初高中數學教材研究

羅慧　惠小靜

摘 要：教材是教師教學的重要工具，也是學生獲得知識和技能的重要途徑，所以，學會分析教材對教師來說尤為重要。本文以北師大版初高中教材中“三角函數”所在章節為例，從知識背景、教學功能、知識結構等方面分析初高中教材中知識的深淺銜接，希望能彌補當前初高中數學教材中存在的部分知識結構銜接上的不足，進而不斷修正和完善教材，進一步促進初高中數學教學的銜接與過渡，為教師完成數學教學的銜接工作提供參考。

關鍵詞：三角函數;教材銜接;數學教學

中圖分類號：G420? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：2095-624X（2021）32-0073-02

引? ?言

隨著教育的改革和教育理念的更新，教材也發生了很大的變化，教師不僅要奮戰在教學前線，還要注意到教材的變化。開展教學活動前要認真備課，緊抓備教材這一重要環節，尤其對初高中數學教師來說，三角函數作為高中學習的一大難點，教師要抓住教材的整體性和層次性，把握知識的結構，在初中和高中分別根據學生的知識水平講授適當的內容，同時注意教材的銜接和知識的深淺，以推動學生不斷進步。

一、教材的定義

狹義地講，教材的根本是相關學科的培養目標和教學任務，以此組織和編寫的具有一定深度和廣度的知識和技能體系[1]。日本教育大學歡喜隆司教授對“教材”提出了廣義的定義：教材實際上是源于生活、科學、藝術、文化的各個領域，而后被有計劃地組織到一起，形成了一套完整的知識體系和能力體系[2]。隨著社會的發展和教育的改革，“教材”的定義不再是傳統的定義，它被賦予了新的意義，不只是簡單地將定理、定義和法則呈現在書面上，而是把教材看作課堂上教師與學生聯系的紐帶，學生把教材上的知識當作一個話題來討論，教師對學生加以引導，使其進行自主學習和合作探究，并得出結論，進而充分發揮學生的主觀能動性。

二、知識背景分析

知識背景會一直滲透在學習和教學中，不管在歷史情境中還是現實環境中，都會作用于學生，學生會更容易理解和掌握知識。了解數學知識的發展可以更深入地理解其中蘊含的數學思想實質和數學發展規律，更準確、更靈活地把握數學教學知識[3]。初高中數學所學的三角函數的根源都歸于三角學，它本來的意思是“三角形的測量”，后來人們把關于三角形和其他圖形的研究，以及研究三角函數的性質和應用的學科統稱為三角學。初中學習的三角函數的相關知識來源于實際問題，如測量哪個梯子更陡、山坡的坡度等問題，讓學生從實際生活中體會數學、學習數學。高中則站在函數的角度來學習，與單位圓相聯系，在單位圓內學習三角函數，但教材中并未體現這樣研究的意義。“三角函數”一章先由自然界中的周期現象引出周期函數，使學生認識到三角函數是周期函數，周期函數是刻畫周期現象的函數模型。

學生最終會走向社會，所以數學教材中還要引導學生了解相關的社會應用，使學生可以從教材中獲取數學建模的素材，更廣泛地了解教學內容的意義和價值。當今世界應用廣泛的數學知識之一就是初中學習的直角三角形中邊角的關系，銳角三角函數在現實生活中有很大的應用價值，可以解決很多現實問題，如人們常常遇到的距離、高度、角度等測量問題，一般情況下，這些實際問題的數量關系都可以歸結為直角三角形中邊和角的關系問題。高中學習的三角函數是一類重要的周期函數，也是一類基本的初等函數，它的應用更加廣泛，可以應用于天文測量、大地測量、機械制造、工程測量、光學、電學、力學、地球物理學及圖像處理等眾多學科和領域。

從知識的發生、應用兩方面來看，北師大版初高中數學教材非常注重整體性，也非常關注學生的接受能力，初中學生在簡單的測量角度、高度的情境中學習函數，高中學生繼續在函數的大背景下學習，能夠了解相關背景知識與情境，將前后知識聯系起來，銜接比較順暢。

三、教學功能分析

通過對初中三角函數的學習，學生認識并掌握了銳角三角函數的概念，可以用自己的理解結合例子來進行闡釋。教師指引學生經歷直角三角形邊與角的關系和特殊角的三角函數值的探究過程，學生在動腦思考的時候，逐漸養成了主動思考的習慣，同時拓展了自己的思維[4]。教材還要求學生使用計算機求已知角的三角函數值，或者已知三角函數值求出角的度數，著重學習直角三角形，學生要熟練掌握在直角三角形內求邊長、角的大小或三角函數值，并將其應用于解決相關的實際問題。在此過程中，學生能學會分析問題，將所學的知識與實際問題相聯系，提高解決問題的能力。由于三角函數本身的獨特性，學生在學習過程中會體會到數與形結合的思想，這有助于發展他們的幾何直觀思維。

高中三角函數的學習內容會有一定的難度，因為它既有函數知識的延伸，又有三角知識的拓展，為學生今后參加科學研究和社會生產奠定基礎，也是學生進一步學習立體幾何、解析幾何、物理和其他學科的前提。通過從周角到任意角的學習，學生感受到數學的發展和教材的層次性，又以弧長公式為切入點，引出弧度制，并學會弧度與角度的相互轉化。學習了基礎知識后，學生借助單位圓在直角坐標系中學習三角函數（正弦、余弦、正切）的定義，并能用初中已知的特殊函數值畫出這些三角函數的圖像，結合函數的一般性質探究三角函數的性質（周期性、單調性、奇偶性、最值）。此外，由于單位圓具有對稱性，學生可以利用定義推導出誘導公式（正弦、余弦、正切）。三角函數的學習是函數的進一步提升，為學生后面的幾何學習奠定了基礎，并能讓學生結合前面的學習更加深刻地理解函數思想，以及在單位圓內學習三角函數，了解動態的數學，進而深化學生的幾何思想。

從知識價值來看，初中到高中的知識逐漸變難，但教材在初中做了一定的鋪墊，為高中的學習奠定了基礎。在能力價值方面，初中階段的數學教學培養了學生一定的探究能力和邏輯思維，高中知識相對難以理解，需要學生主動探索知識，加深記憶，進一步培養自己探究的思維，從而養成主動思考的良好習慣[5]。最后，學生的思想有了一定的提升，初中數學銳角三角形和直角三角形的知識讓學生在簡單的圖形中感受數形結合的思想;高中數學在單位圓內學習三角函數，不僅加強了學生對數形結合思想的認知，也讓學生充分感受函數思想和幾何動態思想，進而使學生的學習能力得到了明顯提升。

四、知識結構分析

北師大版初中數學教材將三角函數編訂在九年級下冊第一章“直角三角形的三邊關系”中，下分六個小節，初中生比較容易掌握。高中教材將其編在必修四的第一章“三角函數”中，共有九個小節，有的小節還會細分，由此可以看出三角函數在高中教材中占據重要的地位。以下是北師大版初高中教材的知識結構（見圖1）。

從圖1中可以看出，初中的知識少且很簡單，而高中三角函數的知識難且復雜。初中只學習了0°～ 360°的角，如銳角、直角和鈍角等;高中需要深入地研究這種以角度為自變量的函數，所以對角的概念進行了擴大，補充了正角、負角、零角的概念，還可以像擰螺絲一樣無限旋轉，形成任意角。學生之前學習過一種度量角的方法，以周角為一個單位，稱為1度角，其他角的大小就可以用它去度量，這種方法采用的是60進制，它在實際應用中有時會帶來不便，所以在高中引入了弧度制。由弧長公式度量和計算得出，同樣的圓心角所對應的弧長與半徑之比是常數，把這個常數稱為該角的弧度數，在單位圓中，長度為1的弧所對應的圓心角稱為1弧度角，由此引出弧度制，統一了角度與長度的單位，有助于一些函數問題的表示與研究。

在初中，借助直角三角形學習了銳角α的三角函數，高中教材中直接給出圖形和問題，將三角函數放在直角坐標系中進行學習，并利用單位圓分別研究任意角α的正弦函數、余弦函數和正切函數。但教材中沒有指出直角坐標系、單位圓與三角函數為什么可以聯系起來，學生只是機械地學習，所以教師在備課時應注意這一點，了解清楚后教授給學生，否則，即使學生學完三角函數，也不能清楚地解釋什么是三角函數。

結? ? 語

總之，教材是教學的重要手段，教師在備課時要深入研究教材，掌握知識的產生背景和在實際生活中的應用，以及前后知識的聯系，還要選取適當的方法，明確教學給學生帶來的價值。筆者經過分析發現，初高中教材中的三角函數整體上比較銜接，符合教材的層次性、整體性和等級性，但通過知識結構分析得出，三角函數相關知識在初中階段分布過少，可以適當地將角的概念的推廣和弧度制放在初中學習，以此減少學生在高中學習的壓力。

[參考文獻]

[1]陳晨. 基于學生認知發展的初高中數學銜接教學的實踐研究[D].上海：上海師范大學，2020.

[2]謝金芮. 初高中數學教材知識結構銜接研究[D].重慶：西南大學，2014.

[3]教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2011.

[4]教育部.普通高中數學課程標（2017）[S].北京：人民教育出版社，2017.

[5]王克誠.核心素養下數學學科初高中銜接教學探索[J].名師在線，2019（30）：50-51.

作者簡介：羅慧（1998.5—），女，陜西延安人，在讀研究生。

惠小靜（1973.6—），女，陜西清澗人，教授。