數學文化在《等比數列》中的滲透性教學

金正靜

【摘要】在《上海市中等職業學校數學課程標準》的基本理念中，充分肯定了數學的文化價值，特別是在“課程基本理念”中指出，數學課程要體現數學文化，中等職業學校數學課程應適當反映數學的歷史、應用和發展的趨勢，數學科學與社會發展之間的相互作用，數學美學價值，數學家的敬業、創新精神等均體現了數學的文化價值.中職學生通過數學學習可受到數學文化的熏陶，有助于學生數學素養的提高.近年來，數學文化成為中職數學教育界關注的熱點之一，數學文化已逐步從理念走進中職數學課堂.

【關鍵詞】中職數學;數學文化;等比數列

引 言

所有的學問都是一種智慧，更是一種境界.數學是人類的一種文化，它的內容、思想、方法和語言是現代文明的重要組成部分.南開大學顧沛教授在談及數學文化的內涵時，從狹義和廣義兩個方面做了闡述.從狹義上說，數學文化即數學的思想、精神、方法、觀點、語言及其形成和發展過程;從廣義上說，除了狹義的內容外，數學文化還包括數學家、數學史、數學美、數學教育、數學發展中的人文成分及數學與各種文化的關系.

上海市教委教研室中職數學教研員沈翔老師強調在數學學科中實施素質教育需要“滲透數學文化，善用技術手段”，特別提到滲透數學文化和善用技術手段是目前數學教學變革的兩大重要抓手，希望廣大中職數學教師在保持原有優點的基礎上，加大對與課程相關的數學文化的關聯與滲透，加強數學學科的技術手段以輔助教學.從數學文化的高度重新認識中職數學的育人功能并正確定位中職數學課程，倡導用數學文化滋養數學課堂，樹立數學的文化形象，展現數學的文化魅力，必定會對中職數學教師的教學思路、數學課程的建設和教學方法的選擇產生深遠的影響.

華東師范大學張奠宙教授提議，我們數學教師在對數學文化有一個大體的認識之后，在數學教學課堂中圍繞課堂核心知識開展一些基于數學文化的教學設計，培養學生的數學學習興趣，讓學生在學習數學的過程中受到一定的文化感染，產生文化共鳴，體驗數學的文化品位和世俗的人情味.以下是筆者針對中職數學中“等比數列”一課就等比數列的概念、等比數列的通項公式、等比中項和等比數列求和這一知識鏈圍繞數學文化的滲透性教學展開的一些思考和探索.

一、在數學名題中情境導入——等比數列的概念

知識課堂謂之器，文化課堂謂之道.數學文化博大精深，數學經典名題大都立意深遠、構思精巧、內涵豐富.

1.教材引入呈現

上海教育出版社2015年中職數學教材第六章第3節“等比數列的概念”的第一段是這樣引入的：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，這是中國古代戰國時期惠施的名言.其含意是：一尺長的棍子，第一天截取一半，以后每天截取余下的一半，永遠也截不盡.

2.課堂授課處理

這一段引入包含著兩個文化知識，一個是事物具有無限可分性，這是極限的思想;另一個是有限和無限的統一，有限之中有無限，這是辯證的思想.學生對此很感興趣，教師順勢引導學生：如果把每日截取后所余的長度記錄下來，可以得到數列12，14，18，116，132，…，學生不難觀察得到這個數列從第二項起，每一項和前一項的比值都是12，由此引入等比數列的概念.這樣的課堂引入，有利于學生學習主體性的發揮，讓學生體會到古代數學家的思想方法，體會到數學的哲學真諦和文化屬性.

這樣的數學名題還有很多，古代數學著作 《九章算術》中有這樣一個問題：“今有牛、馬、羊食苗，苗主責之粟五斗，羊主曰：‘我羊食半馬.馬主曰：‘我馬食半牛.今欲衰償之，問各出幾何？”其大意為：“今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說：‘我的羊所吃的禾苗只有馬的一半.馬主人說：‘我的馬所吃的禾苗只有牛的一半.現打算按比例償還，則他們各應償還多少？”這其實就是一個等比數列的實際模型.在中外優秀傳統文化中挖掘素材，通過數學經典名題引入等比數列課題，在經典名題營造的數學文化氛圍中，讓中職學生感受數學的思維方式，體驗數學的理性精神.

二、在趣味數學中強化新知——等比數列的通項公式

如果對等比數列的文化素材挖掘止于此，那么只能停留在數學文化應用的較低層次，即僅在數學課堂上以數學史提高學生興趣而已.只有將數學文化滲透到整個“等比數列”知識鏈的探究學習中，才能拓寬學生的視野，培養學生全方位的認知能力和思考能力，這才是數學文化應用的較高層次.

畢達哥拉斯樹是由古希臘數學家畢達哥拉斯根據勾股定理畫出來的一個可以無限重復的圖形，因為重復數次后的形狀好似一棵樹，所以被稱為畢達哥拉斯樹，也叫“勾股樹”.

畢達哥拉斯樹以如下方式生長：以邊長為1的正方形的一邊作為斜邊，向外作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的兩直角邊為邊向外作正方形，得到2個新的小正方形，實現了一次生長;再將這兩個小正方形各按照上述方式生長，如此重復下去.設第n次生長得到的新小正方形的個數為an，如下表.

學生容易觀察得到，新的小正方形個數an是上一次生長的小正方形個數的2倍.根據等比數列的概念，可以判斷出{an}是首項a1=2，公比q=2的等比數列.教師這時可以設置問題：經過10次生長后，得到新的小正方形個數為幾個？學生利用剛學的等比數列的通項公式an=a1qn-1（n≥2，n∈Z），很容易得到當n=10時，a10=1024.

看著視頻中密密麻麻不斷冒出的小正方形，同學們不禁感嘆：“公比q=2就可以使等比數列的項增長得如此迅猛！形與數結合竟然有這么大的威力！”

有關等比數列的經典趣味數學還有《棋盤上的麥粒》.根據歷史傳說記載，國際象棋起源于古印度，相傳國王要獎賞國際象棋的發明者，問他想要什么，發明者說：“請您在棋盤的第一個格子里放1粒麥子，第二個格子里放2粒，第三個格子里放4粒，第四個格子里放8粒，以此類推，直到最后第64格放滿為止.”每個格子的麥粒數{an}構成首項a1=1，公比q=2的等比數列，利用等比數列的通項公式，可以得到第64個格子里的麥粒數是a64=263，這是一個天文數字.

三、在經典藝術中繼續探究——等比中項的概念

古希臘著名數學家普洛克拉斯曾盛贊過數學的美學價值，他認為數學的本質就是美，他曾發出這樣的感嘆：哪里有數學，哪里就有美的存在.的確，數學中包含著豐富的美，但是這種美是一種內隱的美.之所以說它是內隱的美，是因為這種美一般都蘊含于數學的知識內容或者數學的思想方法之中，學生無法直觀感受到它.所以教師在日常數學教學中要充分挖掘教材中的美學因素，將這些美學因素充分展示給學生，加強以數學美育為主的非智力品質的熏陶，引導和啟發學生去發現、感受和欣賞這種數學之美，感悟數學知識中蘊藏的文化內涵.

畢達哥拉斯的一句名言很有啟發性：“凡是美的東西都有共同的特性，那就是部分與部分及部分與整體之間的協調一致.” 黃金分割比具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，是公認的世上最能引起美感的比例.古往今來，黃金分割比在藝術創作中被大量應用，達·芬奇的名作《蒙娜麗莎的微笑》中有著大量的黃金分割比.我們當代人熟悉的蘋果logo也采用了黃金分割比，用數學公式和標準幾何圖形來設計圖標，能夠賦予圖標一種神圣的美感;黃金分割比也進入了2019年的全國高考數學卷.黃金分割比在建筑中也被廣泛應用，如古今中外都有這方面的例子，一些偉大的建筑壯舉中都可以找到黃金分割比的影子，如古希臘著名的建筑——帕特農神廟代表著古希臘建筑和雕刻藝術的最高水準，從神廟遺留下來的柱廊中，可以看出立面高與寬的比例為19∶31，接近“黃金分割比”;東方明珠電視塔是上海的標志性文化景觀之一，它的第二個觀光臺基本上處在黃金分割點的位置.

在欣賞了用黃金分割比創作的諸多藝術和建筑作品后，教師引入黃金分割比的定義：如圖4所示，點C把線段AB分成兩個部分，若BCAC=ACAB，則稱這個比值為黃金分割比.

從數列角度看，BC，AC，AB正好構成等比數列，AC稱為BC，AB的等比中項，至此引入等比中項的概念就水到渠成了.

四、在詩歌意境中深入學習——等比數列的求和公式

數學和詩歌都是人類思想的產物，在某些意境上相通.張奠宙先生認為，“數學是人做出來的，數學的思考過程必然會打上人文的烙印，數學意境和人文意境之間，是彼此相互借鑒的”.數學文獻中的詩歌告訴我們：歷史上數學和人文不像我們今天所看到的那樣彼此隔閡、相互獨立.在數學文化日益受到數學教育工作者們重視的今天，重新審視這些詩歌，可以帶給我們更多的感悟.

比如，我國明代數學家吳敬所著的《九章算法比類大全》中有一首“寶塔裝燈”詩：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增;共燈三百八十一，請問頂層幾盞燈？”該詩的意思是：在一座七層的寶塔中，共裝有381盞燈，從塔頂向下計數，每下面一層所裝燈盞數都是上一層的2倍，問塔頂裝有幾盞燈？若將塔的頂層燈盞數記為首項a1，從頂層起依次向下數，每層燈盞數構成公比q=2的等比數列，利用等比數列求和公式Sn=a1（qn-1）q-1（q≠1），就可以獲得塔頂的燈盞數.

再如，我國《孫子算經》中也有記載：今有出門望見九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色.問：各幾何？共幾何？題目中堤、木、枝、巢、雛、毛、色的數目構成首項a1=9，公比q=9的等比數列，利用等比數列通項公式可以回答“各幾何”的問題，利用等比數列求和公式可以回答“共幾何”的問題.古代還有這樣一首詩：“有個學生資性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，問君每日讀多少？”（注：《孟子》共34685字，“一倍多”指一倍）由此詩知該君第二日讀的字數為多少，設第一日讀的字數為a，由“每日添增一倍多”得此數列是以a為首項，公比為2的等比數列，可求得三日共讀的字數為a（1-23）1-2=7a=34685，解得a=4955，則2a=9910，即該君第二日讀的字數為9910.

以上這些詩巧妙地將等比數列隱含于其中，可見詩人的數學知識是何等淵博.在中職數學教學中將這些數學詩歌恰當地有機融入課堂，可以讓學生在充分感受詩歌中的數學美，感悟數學文化，增進數學學習記憶，同時增強學習內容的趣味性.

五、在現實熱點中鞏固升華——等比數列的實際應用

拐點是數學名詞，在數學上指改變曲線向上或向下方向的點.早在2020年2月初，鐘南山院士就曾預測，拐點將出現在2月中旬或下旬，后面的事實證明，拐點如期而至.鐘南山院士團隊是通過什么進行準確預測的呢？那必定是高度擬合的數學模型，用等比數列模型進行大致模擬.

如果把每個感染病毒的患者平均傳染的人數設為q（每個病人的傳染力，相當于傳染系數），每日新增確診數構成數列{an}，則{an}可以近似看成以q為公比的等比數列.若首項（第一天確診數）a1=1，公比q=2，由等比數列通項公式可知，每日新增確診數an=a1qn-1=2n-1，每日新增確診病例呈指數級增加，由等比數列求和公式，累計確診數Sn=a1（1-qn）1-q=2n-1.

若每日新增確診病例增到20000例時，通過醫護人員的努力和全國人民的居家隔離，每個病人的傳染力q降為0.5，每日新增確診數an=a1qn-1=20000×12n-1，則每日新增確診病例漸漸減少并最終趨于零.在累計確診病例總數達到50000例之后，累計確診數為Sn=50000+a1（1-qn）1-q=50000+400001-12n，累計確診病例總數將最終趨于50000.

實際上，由于受各種因素影響，每個病人的傳染力q一直處于連續動態的變化中.q每減少的一點，背后都是國家和抗疫前線醫護人員的巨大付出，而拐點，就是q=1的那天.

結 語

數學的教學內容有兩條主線，一條是知識主線，另一條是文化主線.知識主線是顯性的，文化主線是隱性的，散落于知識的各個部分，隱藏于數學知識的背后，需要我們教師不斷去發現、挖掘、體會，從知識中將其提煉出來.知識需要銜接，文化需要傳承，以題論題的教學方式在很大程度上只會增加中職學生的挫敗感.以知識為載體，讓文化滲透其中的中職數學課堂，可以讓中職學生在掌握數學科學價值的同時，感悟到數學的思想、方法、精神及數學的美學價值，數學科學與社會發展之間的相互作用，并能夠自覺或不自覺地運用數學知識解決實際問題，以提高學生的數學素養，讓數學更具感染力.

由于數學文化內涵的豐富性，所有符合數學文化理念的案例一般都具有多元化的視角.秉承“文化關聯”的原則，在保留核心數學知識的同時，中職數學教師有責任向學生展示數學文化的各個側面，培養學生的數學學習興趣，實現數學的人文關懷，讓學生在社會文化的大背景下去看待和理解數學，讓他們領略數學的美，經歷數學的嚴謹，學會敬業和求真.

【參考文獻】

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