從計算教學走向運算教學

沈瑞華 徐曉良

[摘 要]“筆算多位數乘一位數”是銜接“表內乘法”和“多位數乘法”的重要內容。根據一線教師的困惑，對比分析四個版本教材和學生的學習起點，重組教學路徑進行課堂教學實踐，并在實踐后繼續思考，整理出運算教學的主要策略。

[關鍵詞]計算教學;運算教學;筆算;多位數乘一位數

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）20-0020-03

“筆算多位數乘一位數”是學生在學習了“表內乘法”和“兩位數乘一位數口算（不進位）”的基礎上學習的。本內容是今后學習多位數乘兩位數、除數是兩位數的除法的基礎，也是學生建立和發展位值概念的重要基礎。對于三位數乘一位數的筆算教學，一些教師認為就是教學理解算理、掌握算法。這樣的認識背后有沒有隱憂？計算教學僅僅是讓學生掌握計算程序？在計算教學中如何培養學生靈活的思維能力？弄清楚這些問題，就能實現從計算教學走向運算教學。

一、隱憂：學生筆算學習起點調查

在學習了兩位數乘一位數后，筆者對三（3）班和三（4）班共90位學生進行了筆算三位數乘一位數的前測，結果見表1。

對以上數據進行分析，筆者發現學生在計算不進位、進1次位或進2次位的隔位進位的三位數乘一位數時，正確率都超過90%，說明學生已經具備了將筆算兩位數乘一位數的計算方法遷移到筆算三位數乘一位數的能力。但在與出錯的學生訪談中發現，學生筆算錯誤的原因集中在2個方面。

1. 疊加進位易算錯

大部分學生都能順利地將兩位數乘一位數的計算方法遷移到三位數乘一位數，但在計算乘與加的疊加進位時出現了錯誤。比如，計算385×6，385的每一位與6相乘時都向前一位進位，而且乘法進位過程中又出現了兩位數加一位數的加法進位： 48+3和18+5，這樣的乘與加的疊加進位，使學生心算時感到非常困難。

2.中間有0會誤算

在計算末尾有0的三位數乘一位數時， 學生能把口算整十、整百數乘一位數的方法遷移過來，末尾的0不參與計算，前兩位與一位數乘好后再添上末尾的0，相當于還是在計算兩位數乘一位數。但計算中間有0的三位數乘一位數時，學生會根據“從個位起，依次相乘”的運算程序，讓0也參與計算，誤把0×6+2的得數算成8。

計算三位數乘一位數的乘法，學生會用哪些運算策略呢？統計三（3）班、三（4）班兩個班的學生計算三位數乘一位數所用的方法，結果見表2。

這兩道題的數據特點很明顯，都可以通過改變運算順序進行巧算。但被測的90位學生中，只有1%至2.2%的學生用了簡便方法（300×4+25×4和400×4-2×4），97.8%以上的學生都是程序化地在用筆算方法進行計算。這其實有一個弊端：學生只會像計算機一樣，按部就班地從三位數的個位起，依次與一位數相乘。積的書寫也是從個位起，一位挨著一位去寫，不用考慮位值。雖然這樣能計算出正確得數，但教師不清楚學生是否真的理解了算理，會不會給將來的教學埋下隱患。

懷著這種的擔心，筆者對四年級的數學教師進行了訪談，果然發現一些四年級學生在學習三位數乘兩位數時出現了問題：對位值概念理解模糊，第二層積的位置反復寫錯。這些學生出現問題的源頭就在于學習多位數乘一位數時只記住了乘的順序，沒弄明白乘的順序的本質。造成學生算法僵化、不理解乘的順序的本質的原因與教材的編排也有一定的關系。

二、分析：“筆算多位數乘一位數”的教材編排對比

1.四個版本教材的對比

筆者對人教版、蘇教版、北師大版和浙教版教材的相關教學內容的編排進行比較，結果見表3。

對比四個版本教材后發現以下三個異同點：一是將三位數乘一位數作為例題的教材版本有兩個，占50%;二是將中間或末尾有0的三位數的乘法作為例題的教材版本有三個，占75%;三是教學筆算乘法采用固定程序“從個位算起，依次相乘”的教材版本有三個，占75%。從四個版本教材的異同點來看，人教版、蘇教版、北師大版教材都更側重于三位數乘一位的教學，筆算方法唯一，即“從個位算起，依次相乘”，學生容易掌握，但挑戰不大。浙教版教材注重三位數乘一位數的教學，筆算方法多樣，即乘的順序有多種。這樣的編排更有利于學生根據實際情況選擇合理的算法，靈活計算，但挑戰較大。

2.人教版教材“筆算多位數乘一位數”內容編排分析

人教版教材“筆算多位數乘一位數”的教學安排了6道例題（見表4）。

結合學生前測結果、四個版本教材的對比、人教版教材多位數乘一位數筆算的編排分析，可以得到三個結論：

結論一：教材默認學生能使用遷移的方法自己學會計算三位數乘一位數，但從實際教學來看，學生還是需要正式學習的。

結論二：在學生會計算一般三位數乘一位數后，再安排學習中間有0和末尾有0的三位數乘一位數是有必要的，對學生對位值原理的理解有幫助。

結論三：學生在筆算時熟練掌握了“從個位算起，依次相乘”的計算程序，并能熟練計算，不足以說明他們真的會算了，只有理解了任意順序筆算才是真正懂了筆算的本質。

三、重組：筆算教學學習路徑設計

根據以上分析，“筆算多位數乘一位數”的教學可以這樣重組（見表5）。

“筆算兩位數乘一位數”的教學，首先借助小棒讓學生理解兩位數乘一位數可以看成幾個幾十和幾個幾來算，即用口算的方法學習筆算。可以從低位乘起，也可從高位乘起（如下圖），也就是兩位數的每一位都要與一位數相乘，和運算的順序無關，并且做好從兩層積過渡到一層積的書寫。接著，借助小棒讓學生依次理解滿十進一、疊加進位的算理。

將中間或末尾有0的三位數乘一位數的教學提前，解開固定的計算程序的束縛，引導學生單純從算理的角度去思考，學生就不難發現304×6表示6個304，可以看成6個300和6個4，用300×6+4×6來算（如右圖），這樣十位的0完全沒有參與計算的必要，而只用“三六十八、四六二十四”兩句口訣就搞定。在書寫時注意位值原理，明確“18”表示18個百，即1800，1和8分別記在千位和百位上。

有了以上兩步的經驗，學生在學習一般的三位數乘一位數時，也能從“從個位算起，依次相乘”的固定程序中走出來了。如下圖所示，計算385×6時可以將原式轉化成三層積：300×6+80×6+5×6（高位算起或低位算起均認可），或轉化為兩層積：85×6+300×6（踢百法）、380×6+5×6（踢個法）或305×6+80×6（踢十法）。經過轉化，筆算三位數乘一位數中疊加進位的難點被輕松化解。而且，寫成兩層積或三層積的形式時，學生不再是一位一位挨著寫過去，而會去關注位值，思考每層積表示的含義。通過多種轉化策略的交流，學生頓悟了算法的本質：多位數乘一位數就是用一位數與多位數的每一位都相乘，而與運算順序無關。

四、思考：實現從計算教學走向運算教學的策略

計算能力是指利用一定的運算程序計算出結果的技能，而運算能力是運算技能和邏輯思維能力等綜合而成的能力。隨著時代的發展，我們對于人才的培養逐漸從技能的培訓轉到了能力的培養。那么運算能力的培養如何落地？筆者從課堂教學實踐中整理出了兩條策略。

1.抓住本質促使理法交融

學生的學習是由外在知識與內在知識結構之間的交互作用實現的。每一個新知的學習，都是從已有知識和經驗中轉化而來的，計算教學亦是如此。比如將三位數乘一位數的新知轉化成已經學過的兩位數乘一位數加整百數乘一位數（踢百法）、幾百幾十的數乘一位數+表內乘法（踢個法）、中間有0的三位數乘一位數+表內乘法（踢十法），或者轉化成幾百、幾十和幾分別乘一位數（三層積）展開計算，通過小棒、人民幣等幫助學生直觀理解每種算法的算理，也就是多位數的每一位都和一位數相乘是算法的本質，而與運算的先后順序無關。并且讓學生能在豎式上確定每層積的位置，也就是明確位值概念，將算理和算法合二為一，真正做到知“書”達“理”。在學習新知的過程中，學生還培養了用轉化的思想來研究未知、解決問題的能力。

“筆算三位數乘一位數”的新課結束后，筆者對實驗班和對照班進行了后測（測試題如下）。

3個選項，分別是多算了5個20、5個2、2個67。學生需要充分理解算理、明確位值概念，才能找到正確選項。實驗班與對照班對比，本題正確率分別是86.3%和25.2%。這說明實驗班的學生對筆算多位數乘一位數的算理理解更深刻、更到位，這對他們后續學習的幫助是比較大的。

2.挑戰學習促使思維升級

運算教學中使學生理解算理、掌握算法是基礎目標，發展思維則是高階目標。運算教學中的練習題，要避免機械操練的題目，多設計一些挑戰性的學習任務，驅動學生學會分析、學會思考、學會概括、學會推理。比如：兩位數乘一位數的練習可以改編成一道比較開放的挑戰題（如右圖）。

要找出其中一個解并不難，但要準確地找出所有解，光靠計算技能是不夠的，還要具備策略意識去分析解決問題的路徑：首先考慮得數的個位是2，由表內乘法得出的積末尾有2的只有2、12、32、42、72這五個，所以對應的表內乘法分別是1×2、2×6、3×4、4×8、6×7、8×9這六對。再看得數是五百多，說明十位上的數乘一位數得四百多或五百多，那么一位數至少是5，則只能是6、7、8、9這四種情況，馬上排除1×2、3×4這兩對。這樣按一定的策略去思考，就能快速而準確地得到8種不同填法。再如，三位數乘一位數可以設計挑戰性練習：用1、3、5、8組成三位數乘一位數的算式，使積最大。如果學生只是一次次地去試算，那思維是低級又低效的。教師要引導學生用智慧去分析：首先確定8和5的位置，有500×8和800×5兩種可能，它們的積相同;接著看后兩位，31×8大于31×5，所以確定把最大數8作為一位數，5、3、1分別作為三位數的百位、十位和個位。通過開放的挑戰性學習任務，讓學生在運算中提升策略意識，提高邏輯推理能力。

總之，教師要根據課程標準的理念，從計算教學走向運算教學，講究“理”“法”相融。以計算教學作為載體，少一些機械操練，多一些思維訓練，在提升學生的運算能力的同時培養學生的數學思維能力，讓學生學會學習。

（責編 吳美玲）