淺析培養高中學生發現與提出問題的策略

黃江

[摘? 要] “一核四層四翼”中的“四層”回答了考什么的問題，“四能”是“四層”中考查的重點之一，培養學生發現問題與提出問題的能力勢在必行. 影響學生發現問題與提出問題的因素，有教師層面的因素，也有學生自身的因素. 基于核心因素的基礎，文章提出了培養學生發現問題與提出問題的常見策略.

[關鍵詞] 問題;缺失因素;培養策略

[?]提出問題

美國當代數學家哈爾莫斯在《數學的心臟》一文中明確指出：“數學的真正組成部分是問題和解.”也就是說數學的創新來源于數學問題. 核心素養下的《普通高中數學課程標準（2017年版）》已經落實到全國各地，而素養的考查是需要借助試題來進行顯現化的. 此前，教育部考試中心對“一核四層四翼”高考評價體系在今后的高考命題中如何體現進行了闡述. “一核”即高考評價體系，通過確立“立德樹人、服務選拔、導向教學”這一高考核心立場，回答了“為什么考”的問題. “四層”通過明確“必備知識、關鍵能力、學科素養、核心價值”四層考查目標，回答了“高考考什么”的問題. “四翼”通過明確“基礎性、綜合性、應用性、創新性”四個方面的考查要求，回答了“怎么考”的問題. “四層”中的關鍵能力則指向“四能”：發現問題與提出問題的能力，分析問題與解決問題的能力.以上可以看出，發現問題與提出問題對人的發展的重要性，同時隨著考試風格的不斷變革，未來考查學生能力的試題會逐步以開放式的方式進行命制. 筆者認為，對學生發現問題與提出問題的能力的考查也將逐步在新高考的試題中體現出來，所以在教學中，培養學生發現問題與提出問題的能力勢在必行.

[?]發現與提出問題缺失的因素

1. 教師方面的因素

當今社會，師生的關系已經轉變為平等關系，但在實際教學中，傳統的“師道尊嚴”、因循守舊的觀念仍舊可見一斑，這導致了學生對教師所傳授的內容保持著高度的贊同，從而導致學生不敢提問，逐步演變為不愿意提問. 課堂教學中，情境引入似乎已經是必不可少的了. 在情境引入的過程中，教師也會預設一些問題，但由于時間受限，任務的驅動，即使學生有表達的意愿，教師也會直奔預設的目標答案去引導，導致學生“非正確”地回答（“非正確”其實是一個新的問題），不予理會.當然還有一些課堂往往為了抓進度，課堂缺乏教學情境，教師講課開門見山，直奔主題，課堂教學中沒有問題，10分鐘左右講解公式、定理、概念等，然后就是鋪天蓋地的試題演練. 這種“滿堂灌”的教學方法，也導致了課堂沒有問題產生，只有試題的完成.

這樣的課堂顯然不能滿足核心素養考查的需要，不符合核心素養的考查，為了學生成長的需要，作為教育工作者，不能僅僅滿足于培養學生分析問題和解決問題的能力，還要著力培養學生發現問題和提出問題的能力. 倘若教師沒有主動積極的態度去培養學生問題的意識或者自身問題意識不濃，又如何去培養學生的問題意識呢？

2. 學生方面的因素

在學生學習過程中，教師可以清晰地看到，每當一個題目或公式等講完后，對于部分學生還是會存在一些沒有能理解的內容，沒有理解的內容可能是概念不清導致的，也有可能是解題步驟跳躍導致的，等等. 雖然這些并不能等同于問題，但即使這樣的疑問學生往往也不太愿意提出來，更何談去發現問題和提出問題呢？究其原因，由于傳統課堂的因素，教師講學生聽已經由來已久，被動地接受知識成為常態，再加之教師相對的學術權威，學生也就無疑可問，導致學生不愿意提問了;有時也由于學生提出的疑問在教師看來比較簡單，問不出有深度的問題，在提問的過程中，害怕教師批評，擔心同伴嘲諷，又恐失去自信心，久而久之，礙于情面，也就不好意思問了;有時教師向學生提出問題時，學生回答錯了，多數教師沒有引導學生繼續思考，改正錯誤，往往是再找別的學生回答，這樣該學生的思維就沒有能夠得以繼續，教師只希望聽到正確答案，時間久了，學生的思維就逐漸模式化，缺乏敏銳地感知問題的能力，而不去主動探究;有一小部分學生對學習數學也想發表自己的見解，但是語言表達能力有限，加之長期沒有鍛煉的機會，缺乏技巧與方法，想問又不知如何問，往往又由于詞不達意，不善于提問.

以上兩個角度的思考，筆者認為作為高中學生而言，傳統課堂的觀念、教師的情境引入以及學生的心理狀況，對問題的提出具有一定的影響，但這并非是影響較大的因素，而且高中學生已經具有了一定的語言表達能力. 筆者認為當前教學中主要還是以解題為導向的教學為主，提出問題的方法還很缺乏，所以方法的指導，專業化的訓練顯得十分有必要.

[?]什么是問題

美國教育家布魯巴克認為：“最精湛的教學藝術，遵循的最高準則，就是學生自己提出問題.”學生在學習過程中，強烈的問題意識可以讓學生在探究和發現的過程中體會到挑戰的刺激和成功后的喜悅，這就有利于提高學生的求知欲和學習興趣，增強其學習的內在動力，讓學生的主體作用在學習中得以充分發揮，創造思維的潛能得到不斷的開發.那么什么是問題呢？商務印書館出版的《現代漢語詞典（第5版）》中對“問題”作出來了這樣的解釋：①要求回答或解釋的題目;②須要研究討論并加以解決的矛盾、疑難;③關鍵;重要之處;④事故或麻煩. 上述解釋中，可以看出“問題”是未成解決的題目、疑難，在平時教學中，對教師已經講解的問題，學生需要同伴或教師再次解釋一遍而提出的疑問，則不應視為問題，這里筆者認為是學生存在知識或方法的遺忘.

例如：過橢圓+=1內一點M（2，1）引一條弦，使弦被點M平分，求此弦所在直線的方程.

解：①直線斜率不存在時，顯然不滿足題意;

②設直線的斜率為k，直線方程為y-1=k（x-2），與橢圓聯立方程組得

+

=1，

y-1=k（x-2），消去y可得（1+4k2）x2+8k·（1-2k）x+4（1-2k）2-16=0，由韋達定理得x+x=. 因為M點是中點，故x+x=4，即4=，解得k=-，從而得到直線方程為x+2y-4=0.

當教師設出直線的斜率后，有學生問道：老師，你為什么去假設直線的斜率呢？這樣的疑問，并不能成為真正意義上的問題，求什么設什么是常識，是待定系數法的體現，這是方法的盲區;也有學生問道：韋達定理是什么？這個就是知識的盲點了. 上述這些都是個體表現出來的知識與方法缺陷問題，并不能算作為真正意義上的問題.

學生對已經解決的問題，會有一個再現的過程，在這個再現的過程中，產生的沒有想通的疑惑，這樣的疑惑大都來源于公式、定理、概念等記憶的錯誤、計算的錯誤、教師講解時跳步驟等，并不能成為真正意義上的問題.真正意義上的問題應該基于學生已有的認知下，以往沒有觸及的，具有一定的創新性、思辨性等特性. 發現者提出問題后，并不知道真偽，需要進一步對其進行研究、去偽、實證等過程. 只有理解了問題是什么，才能為教學提供明確的方向.

[?]方法呈現，拋磚引玉

1. 充分必要性策略

由充分必要條件可知，題目的結論與條件是可以互相轉換的. 當條件與結論互換后，所產生的充分必要性就發生了改變，命題的真假性也隨之而改變，這樣的思路提供給學習者一個提出問題的好方法. 例如，余弦定理：在△ABC中，角A，B，C對應的邊為a，b，c，則a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 教師可以引導學生將定理中的條件與結論互換一下，就產生了一個之前沒有遇到過的新問題，即若a，b，c∈（0，+∞），A，B，C∈（0，π），滿足a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC，則長度為a，b，c的線段構成三角形，且邊a的對應的角為A，邊b的對應的角為B，邊c的對應的角為C，這個問題正確嗎？

通過這樣的方法就得出了一個新的問題，學生可以運用已學的知識，對其進行研究、證明或舉反例等，從而判別出其正確與否.這樣的反問方式，簡單易操作，只要分析出命題中的條件與結論，對其進行互換，便可得出新的問題.

2. 類比策略

類比法是指由一類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物也應具有這種屬性的推理方法. 筆者曾在講解直線與橢圓位置關系時，運用了類比的方法，引導學生主動積極地提出問題，現將教學片段展示如下，以作說明.

在研究直線與橢圓的位置關系時，我們可以類比直線與圓的位置關系進行研究. 判斷直線與圓的位置關系有三種常見方法. 方法一：圓心到直線的距離d與圓的半徑r進行對比;方法二：將直線方程與圓方程聯立方程組，根據方程組解的個數來判斷位置關系;方法三：特殊點求解法（即發現動直線的定點在圓內，可以確定直線與圓是相交的，但這種方法僅僅使用于直線與圓相交的情況）. 那么這三種方法適用于直線與橢圓的位置關系研究嗎？這樣的類比引入，引發學生思考，也易于學生發現與提出問題.

學生1：根據方法一，可以求解橢圓圓心到直線的距離，然后與橢圓中的參數a，b，c進行對比.

學生2：根據方法二，可以將直線方程與橢圓方程聯立方程組，根據根的情況判斷位置關系.

學生3：根據方法三，只要直線上有定點在橢圓內，即可判斷直線與橢圓是相交關系.

教師可在此基礎上，對學生提出的問題進行分析，辨析每個問題的正誤，還可以引導學生在此基礎上提出一些問題.

學生4：在方法一中，橢圓的圓心是什么？

學生5：若將橢圓的原點視作為圓心，那么得到的距離與哪一個參數進行對比，從而研究出位置關系呢？

學生6：直線方程與橢圓方程聯立方程組，根據其解來判斷直線與橢圓的位置關系，一定可靠嗎？若是方程組有兩解，直線與橢圓一定是相交嗎？為什么？

教師：同為研究直線與曲線的位置關系問題，哪種方法可以遷移呢？哪種方法是更為一般的方法呢？顯然是聯立方程組的思路更具有普遍性. 那么為什么就不可以通過類比讓橢圓的中心到直線的距離與橢圓中的相關量進行對比呢？

通過教師進行引導，學生還可以提出更多的問題，如利用橢圓中心到直線的距離與橢圓中的進行對比，來判斷直線與橢圓的位置關系，等等.

通過類比的方法提問，學生在原有的基礎上，能夠輕松地提出相對應的問題，這樣的問題或許比較容易否定，或許在教師看來有些幼稚，又或許短時間內難以用嚴謹的邏輯進行有效證明，但我們可以看出過程中激發了學生的學習興趣. 在不斷尋求解決所提出問題的過程中，又能提出更多的問題，形成“問題串”，是主動積極參與的表現，充分發揮了學生的主觀能動性.不可否認，如此開放式的提問，課前需要教師更多的準備，課堂上需要教師更多的智慧，否則可能會導致課堂一團糟，產生一些尷尬的局面.

3. 特殊到一般策略

特殊到一般的方法是課堂教學中常見的手段，指導學生發現和提出問題是教學的一部分，這種方法也是適用的.筆者以講解直線與圓的位置關系（高三復習課）為例，對此加以說明. 筆者先給出了三道試題，讓學生完成.

（1）（2020年全國卷Ⅰ第6題）已知圓x2+y2-6x=0，過點P（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為（? ）

A. 1 B. 2C. 3 D. 4

（2）（2020年全國卷Ⅰ第11題改編）已知☉M：x2+y2-2x-2y-2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動點，過點P作☉M的切線PA，PB，切點為A，B，則

PM

·

AB

最小值為________.

（3）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2+（y-1）2=4，若直線l過點P（1，0），且與圓C相交于A，B兩點，當△ABC的面積最大時，求直線l的方程.

當學生完成這三道試題后，筆者提出了這樣一個問題：這三道試題都是為了求解最值問題，當我們大家完成后，有沒有發現什么規律呢？

根據這三道試題，大部分學生提出了這樣一個問題：當取最值時，圓心C與題中給出的點P的連線與已知直線是垂直的，難道所有題都是如此嗎？

這個過程就是給學生基于特殊情況下的三道試題，發現和提出問題具有一般性問題的過程，這個問題提出后，通過教師取特殊值的指導和學生的努力，對其進行了否定.

教師：既然這樣的規律不成立，那么你發現了什么規律呢？

學生7：第（3）題中，雖然不是兩直線垂直時取最值，但是我發現在求解三角形的面積時，運用了S=r2sin∠ACB，始終是當∠ACB=90°時取最值，面積的最大值沒有發生改變，可以得到一般性結論：過一點的直線與圓相交于A，B兩點，圍成的△ACB的面積最大值為定值. 當然不知道這個命題是否為真命題.

教師適當改變直線l經過的定點，通過特殊化的求解，得出這樣的問題，顯然不成立，這一過程中，學生又會產生新的問題.

學生8：通過求解，得出面積的最大值并不是恒定的，那么當經過的定點在何處時，才能取到這個最值呢？

學生8提出問題，是基于特殊值的判斷求解下，產生了一般性結論的過程，這個結論顯然是可以進行思辨求證的，通過不同的角度（如軌跡、重要三角形、三角函數等）的深入研究，可以發現當CP≥r時，才能取到最大值，而當CP

特殊到一般的本質是由靜態的量轉變為動態的量，有時也可以認為是將條件中的數字轉變為字母表示，通過一定的手段方法，驗證其正確性. 如橢圓+y2=1與直線y=x相交于A，B兩點，橢圓上一點Q（除A，B兩點外），則可以得到k·k=-，可以對其進行一般化. 一般化的過程并非一下子就能找出相對終極的結論，需要不斷試探糾錯才能獲得，可以先變為這樣的問題：橢圓+=1（a>b>0）與直線y=x相交于A，B兩點，橢圓上一點Q（除A，B兩點外），可以得到k·k=-嗎？在此基礎上，再次對直線進行一般化，即橢圓+=1（a>b>0）與直線y=kx相交于A，B兩點，橢圓上一點Q（除A，B兩點外），可以得到k·k=-嗎？

高考中有些較難試題的來歷，往往就是運用了上述方法來命制的，學生掌握如此提問的方法后，對高考試題的理解也就變得更為深刻，在心理上就能減輕對難題的恐懼，增強解決難題的信心，為后續的成才奠定了基礎.

[?]結束語

愛因斯坦曾經說過：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要.”因為解決問題的能力，只是實驗數學，也就是自己用知識去解決前人解決的問題;而提出新的問題，新的可能性，新的角度看舊問題，它需要創造性的想象力，這標志著真正的進步. 可以看出，培養學生的問題意識，提高學生的數學問題意識，提出問題的能力是課堂教學中必不可少的重要的一環. 筆者認為，在教學過程中不論哪種方法策略，都要基于學生已有的認知基礎而展開，還要遵循層次性、循序漸進等原則. 每個問題提出后，都需要留給學生一定的時間去進行去偽存真，切不可急功近利，只有在去偽存真的過程中，才能對問題不斷地升級，并不斷發展成為重要的結論. 學生思維一旦打開，學生提出的問題就如同“活水”一般源源不斷，教師受到學生源源不斷的“活水”影響，勢必會倒逼教師要不停地努力，努力的過程就是教師成長的過程，教與學才更加相得益彰[1].

參考文獻：

[1]? 彭飛. 中學生數學寫作，教學相長總相宜[J]. 數學教學通訊，2018（03）.