APOS理論視域下圓的標準方程的教學設計

羅震

【摘要】掌握數學概念是學習數學的基礎.概念教學是培養學生數學抽象等學科核心素養的重要方式.APOS理論能有效指導數學概念的教學.本文基于APOS理論進行的教學設計，較好地促進了學生數學學科核心素養的達成.

【關鍵詞】APOS理論;圓的標準方程;教學設計

2017年版的普通高中數學課程標準強調課堂教學應以人為本，教師要轉變角色和教學行為，培養學生的創新思維，引導學生用數學的視角深度思考、厘清數學概念的來龍去脈，凸顯教學的生成性.美國數學家Dubinsky等人提出的APOS理論的四個發展階段（操作Action、過程Process、對象Object、圖示Schema）從認知心理學視角上揭示了學生進行數學概念學習的心理全過程.運用APOS理論進行數學概念教學有助于學生在教學情境中加深對數學概念的理解、自主建構知識體系，有利于學生掌握概念的本質內涵.本文基于此理論進行了“圓的標準方程”的教學設計.

1 教學設計分析

1.1 教材分析

1.1.1 教學內容

本節的教學內容是人教A版普通高中教科書《數學》選擇性必修第一冊第二章2.4.1圓的標準方程，探討在平面直角坐標系中確定圓的基本幾何要素，并使用坐標表示這些幾何要素，進而得到圓上動點的坐標所滿足的關系式，建立圓的標準方程.

1.1.2 在教材中的地位與作用

教材安排在直線和圓錐曲線之間學習圓的有關知識，意在讓學生進一步熟悉坐標法，為學生以后學習三大圓錐曲線做準備.

1.2 學情分析

本節內容對高中的學生來說，入門不難，但這節課需要學生構建幾何、代數之間的橋梁，運用代數方法研究圓的性質.

1.3 教學目標

知識與技能目標：會用定義推導圓的標準方程;熟悉圓的標準方程的特點和求法;準確地確定點和圓的位置關系.

過程與方法目標：創設問題情境，重點講解、變式辨析、歸納小結，激發學生思維，使學生能用坐標法、待定系數法和數形結合思想去解決圓的有關問題.

情感態度與價值觀目標：通過學習本節知識，引導學生進行有深度的思考和交流討論，用代數方法解決一些有關圓的簡單的實際問題，促成學生數學抽象、數學運算等數學學科核心素養的實現.

1.4 學習重點、難點

重點：圓的標準方程的求法;

難點：圓的標準方程的應用.

2 教學設計

2.1 操作（Action）階段：創設情境，感知圓

情境1：教師讓學生看幾張生活中的圓圖案：摩天輪、奧運五環等，問學生在初中，圓的定義是怎樣的.

情境2：教師讓學生自己動手畫圓.

師引入數學文化“墨子、古希臘歐幾里得關于圓的定義”，讓學生了解人們對圓的認識過程，感悟數學的文化價值.

2.2 過程（Process）階段：探究新知，建構圓的定義

問題：類比在平面直角坐標系中確定一條直線的幾何要素，你們知道確定圓需要幾個要素嗎？這些要素能否推導出圓的方程？

2.3 對象（Object）階段：建構對象，通過圓的定義推導出圓的標準方程

2.3.1 探究圓的標準方程

問題1：在平面直角坐標系中，已知圓心A的坐標為（a，b），則半徑為r的圓的方程是什么？如何推導？

（1）建系設點.

教師請學生在黑板上畫出直角坐標系（強調僅就一般情況推導）.設圓上任一點M坐標為（x，y）.

（2）寫點集.

根據定義，圓就是集合P={M||MA|=r}.

（3）列方程.

由兩點間的距離公式得：（x-a）2+（y-b）2=r.

（4）化簡方程.

將上式兩邊平方得： （x-a）2+（y-b）2=r2. （1）

教師讓學生從正反兩方面來解釋點坐標與方程（1）的關系，繼而給出圓的標準方程的定義.

問題2：此方程展開后有什么特點？當原點為圓心時，此方程變為什么？

師小結：圓的位置和大小需要圓心和半徑分別確定，所以確定了a，b，r三個量且r>0，圓的方程就確定了.即確定圓的方程必須具備三個獨立的條件，利用待定系數法即可確定a，b，r.

2.3.2 鞏固練習

（1）說出下列圓的圓心坐標和半徑.

①（x-3）2+（y+2）2=4;

②（x+4）2+（y-2）2=7;

③x2+（y+1）2=16;

④2x2+2y2=8.

（2）寫出下列各圓的標準方程.

①圓心在原點，半徑是4;

②圓心為C（-3，4），半徑是5;

③圓心為C（-8，3），且經過點M（-5，-1）.

2.3.3 探究點與圓的位置關系

例1 已知P 1（4，9），P 2（6，3）兩點，求以線段P 1P 2為直徑的圓的標準方程，并判斷點M 1（6，9），M 2（3，3），M 3（5，3）與圓的位置關系.

思考 怎樣判斷點M 0（x 0，y 0）在圓內，圓上，還是圓外呢？（學生小結）

變式1 已知M（5，7）和圓 （x-2）2+（y+3）2=25，則點M在（? ）.

A.圓內B.圓上

C.圓外D.無法確定

變式2 點P（m，5）與圓x2+y2=25的位置關系為（ ?）.

A.在圓外B.在圓上

C.在圓內D.在圓上或圓外

變式3 以點（2，-1）為圓心且與直線3x-4y+5=0相切的圓的方程為（? ）.

A.（x-2）2+（y+1）2=3

B.（x+2）2+（y-1）2=3

C.（x-2）2+（y+1）2=9

D.（x+2）2+（y-1）2=9

2.4 圖示（Schema）階段：鞏固提高

例2 一圓過三點A（-1，5），B（5，5），C（6，-2），求它的標準方程.

學生小組合作交流并小結及思考是否還有其他方法.

例3 已知圓C經過原點和點A（2，1），且圓心在直線l：x-2y-1=0上，求此圓的標準方程.

教師通過例題示范和變式使學生加深對概念的理解，學生通過鞏固提高練習銜接了概念所蘊含的內在知識點之間的聯系，也即通過多次的APOS循環過程螺旋上升建構出圓的標準方程的心理圖示.

本課小結及作業略.

3 教學設計反思

教學中，教師要引導，學生要自主建構.

APOS理論闡述了教師引導學生經過操作（Action）階段內化到過程（Process）階段，然后壓縮到對象（Object）階段，最后順應到圖示（Schema）階段.學生通過對新知識的探索、發現，達到對所學新知識本質的自主建構、反思和遷移，厘清問題本質，掌握概念內涵，最終順利解決問題.

在Action階段，教師聯系實際生活創設適當的問題情境，讓學生感知圓的美和認識圓的歷史.

在Process階段，教師類比直線，挖掘和利用學生已有的經驗，引導學生從數學的角度去發現問題，用數學的語言和方法思考如何解決問題，使學生思維水平提高.

在Object階段，教師采用小組討論、合作交流、學生展示等形式，以問題為引，引導學生運用坐標法探究圓的方程，發揮學生的主體性、主動性.

在Schema階段，教師通過例題示范、變式練習，從代數和幾何角度探索一題多解，數形結合，引導學生總結出新知識的有關規律，在腦海中構成新的認知圖示.這個階段不是一蹴而就的，不是線性的，是需要反復調整、反思、對比、檢驗的，是不間斷地把單個認知淺表圖示依照邏輯和概念間的內在聯系，通過知識線串聯而構成知識面，螺旋上升到更高的層次，最終把知識面依照其邏輯因果等關系組成有深度的多個圖示.

4 結論

綜上所述，基于APOS理論指導的教學設計，遵循了學生的認知規律，強調了學生的主動參與，凸顯了學生的主體性.它一方面使教師能夠預設有效的教學途徑啟發學生思考，關注學生生成性的發展;另一方面實施基于生活、內含問題的教學情境的互動式、探究式的數學概念教學，賦予知識以鮮活的背景，通過教師價值引領、鼓勵和倡導合作交流，幫助學生自主建構新知識，在把握知識來龍去脈的過程中獲得情感的體驗，促進了學生數學學科核心素養的有效生成.

【參考文獻】

[1]吳統勝.基于APOS理論的概念教學設計研究與實踐：以“分層抽樣”教學設計為例[J].中學數學研究（華南師范大學），2020（08）：6-10.

[2]戚艷興.基于核心素養與APOS理論的高中生函數的概念學習進階研究[D].上海：華東師范大學，2020.