從計算教學(xué)走向運算教學(xué)

沈瑞華 徐曉良

[摘 要]“筆算多位數(shù)乘一位數(shù)”是銜接“表內(nèi)乘法”和“多位數(shù)乘法”的重要內(nèi)容。根據(jù)一線教師的困惑，對比分析四個版本教材和學(xué)生的學(xué)習(xí)起點，重組教學(xué)路徑進行課堂教學(xué)實踐，并在實踐后繼續(xù)思考，整理出運算教學(xué)的主要策略。

[關(guān)鍵詞]計算教學(xué);運算教學(xué);筆算;多位數(shù)乘一位數(shù)

[中圖分類號] G623.5[文獻標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）20-0020-03

“筆算多位數(shù)乘一位數(shù)”是學(xué)生在學(xué)習(xí)了“表內(nèi)乘法”和“兩位數(shù)乘一位數(shù)口算（不進位）”的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的。本內(nèi)容是今后學(xué)習(xí)多位數(shù)乘兩位數(shù)、除數(shù)是兩位數(shù)的除法的基礎(chǔ)，也是學(xué)生建立和發(fā)展位值概念的重要基礎(chǔ)。對于三位數(shù)乘一位數(shù)的筆算教學(xué)，一些教師認為就是教學(xué)理解算理、掌握算法。這樣的認識背后有沒有隱憂？計算教學(xué)僅僅是讓學(xué)生掌握計算程序？在計算教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維能力？弄清楚這些問題，就能實現(xiàn)從計算教學(xué)走向運算教學(xué)。

一、隱憂：學(xué)生筆算學(xué)習(xí)起點調(diào)查

在學(xué)習(xí)了兩位數(shù)乘一位數(shù)后，筆者對三（3）班和三（4）班共90位學(xué)生進行了筆算三位數(shù)乘一位數(shù)的前測，結(jié)果見表1。

對以上數(shù)據(jù)進行分析，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在計算不進位、進1次位或進2次位的隔位進位的三位數(shù)乘一位數(shù)時，正確率都超過90%，說明學(xué)生已經(jīng)具備了將筆算兩位數(shù)乘一位數(shù)的計算方法遷移到筆算三位數(shù)乘一位數(shù)的能力。但在與出錯的學(xué)生訪談中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生筆算錯誤的原因集中在2個方面。

1. 疊加進位易算錯

大部分學(xué)生都能順利地將兩位數(shù)乘一位數(shù)的計算方法遷移到三位數(shù)乘一位數(shù)，但在計算乘與加的疊加進位時出現(xiàn)了錯誤。比如，計算385×6，385的每一位與6相乘時都向前一位進位，而且乘法進位過程中又出現(xiàn)了兩位數(shù)加一位數(shù)的加法進位： 48+3和18+5，這樣的乘與加的疊加進位，使學(xué)生心算時感到非常困難。

2.中間有0會誤算

在計算末尾有0的三位數(shù)乘一位數(shù)時， 學(xué)生能把口算整十、整百數(shù)乘一位數(shù)的方法遷移過來，末尾的0不參與計算，前兩位與一位數(shù)乘好后再添上末尾的0，相當(dāng)于還是在計算兩位數(shù)乘一位數(shù)。但計算中間有0的三位數(shù)乘一位數(shù)時，學(xué)生會根據(jù)“從個位起，依次相乘”的運算程序，讓0也參與計算，誤把0×6+2的得數(shù)算成8。

計算三位數(shù)乘一位數(shù)的乘法，學(xué)生會用哪些運算策略呢？統(tǒng)計三（3）班、三（4）班兩個班的學(xué)生計算三位數(shù)乘一位數(shù)所用的方法，結(jié)果見表2。

這兩道題的數(shù)據(jù)特點很明顯，都可以通過改變運算順序進行巧算。但被測的90位學(xué)生中，只有1%至2.2%的學(xué)生用了簡便方法（300×4+25×4和400×4-2×4），97.8%以上的學(xué)生都是程序化地在用筆算方法進行計算。這其實有一個弊端：學(xué)生只會像計算機一樣，按部就班地從三位數(shù)的個位起，依次與一位數(shù)相乘。積的書寫也是從個位起，一位挨著一位去寫，不用考慮位值。雖然這樣能計算出正確得數(shù)，但教師不清楚學(xué)生是否真的理解了算理，會不會給將來的教學(xué)埋下隱患。

懷著這種的擔(dān)心，筆者對四年級的數(shù)學(xué)教師進行了訪談，果然發(fā)現(xiàn)一些四年級學(xué)生在學(xué)習(xí)三位數(shù)乘兩位數(shù)時出現(xiàn)了問題：對位值概念理解模糊，第二層積的位置反復(fù)寫錯。這些學(xué)生出現(xiàn)問題的源頭就在于學(xué)習(xí)多位數(shù)乘一位數(shù)時只記住了乘的順序，沒弄明白乘的順序的本質(zhì)。造成學(xué)生算法僵化、不理解乘的順序的本質(zhì)的原因與教材的編排也有一定的關(guān)系。

二、分析：“筆算多位數(shù)乘一位數(shù)”的教材編排對比

1.四個版本教材的對比

筆者對人教版、蘇教版、北師大版和浙教版教材的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容的編排進行比較，結(jié)果見表3。

對比四個版本教材后發(fā)現(xiàn)以下三個異同點：一是將三位數(shù)乘一位數(shù)作為例題的教材版本有兩個，占50%;二是將中間或末尾有0的三位數(shù)的乘法作為例題的教材版本有三個，占75%;三是教學(xué)筆算乘法采用固定程序“從個位算起，依次相乘”的教材版本有三個，占75%。從四個版本教材的異同點來看，人教版、蘇教版、北師大版教材都更側(cè)重于三位數(shù)乘一位的教學(xué)，筆算方法唯一，即“從個位算起，依次相乘”，學(xué)生容易掌握，但挑戰(zhàn)不大。浙教版教材注重三位數(shù)乘一位數(shù)的教學(xué)，筆算方法多樣，即乘的順序有多種。這樣的編排更有利于學(xué)生根據(jù)實際情況選擇合理的算法，靈活計算，但挑戰(zhàn)較大。

2.人教版教材“筆算多位數(shù)乘一位數(shù)”內(nèi)容編排分析

人教版教材“筆算多位數(shù)乘一位數(shù)”的教學(xué)安排了6道例題（見表4）。

結(jié)合學(xué)生前測結(jié)果、四個版本教材的對比、人教版教材多位數(shù)乘一位數(shù)筆算的編排分析，可以得到三個結(jié)論：

結(jié)論一：教材默認學(xué)生能使用遷移的方法自己學(xué)會計算三位數(shù)乘一位數(shù)，但從實際教學(xué)來看，學(xué)生還是需要正式學(xué)習(xí)的。

結(jié)論二：在學(xué)生會計算一般三位數(shù)乘一位數(shù)后，再安排學(xué)習(xí)中間有0和末尾有0的三位數(shù)乘一位數(shù)是有必要的，對學(xué)生對位值原理的理解有幫助。

結(jié)論三：學(xué)生在筆算時熟練掌握了“從個位算起，依次相乘”的計算程序，并能熟練計算，不足以說明他們真的會算了，只有理解了任意順序筆算才是真正懂了筆算的本質(zhì)。

三、重組：筆算教學(xué)學(xué)習(xí)路徑設(shè)計

根據(jù)以上分析，“筆算多位數(shù)乘一位數(shù)”的教學(xué)可以這樣重組（見表5）。

“筆算兩位數(shù)乘一位數(shù)”的教學(xué)，首先借助小棒讓學(xué)生理解兩位數(shù)乘一位數(shù)可以看成幾個幾十和幾個幾來算，即用口算的方法學(xué)習(xí)筆算。可以從低位乘起，也可從高位乘起（如下圖），也就是兩位數(shù)的每一位都要與一位數(shù)相乘，和運算的順序無關(guān)，并且做好從兩層積過渡到一層積的書寫。接著，借助小棒讓學(xué)生依次理解滿十進一、疊加進位的算理。

將中間或末尾有0的三位數(shù)乘一位數(shù)的教學(xué)提前，解開固定的計算程序的束縛，引導(dǎo)學(xué)生單純從算理的角度去思考，學(xué)生就不難發(fā)現(xiàn)304×6表示6個304，可以看成6個300和6個4，用300×6+4×6來算（如右圖），這樣十位的0完全沒有參與計算的必要，而只用“三六十八、四六二十四”兩句口訣就搞定。在書寫時注意位值原理，明確“18”表示18個百，即1800，1和8分別記在千位和百位上。

有了以上兩步的經(jīng)驗，學(xué)生在學(xué)習(xí)一般的三位數(shù)乘一位數(shù)時，也能從“從個位算起，依次相乘”的固定程序中走出來了。如下圖所示，計算385×6時可以將原式轉(zhuǎn)化成三層積：300×6+80×6+5×6（高位算起或低位算起均認可），或轉(zhuǎn)化為兩層積：85×6+300×6（踢百法）、380×6+5×6（踢個法）或305×6+80×6（踢十法）。經(jīng)過轉(zhuǎn)化，筆算三位數(shù)乘一位數(shù)中疊加進位的難點被輕松化解。而且，寫成兩層積或三層積的形式時，學(xué)生不再是一位一位挨著寫過去，而會去關(guān)注位值，思考每層積表示的含義。通過多種轉(zhuǎn)化策略的交流，學(xué)生頓悟了算法的本質(zhì)：多位數(shù)乘一位數(shù)就是用一位數(shù)與多位數(shù)的每一位都相乘，而與運算順序無關(guān)。

四、思考：實現(xiàn)從計算教學(xué)走向運算教學(xué)的策略

計算能力是指利用一定的運算程序計算出結(jié)果的技能，而運算能力是運算技能和邏輯思維能力等綜合而成的能力。隨著時代的發(fā)展，我們對于人才的培養(yǎng)逐漸從技能的培訓(xùn)轉(zhuǎn)到了能力的培養(yǎng)。那么運算能力的培養(yǎng)如何落地？筆者從課堂教學(xué)實踐中整理出了兩條策略。

1.抓住本質(zhì)促使理法交融

學(xué)生的學(xué)習(xí)是由外在知識與內(nèi)在知識結(jié)構(gòu)之間的交互作用實現(xiàn)的。每一個新知的學(xué)習(xí)，都是從已有知識和經(jīng)驗中轉(zhuǎn)化而來的，計算教學(xué)亦是如此。比如將三位數(shù)乘一位數(shù)的新知轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的兩位數(shù)乘一位數(shù)加整百數(shù)乘一位數(shù)（踢百法）、幾百幾十的數(shù)乘一位數(shù)+表內(nèi)乘法（踢個法）、中間有0的三位數(shù)乘一位數(shù)+表內(nèi)乘法（踢十法），或者轉(zhuǎn)化成幾百、幾十和幾分別乘一位數(shù)（三層積）展開計算，通過小棒、人民幣等幫助學(xué)生直觀理解每種算法的算理，也就是多位數(shù)的每一位都和一位數(shù)相乘是算法的本質(zhì)，而與運算的先后順序無關(guān)。并且讓學(xué)生能在豎式上確定每層積的位置，也就是明確位值概念，將算理和算法合二為一，真正做到知“書”達“理”。在學(xué)習(xí)新知的過程中，學(xué)生還培養(yǎng)了用轉(zhuǎn)化的思想來研究未知、解決問題的能力。

“筆算三位數(shù)乘一位數(shù)”的新課結(jié)束后，筆者對實驗班和對照班進行了后測（測試題如下）。

3個選項，分別是多算了5個20、5個2、2個67。學(xué)生需要充分理解算理、明確位值概念，才能找到正確選項。實驗班與對照班對比，本題正確率分別是86.3%和25.2%。這說明實驗班的學(xué)生對筆算多位數(shù)乘一位數(shù)的算理理解更深刻、更到位，這對他們后續(xù)學(xué)習(xí)的幫助是比較大的。

2.挑戰(zhàn)學(xué)習(xí)促使思維升級

運算教學(xué)中使學(xué)生理解算理、掌握算法是基礎(chǔ)目標(biāo)，發(fā)展思維則是高階目標(biāo)。運算教學(xué)中的練習(xí)題，要避免機械操練的題目，多設(shè)計一些挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，驅(qū)動學(xué)生學(xué)會分析、學(xué)會思考、學(xué)會概括、學(xué)會推理。比如：兩位數(shù)乘一位數(shù)的練習(xí)可以改編成一道比較開放的挑戰(zhàn)題（如右圖）。

要找出其中一個解并不難，但要準確地找出所有解，光靠計算技能是不夠的，還要具備策略意識去分析解決問題的路徑：首先考慮得數(shù)的個位是2，由表內(nèi)乘法得出的積末尾有2的只有2、12、32、42、72這五個，所以對應(yīng)的表內(nèi)乘法分別是1×2、2×6、3×4、4×8、6×7、8×9這六對。再看得數(shù)是五百多，說明十位上的數(shù)乘一位數(shù)得四百多或五百多，那么一位數(shù)至少是5，則只能是6、7、8、9這四種情況，馬上排除1×2、3×4這兩對。這樣按一定的策略去思考，就能快速而準確地得到8種不同填法。再如，三位數(shù)乘一位數(shù)可以設(shè)計挑戰(zhàn)性練習(xí)：用1、3、5、8組成三位數(shù)乘一位數(shù)的算式，使積最大。如果學(xué)生只是一次次地去試算，那思維是低級又低效的。教師要引導(dǎo)學(xué)生用智慧去分析：首先確定8和5的位置，有500×8和800×5兩種可能，它們的積相同;接著看后兩位，31×8大于31×5，所以確定把最大數(shù)8作為一位數(shù)，5、3、1分別作為三位數(shù)的百位、十位和個位。通過開放的挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生在運算中提升策略意識，提高邏輯推理能力。

總之，教師要根據(jù)課程標(biāo)準的理念，從計算教學(xué)走向運算教學(xué)，講究“理”“法”相融。以計算教學(xué)作為載體，少一些機械操練，多一些思維訓(xùn)練，在提升學(xué)生的運算能力的同時培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)。

（責(zé)編 吳美玲）