淺談運用轉化思想提升數學素養路徑

張惠珍

摘 ?要：數學思想方法是數學的靈魂及數學素養的重要內涵，其中轉化思想是最常見的一種思想方法，具體表現為數學的某一形式向另一形式轉變，如化曲為直、化新為舊、化繁為簡等。在課堂教學中，教師要適當滲透轉化思想，引導學生將陌生、復雜的數學問題向熟悉、簡單的知識領域轉化，從而發散學生思維、提升學生的數學素養。

關鍵詞：轉化;化曲為直;化新為舊;化繁為簡

一、化曲為直

（一）探究圓的面積計算公式

圓是學生第一次正式接觸的由曲線圍成的平面圖形，首先，在“估一估圓的面積”活動中，教師可通過圓的面積與圓內接正方形以及圓外切正方形面積的比較，讓學生估計出圓面積的大小范圍，不僅滲透了正多邊形逼近圓的方法，也使學生初步體會到“化曲為直”的思想;其次教師可通過教具及課件的雙重演示，將圓剪一剪，拼一拼，得到一個近似的平行四邊形或長方形的圖形，引導學生觀察發現拼成的長方形和原來圓之間的關系，即長方形的長相當于圓周長的一半，長方形的寬相當于圓的半徑，從而利用已學的平行四邊形或長方形的面積公式推導出圓的面積計算公式，這個過程集中體現了“化曲為直”的轉化思想。

（二）探究圓柱的側面積計算公式

在探究圓柱的表面積計算方法時，學生已經理解了表面積的意義，它是由兩個相同的底面和一個側面構成，學生在上學期已經掌握了圓的面積計算，因此課堂只要突破圓柱側面的計算方法就可以了。圓柱的側面是一個曲面， 如何計算它的面積呢？通過討論，學生可從上學期圓的面積計算公式推導過程中得到啟發，初步認識到要將曲面轉化為學過的平面圖形。教師應及時結合課件組織學生動手操作，把一個圓柱形紙盒沿一條高剪開，觀察側面的展開圖，得到一個長方形或正方形;接著討論側面展開圖的長和寬與這個圓柱有什么關系，學生很快得出長方形的長相當于圓柱底面的周長，長方形的寬相當于圓柱的高，然后教師進一步引導學生將側面（曲面）的面積轉化為長方形（平面圖形）的面積來計算，從而利用長方形的面積公式推導出圓柱側面積的計算公式，這種教學過程也是利用了“化曲為直”的數學思想。

二、化新為舊

（一）解決“比”的問題

“比”在數學中是一個重要的概念，筆者學生理解比的意義往往比較困難，教學中，筆者密切聯系學生已有的生活經驗，引導學生利用比的意義將兩個量的比轉化為兩個量之間的分數關系或倍數關系。如課本第56頁練一練第2題：“農藥和水的質量比是1 ∶ 150，現有3千克農藥，需要加多少千克的水？”筆者在教學中緊扣比的意義，引導學生從兩個方面理解，一是水是農藥的150倍，即將比轉化為倍數關系來解題，學生很快就列出算式：150×3=450（千克）;二是引導學生利用比和分數的關系將兩者的比轉化為農藥占水的，從而轉化為學生熟悉的分數應用題，從而輕松列出算式：3÷=450（千克）。

對于“已知兩個量的比及已知它們的和，求兩個量或其中一個量是多少？”這類按比例分配的應用題，筆者在教學中也是靈活將兩個量的和轉化為單位“1”的量，通過畫圖分析出兩個量各自的分率，然后運用分數的意義分別算出兩個量的多少;也可以將比轉化為分數，先求出平均每份是多少，再求對應幾份是多少，即運用“歸一法”解決此類比的問題。例如：“一種銅銀合金中銅與銀的重量比是9 ∶ 4，156克銅銀合金中含有多少克銀？”可以將已知條件“銅與銀的重量比9 ∶ 4”轉化為“銀占銅銀合金的”，接著用解分數應用題的步驟列出算式：156×=48克;或者是“銅與銀的重量比9 ∶ 4”轉化為銅與銀的份數各占9份和4份，總份數為：9+4=13，平均每份重量：156÷13=12克，銀有這樣的4份，重量為：12×4=48克。這些轉化其實都是將抽象的比轉化為學生熟悉的分數應用題或除法知識，對剛學習比的知識的學生來說，特別容易理解。

（二）解決圓柱體積的計算方法

在教學圓柱體積的計算之前，學生已經初步理解了體積的意義，掌握了長方體和正方體的體積計算方法。教學中教師可以通過復習長方體和正方體的體積計算公式“體積=底面積×高”，引導學生支用類比的思想猜想出圓柱的體積也可以用“底面積×高”來計算，但這只是一種猜想，課堂上還要進一步驗證。因此，接下來的教學中就要運用數學的轉化思想，將圓柱通過“切一切、拼一拼”轉化為之前學過的長方體，然后引導學生觀察并討論拼成的長方體和原來圓柱之間的關系。學生通過課件或實物演示不難發現長方體的底面積等于圓柱的底面積，長方體的高等于圓柱的高，從而利用熟悉的長方體的體積計算公式推導出圓柱的體積計算公式。

（三）解決圓錐的體積計算方法

同理，探究圓錐的體積計算方法也可以繼續運用類比轉化思想，教師可再一次引導學生經歷“類比猜想—驗證說明”的探索過程，也就是在學生掌握了圓柱體積計算方法的基礎上，引導其猜想圓錐體積可能是與它等底等高的圓柱體積的幾分之一，通過組織學生小組實驗，從而發現圓錐的體積是等底等高的圓柱體積的，利用學生已學的圓柱體積公式推導出圓錐的體積計算方法。這正是“化新為舊”數學思想的具體運用。

三、化繁為簡，解決“相遇”問題

在“快樂課堂”中有一道題：“甲、乙兩車同時從A、B兩地出發，相向而行，經過6時相遇。相遇時乙車行了240千米，如果甲、乙兩車的速度比是7 ∶ 8，那么A、B兩地相距多少千米？”大多數學生碰到這類行程問題，一般先計算出乙車的速度，運用轉化思想將兩車的速度比轉化為“甲車的速度占乙車速度的”，再利用分數的知識算出甲車的速度，最后用兩車的速度和乘以相遇時間求出全長。即：

（1）240÷6=40（千米/時）;

（2）40×=35（千米/時）;

（3）（40+35）×6=450（千米）。

這種方法無疑是正確的，解題時直接從速度比入手，但步驟比較煩瑣，用到的數量關系也比較復雜;教學中可以首先肯定學生的這種做法，然后通過畫圖引導學生認識到當兩車所用時間相等時，兩車路程的比等于兩車速度比，分析過程如下：

甲路程 ∶ 乙路程=（甲速度×時間） ∶ （乙速度×時間）（前項和后項同時除以時間）=甲速度 ∶ 乙速度=7 ∶ 8

這樣，兩車速度比被轉化為兩車的路程比，有的學生用“甲路程占乙路程的”分率句，算出甲路程為240 ×=210千米，全長為240+210=450千米;有的學生更簡便，畫圖直接分析出“乙路程：全程=8 ∶ 15”，進一步轉化為“乙路程占全長的”，然后利用該分率句列出240÷=450（千米），這兩種方法包含了兩次轉化：一是將速度比轉化為路程比，二是將比的問題轉化為分數應用題，這種轉化使學生的解題過程更清晰、步驟更簡便。

四、結語

總之，數學教學中要有意識地培養學生的轉化思想，教師在備課過程中就要注重教材新、舊知識之間的聯系，充分考慮學生已有的學習經驗及學生習慣，充分利用線段圖的直觀教學效果，讓學生理解轉化算理，通過提前滲透、循序漸進地培養學生分析問題、解決數學問題的能力，同時也提高學生數學學習效率，提升學生的數感、符號感等數學核心素養。

（責任編輯：鄒宇銘）

參考文獻：

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