初中數學因式分解技巧淺談

摘 要：多項式因式分解就是恒等變形，將多項式轉化為幾個整式的乘積形式。在中考中，因式分解是比較常見的類型，是解決數學問題的重要工具。因式分解方法具有很強的技巧性，使用靈活，是學生必須掌握的數學解題方法，對學生思維能力的培養及解題能力的提高具有促進作用?；诖?，本文著重研究初中數學因式分解技巧。

關鍵詞：初中數學;因式分解技巧;教學策略

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：2095-624X（2021）18-0062-02

引 言

在解決數學難題過程中使用因式分解法，可以將復雜的問題簡單化。學生掌握這種方法，不僅解題思路會更加清晰，提高解題效率，其數學思維能力還會得到有效培養。

一、多項式因式分解的步驟及常用方法

（一）多項式因式分解的步驟

在應用多項式因式分解的過程中，學生只有按照步驟進行，才能獲得良好的效果。多項式因式分解的具體步驟為：其一，在多項式中如果各項都有公因式，就需要先將公因式提出來;其二，在多項式中如果各項都沒有公因式，在分解時可以使用公式法或者十字相乘法解決;其三，如果采用上面的方法都不能有效分解，在分解時可以采用十字相乘法、分組分解法、拆項補項法等;其四，在分解因式的過程中，對每一個多項式因式都要進行分解，直到不能進一步分解為止[1]。

（二）多項式因式分解的簡單記憶法

多項式因式分解方法有很多。為了有效利用，學生需要將這些方法記憶下來，從而在解決數學難題時可以靈活運用[2]。下面的因式分解記憶方法是比較有效的：先做公因式提取，然后考慮用公式，思考十字相乘法，之后用分組分解法;如果幾種方法都無效，可以試試拆項添項法。

二、解決數學問題中常用的因式分解技巧

（一）提公因式法

提公因式法就是在多項式中，對四則運算中乘法分配律進行反向使用。教師可以讓學生在多項式分解的過程中仔細觀察，將最低指數冪找出來。由于學生在提取的過程中容易產生漏項的問題，教師要指導學生應用還原法檢驗因式分解是否正確。如果各項有公因式，需將公因式提出來放在括號外面，用因式乘積的形式表達;如果各項系數均為整數，提取公因式系數需要將最大的公約數提取出來;如果公因式用字母表達，則需要將各項相同的字母提取出來;在提取各項指數時，需要將次數最低的提取出來;多項式中的第一項是負數，需要將負號提取出來，讓括號中的第一項系數為正。

具體的解題思路是，提取公因式，即an+bn+cn+ dn+…=n（a+b+c+d+…），公因式提取完畢，將另一個因式確定下來。比如，對3x3-2x2-x提取公因式，即為3x3-2x2-x=x（x2-2x-1）。

（二）運用公式法

在解決數學問題時運用公式法，學生需要對各種數學公式熟練掌握，明確公式之間的關聯性，從而能夠靈活運用。初中生往往存在記住數學公式卻不能合理運用的問題。所以，在實際教學中，教師要幫助學生掌握基礎知識，引導學生掌握學習公式的方法，使其在面對數學問題時能夠遴選出靈活解題的公式，逐漸掌握解題規律[3]。比如，平方差公式為a2-b2=（a+b）（a-b），完全平方公式為（a+b）2=a2+2ab+b2;（a-b）2=a2-2ab+b2。

將完全平方公式充分運用起來分解因式，要求多項式一定是三項式，其中有兩項可以用兩個數的平方和表達或者用兩個式表達的平方和表達，另一項則是兩個數乘積的2倍或者兩個式乘機的2倍。比如，立方差公式為a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）;立方和公式為a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）;完全立方公式為（a+b）3=a3+3ab2+3a2b+b3， （a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3。

（三）分組分解法

在解決數學問題時應用分組分解法，就是在應用提取公因式法的同時使用公式運用法。由于多項式在表達形式上各有不同，采用分組分解法進行處理時所應用的方法也存在差異。數學教師要想讓學生充分理解這部分內容，講解時要做到具體問題具體分析，并遵循循序漸進的原則，讓學生從淺到深地掌握所學知識。具體而言就是將一個多項式進行分組，之后運用分解因式的方法處理。采用分組分解法時，學生必須明確目標，分組后將公因式直接提取出來，也可以運用公式進行處理。

例如，對多項式am+an+bm+bn進行因式分解時，要判斷項式之間所存在的共同之處，如果將前兩項分為一組，可以將公因式a提取出來，將后兩項分為一組，可以將公因式b提取出來，從而所獲得的公式是am+an+bm+bn=a（m+n）+b（m+n），再將公因式（m+n）提取出來，得出am+an+bm+bn=a（m+n）+b（m+n）=（a+b）（m+n）;

如果將第一項和第三項分為一組，可以將公因式m提取出來，將第二項和第四項分為一組，可以將公因式n提取出來，從而所獲得的公式是am+an+bm+bn= m（a+b）+n（a+b），將公因式（a+b）提取出來，得出am+ an+bm+bn=a（m+n）+b（m+n）=（a+b）（m+n）。

又如，在分解多項式7ax+7bx+8ay+8by時，采用分組分解法可以得出：7ax+7bx+8ay+8by=7x（a+b）+8y（a+b）=（7x+8y）（a+b）或者7ax+7bx+8ay+8by=a（7x+8y）+ b（7x+8y）=? （7x+8y）（a+b）。

從案例分析可以看出，對于一個多項式進行分解，雖然進行分組分解時采用不同的分組方法，但是所獲得的結果是一樣的，將7ax和8bx分為一個組，將x提取出來，將把8ay和8by分為一組，將y提取出來，采用逆用乘法分配律解答問題，就能夠做到化繁為簡。比如，將多項式m2+5n-mn-5m分解，即m2+5n-mn-5m=（m2-mn）+（5n-5m）=? m（m-n）+5（n-m）=-m（n-m）+5（n-m）=（5-m）（n-m）。

（四）十字相乘法

對于二次三項式的分解，通常應用十字相乘法。二次項系數包括兩種情況，即為“1”的情況和不為“1”的情況。與前三種方法相比較，初中生掌握這種方法存在一定的難度。所以，通常教師在講解這種方法之前，需要先講解前三種方法，在學生熟練掌握后，再對這部分內容進行講解。

例如，對二次三項式x2+（p+q）x+pq進行因式分解時，要分析該二次項，其系數是1;常數項為兩個數的積，即pq;一次項系數是常數項的兩個因數的相加。在分解這個項式時，對于二次項系數為1的二次三項式進行因式分解，可以得出：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）。

又如，對二次三項式kx2+mx+n進行因式分解的過程中，如果可以分解為k=ac，n=bd，則acx2+mx+bd;如果m=ad+bc時，acx2+mx+bd=acx2+（ad+bc）x+bd，那么就可以將因式分解為：kx2+mx+n=（ax+b）（cx+d）。對7x2-19x-6進行因式分解，其中的-19可以分解為-21+2，那么，7x2-19x-6=7x2-21x+2x-6=7x（x-3）+2（x-3）=（7x+2）（x-3）。

（五）拆項法和補項法

將多項式的某一項拆開或者對多項式中的某一項填補上相反數的兩項，也可以是相反數的幾項，在保持原式表達含義不變的情況下，更加適用于公因式提取。在使用這種方法時需要注意，對多項式進行變形時要堅持保持與原多項式相等的原則，先將多項式拆成幾個部分，之后再對因式進行分解。

例如，對bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）進行因式分解， 將bc（b+c）分解為bc（c-a+a+b），得bc（b+c）+ca（c-a）= bc（c-a）+ca（c-a）+bc（a+b），對公式提取（a+b），得出c（c-a）（b+a）+b（a+b）（c-a）=（c+b）（c-a）（a+b）。

結 語

通過上面的研究可以得出，初中數學中的因式分解方法有多種，而解題中較為常用的是公式法、提取公因式法、十字相乘法、分組分解法、拆項補項法。雖然教學存在一定的難度，但是其解題思路是有一定規律的，所以教師在教學中要幫助學生明確解題思路，讓學生對因式分解方法有系統性認識，從而提高數學解題效率[4]。

[參考文獻]

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胡力文.由一道初中數學填空題引發的思考：用近世代數的觀點[J].教育教學論壇，2020（22）：354-355.

孫斌.有關初中數學課有效教學的研究[J].名師在線，2020（33）：37-38.

張金良.解密數學抽象 探索教學策略[J].數學通報，2019，58（08）：23-26+66.

作者簡介：張炳瑞（1973.6—），男，甘肅天水人，中小學高級教師。