探尋小學數學建模的有效路徑

劉志彪

【摘 要】數學建模，有助于培育學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。在小學數學教學中，教師可以通過原型喚醒、活動內化、方法滲透、遷移應用等方式，去引導學生數學建模。通過數學建模，引導學生進行數學深度學習，進而不斷提升學生數學學習力，培育學生數學核心素養。

【關鍵詞】小學數學 數學建模 有效路徑

模型思想是數學思想的重要組成部分，數學建模能力是學生素養的內核。在數學建模教學中，教師要充分發掘學科價值和功能，引導學生進行數學深度學習。

一、原型喚醒，激活學生的經驗

數學模型是生活原型在數學中的反映，或者說數學模型是生活原型在數學中的映射。數學模型是生活原型的簡化和抽象。在小學數學教學中，教師要通過各種方式如情境創設、故事講解等來喚醒生活原型，從而激活學生經驗，為學生數學建模做準備。“原型喚醒”有助于學生洞悉、洞察、感悟數學問題與現實問題的關聯，有助于學生將現實問題抽象成數學問題并進行解釋、應用。

教學蘇教版三年級上冊的《一一對應》這一部分內容時，教師就可以出示一些生活化的場景圖，喚醒學生內在的生活表象，激發學生數學思考的興趣，調動學生數學探究的積極性，如一根一根的電線桿與一段一段的電線、防盜窗上的鋼管和間隙等。這些學生生活中司空見慣的圖景、圖像的再現，較之于教材中人為設置的理想化的兔子蘑菇一一間隔排列情境更具自然性、更有說服力。在教學中，教師不僅可以創設靜態的生活化情境，而且可以創設動態化的生活情境。通過生活原型喚醒、激活學生的經驗之后，教師引導學生觀察物體的排列規律，并盡可能地用數學語言來描述。在此基礎上，引導學生思考并進行操作探究：兩端物體相同時，物體的排列有怎樣的規律，為什么有這樣的規律？兩端物體不同時，物體的排列又有著怎樣的規律，為什么有這樣的規律？當數學教學能喚醒生活原型，激活學生的經驗之后，就能拉近新知與學生已有知識的距離，讓學生的生活經驗與數學新知無縫對接，讓數學新知在學生已有知識經驗基礎之上生長開來，進而促進學生更好地進行有效的數學探究，讓學生更好地理解相關的數學知識。

生活是數學知識的源頭活水，也是學生數學學習的重要支撐。在數學教學中，教師要善于從學生的經驗中選取生活化的資源、素材，為學生的數學學習服務。數學教學中的“善假于物”不僅是一門科學，更是一門藝術。喚醒學生的生活經驗，能為學生數學思考、探究奠定堅實的基礎。

二、活動內化，應用學生的經驗

瑞士教育心理學家皮亞杰認為，一切真知都應該由學生自己獲得，或者由學生發明出來、發現出來。在小學數學教學中，教師要引導學生感知、體驗情境，運用學生的已有知識經驗、生活經驗等，助推學生開展數學化的活動。通過活動，讓學生的舊知同化或者順應新知，從而讓新舊知識進行整合、重組，幫助學生建構數學新知。在這個過程中，學生積極、主動地猜想、驗證、交流、抽象、概括等。

以蘇教版數學六年級下冊《面積的變化》這一部分內容的教學為例，這一部分內容是學生在已經學習了圖形的放大和縮小的基礎上展開的。這個時候，學生已經認識到圖形的放大或縮小大小變化而形狀不變，并且圖形中的每一條邊放大或縮小的倍數是相同的。在此基礎上，教師引導學生基于自己的已有知識經驗猜想：圖形的面積是怎樣變化的？在學生猜想的基礎上，教師引導學生分小組展開驗證活動，有小組探究長方形擴大或縮小后的面積變化情況，有小組探究三角形擴大或縮小后的面積變化情況，還有小組探究平行四邊形、梯形等圖形擴大或縮小后的面積變化情況。在活動的過程中，有學生從圖形放大兩倍、三倍等計算開始，通過觀察、對比、思考，得出了這樣的數學結論，即“圖形放大或縮小n倍，相應的面積就擴大或縮小n2倍”，由此建構了這樣的數學模型：放大后的圖形與原來圖形的邊長比是n：1，則面積比是n2：1。在數學建模的過程中，學生舉一反三、觸類旁通，不僅充分經歷了行為操作過程（畫圖、測量等），而且充分經歷了思維“操作”過程（猜想、驗證、類推、分析和概括）等。

數學模型建構的活動，讓學生的生活經驗條理化、結構化、有序化、顯現化、數學化。在數學模型建構活動中，教師要調動學生的數學直覺，催生學生的數學想象，讓學生充分運用自我的知識經驗、學習經驗等進行驗證。在這個過程中，不僅可以豐富學生的數學基本活動經驗，而且能深化學生對數學思想方法、學習方法的感悟、認知。

三、方法滲透，豐富學生的經驗

數學建模有諸多建模方法，同時，數學模型也蘊含著一定的建模思想。在小學數學教學中，教師要有意識地滲透方法，比如數據分析法建模、仿真法建模、因子試驗法建模、數理分析法建模等。滲透數學建模方法，能豐富學生的建模經驗，引導學生有效建模。正如瑞士教育心理學家皮亞杰認為，兒童是在與環境的相互作用中發展認知結構的。互動，能催生學生的建模方法。

例如：教學蘇教版數學五年級上冊《解決問題的策略——列舉》，教師就要有意識地滲透諸種建模方法，比如“分類列舉的方法”“有序列舉的方法”等。如在教學中，筆者曾經遇到這樣的一道習題：學校在六年級舉行足球比賽，六年級有18個班級，如果采用“循環賽”（每兩個隊之間都要比賽一場）的比賽形式，那么一共需要進行多少場比賽？教學中，筆者首先引導學生對問題進行數學化抽象，即將六年級每一個班看成一個點，將六年級每兩個班級之間的一次比賽用一條線段聯結，這樣就將現實的、復雜性的問題轉化為在18個點之間連線，再判斷一共可以連線多少條。這是一種抽象化方法的滲透。在此基礎上，筆者引導學生“退下來”，從研究2個隊比賽、3個隊、4個隊比賽開始，逐步概括、總結出18個點之間每兩個點都要連線的問題，這是“退下來”建模的一種方法。不僅如此，筆者還引導學生思考：在某一次宴會上，18位代表每兩個人之間都需要握一次手，一共需要握多少次手？此外，筆者還將問題變形，如第一輪先進行循環賽，第二輪進行淘汰賽，等等。通過滲透比較的方法，讓學生在建模中感悟列舉策略的要義。

法國著名數學家笛卡爾曾經這樣說，最優價值的知識是關于方法的知識。數學建模教學，教師必須有意識地滲透、融入數學思想方法。只有這樣，學生才不僅具有建模的意識，而且具有建模的能力。當學生經歷了數學建模的過程之后，必然能感悟、體驗到數學模型的意義和價值。

四、遷移應用，拓展學生的經驗

數學模型的建構是一個從感性到理性的過程。數學模型的建構不是學生數學學習的終極目標，引導學生對數學模型進行解釋、遷移和應用，才是數學教學的根本。應該說，學生的數學核心素養不僅僅體現在數學模型的建構過程中，更體現在數學模型的實踐應用之中。當遇到相關的復雜性的問題時，學生能主動調用、激活自我的內在數學模型，并能應用模型解決問題，才是學生數學學習的應然追求、根本所在。作為教師，可以引導學生逐步從對數學模型的簡單應用過渡到數學模型的靈活應用。通過數學模型的遷移、應用，擴充、豐盈學生的數學活動經驗。

例如：教學蘇教版數學五年級下冊《梯形的面積》時，筆者引導學生將“平行四邊形的面積”“三角形的面積”與“梯形的面積”進行比較，從而抽象、提煉、概括出梯形面積的數學計算模型，讓學生深刻理解到“平行四邊形可以看成是上下底相等的梯形”“三角形可以看成是上底為0的梯形”等。這個比較的過程，不僅僅是多邊形面積計算比較的過程，更是梯形的面積計算模型的遷移、推廣過程。在隨后的應用中，筆者不僅出示了學生生活中的多樣化素材并引導計算面積，如計算滑翔機模型尾翼的面積，計算水渠的橫截面的面積以及攔水壩的橫截面的面積等;而且引導學生解決變形的梯形面積，如讓學生計算一堆鋼管的根數。這就需要學生進行聯想、想象，將一堆鋼管最上面一層的根數看成是梯形上底的長度，將一堆鋼管最下面一層的根數看成是梯形下底的長度，從而將計算一堆鋼管的總根數看成是計算梯形的面積。這樣的問題，需要學生對梯形面積公式有深刻的感悟，并能對梯形的面積公式進行靈活的應用。通過這樣豐富性的素材，能讓學生深刻感悟梯形的面積公式，并能豐富學生的數學基本活動經驗。

數學模型的應用是模型建構的重要環節。在數學模型的遷移、應用過程中，教師要幫助學生感悟模型，體會數學模型的本質。借助于學生自我建構的數學模型，學生能從解決一個問題拓展、延伸到解決另一個問題，進而拓展、延伸到解決一類問題。只有通過對數學模型的積極遷移、應用，才能讓學生對數學模型有著更為本質、更為深刻、更為全面的理解。

注：此文為江蘇省教育科學規劃課題“小學數學建模教學的實踐與研究”研究成果，課題編號：D/2008/02/293。