例2：（2020·河南二模）如圖①，在正方形ABCD的邊BC上有一點E，連接AE.點P從正方形的頂點A出發(fā)，沿A→D→C以1 cm/s的速度勻速運動到點C.圖②是點P運動時，△APE的面積y（cm2）隨時間x（s）變化的函數(shù)圖象。當(dāng)x=7時，y的值為（? ? ）

A.7? ? ? ? ?B.6? ? ? ? C.132? ? ? ?D.112

點評：本題是動點函數(shù)圖象問題，我們要以不變應(yīng)萬變，以不動制萬動，“動”中尋“靜”，以“靜”制“動”。其中點P在幾何圖形上運動的過程中有幾個特殊位置：起點A、拐點D和終點C，我們可以把點P運動到幾個特殊位置的那一瞬間的狀態(tài)看成是靜止的，它們分別對應(yīng)右圖函數(shù)圖象中起點、拐點、終點。綜合幾何圖形和對應(yīng)的函數(shù)圖象，分析點P運動到幾個特殊位置的那一瞬間的已知量和未知量，然后建立方程，從而解決問題。

4、橫縱對比，回歸本質(zhì)。例3：（2020·鄭州二模）如圖，在正方形ABCD中，邊長CD為3 cm.動點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AC方向運動到點C停止.同時動點Q從點A出發(fā)，以1 cm/s的速度沿折線AB→BC方向運動到點C停止.設(shè)△APQ的面積為y（cm2），運動時間為x（s），則下列圖象能反映y與x之間關(guān)系的是（ ）

點評：根據(jù)點P、Q的運動速度和運動方向，可分兩種情況：①當(dāng)點Q在AB上運動時，此時?APQ的底AP和高EQ都是變化的量，因為三角形面積= ×底×高，所以?APQ的面積是自變量x的二次函數(shù)。②當(dāng)點Q在BC上運動時，?APQ的底CQ是變化的量，而高AB是常量，所以此時?APQ的面積是自變量x的一次函數(shù)。所以選D。

例4.（2020·銅仁）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動點P沿折線BCD從點B開始運動到點D，設(shè)點P運動的路程為x，△ADP的面積為y，那么y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（ ）

點評：例4中，分兩種情況①當(dāng)點P在BC上運動時，此時?APQ的底AD和高AB都是常量，因為三角形面積= ×底×高，所以?APQ的面積仍是一個常量，此時函數(shù)是常數(shù)函數(shù)。②當(dāng)點P在CD上運動時，?APQ的底AD是常量，而高PD是變化的量，所以此時?APQ的面積是自變量x的一次函數(shù)。所以選D。

歸納：對于動點問題中的關(guān)于三角形面積的函數(shù)圖象的判斷問題，我們可以總結(jié)如下速解策略：當(dāng)三角形的底和高都是常量時，其面積也是常數(shù)，因此是常數(shù)函數(shù)。當(dāng)三角形的底和高中有一個變化的量，則其面積就是自變量的一次函數(shù)。若那個變化的量隨自變量的增大而增大，則面積也隨自變量的增大而增大，圖象從左到右呈上升趨勢;若那個變化的量隨自變量的增大而減小，則面積也隨自變量的增大而減小，圖象從左到右呈下降趨勢。當(dāng)三角形的底和高中兩個量都是變量，那么其面積一定是自變量的二次函數(shù)。若兩個變量都隨自變量的增大而增大或者都隨自變量的增大而減小，則二次函數(shù)的二次項系數(shù)一定是正數(shù)，所以拋物線的開口向上;若兩個變量一個隨自變量的增大而增大，另一個隨自變量的增大而減小，則二次函數(shù)的二次項系數(shù)一定是負(fù)數(shù)，所以拋物線的開口向下。 掌握了常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的本質(zhì)特征，解決這些問題就易如反掌。

因此，教學(xué)中我們要引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，對遇到的問題進(jìn)行探究，從而解決問題，總結(jié)解決問題的方法策略。作為教師我們更要努力成為研究型教師、專家型教師。

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