在比較中深化 在推理中升華

董文芳

[摘? 要] 文章以“一位小數(shù)的大小比較”一課為例，論述在數(shù)學核心素養(yǎng)的視角下，深度建構學生知識體系，滲透數(shù)學基本思想的策略和意義。借助“分類比較，勾連不同方法”“多維比較，聯(lián)系知識本源”“情境比較，加強理解運用”豐富學生對一位小數(shù)大小比較方法的理解，發(fā)展數(shù)感和初步的推理能力。

[關鍵詞] 小學數(shù)學;大小比較;推理

教學內容：蘇教版三年級下冊90頁、91頁例3及“試一試”“想想做做”。

教材分析：三年級學生在日常生活中已經接觸過小數(shù)，但由于小數(shù)是十進制的特殊表現(xiàn)形式，其意義具有一定程度的抽象性，學生要深刻理解小數(shù)大小比較方法和內涵，有一定的困難。本節(jié)課重在讓學生理解小數(shù)意義的基礎上自主經歷比較的過程，滲透轉化、數(shù)形結合思想，在多樣化方法中交流、辨析、優(yōu)化，豐富積累數(shù)學活動經驗，提升數(shù)學學習素養(yǎng)。

教學目標：（1）結合具體生活情境，在“數(shù)學化”活動過程中，自主經歷探索小數(shù)大小比較的過程，能正確比較一位小數(shù)的大小。

（2）經歷多樣化數(shù)學方法的比較過程，滲透轉化、數(shù)形結合、優(yōu)化等思想和方法，讓學生借助形的直觀理解數(shù)的內涵，提升學生數(shù)學思考的能力。

（3）培養(yǎng)學生質疑、合作、交流的能力，感受數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，體會數(shù)學的應用價值。

教學重點：在具體情境中理解小數(shù)大小比較的方法，能正確進行比較。

教學難點：借助直觀圖進一步理解小數(shù)大小比較的方法。

教具學具：課件、數(shù)字卡片、作業(yè)紙。

課前談話：生活中的小數(shù)無處不在。師生比身高、體重，引導學生發(fā)現(xiàn)小數(shù)也有大小。

一、了解起點，提出問題

1. 導入新課，初提問題

揭題：生活中常常進行數(shù)量之間的大小比較，我們學習過整數(shù)、分數(shù)之間的大小比較，今天來研究一位小數(shù)的大小比較。（板書課題：一位小數(shù)的大小比較）

提問：夏天到了，同學們喜歡的冷飲很暢銷，商店有4種不同價格的冷飲，雪糕1.5元、冰磚0.8元、冰淇淋2.2元、冰棒0.6元。由這些信息，你能比較哪兩種冷飲的價格？根據學生的發(fā)言依次板書0.8>0.6，0.8<1.5，2.2>1.5， 0.6<2.2，1.5>0.6，0.8<2.2。

2. 分類小數(shù)比較問題

交流：這么多小數(shù)比較的問題，可以分類嗎？為什么這樣分類呢？指出根據整數(shù)部分的不同分為三類。

3. 根據生活經驗比較

分享：平時買過冷飲嗎？按照你的購物經驗，0.8元和0.6元誰大？

過渡：數(shù)學是講道理的學科，為什么0.8元比0.6元大呢？請你們用數(shù)學眼光把想法和思考過程寫在作業(yè)紙上。

設計意圖：小數(shù)大小的比較是在整數(shù)大小的比較、同分母分數(shù)大小的比較等知識教學之后的同類型知識，因此學生在知識、方法和思想三個方面已經有了足夠的儲備，這些儲備是發(fā)展學生思維、溝通知識內在聯(lián)系、滲透和孕育數(shù)學思想的“富礦”?？圩　?.8為什么大于0.6”這一問題展開教學，聚焦知識體系中的核心知識，扣住核心知識生長的背景，找到核心知識的教學意蘊。

二、自主探索，建構方法

1. 比較整數(shù)部分相同的小數(shù)

（1）嘗試不同策略進行比較。

探究：學生思考，教師巡視，寫好策略的學生在小組互相交流。

匯報：請部分學生到實物投影上展示作業(yè)紙寫的內容，講述思考過程。

①化成角。以“角”作單位，將小數(shù)化成整數(shù)來比。0.8元=8角，0.6元=6角，8角比6角大，所以0.8>0.6。（板書：化成角）

②化成分數(shù)。把小數(shù)化成分數(shù)，十分之八大于十分之六，所以0.8>0.6。（板書：化成分數(shù)）

③畫圖比較。不看整數(shù)部分的0，直接比較8和6。追問：為什么呢？

啟發(fā)：將小數(shù)化成正方形幫助理解。平均分成10份，取其中的8份，表示0.8。請學生在作業(yè)紙上涂色0.6，再比一比。8份比6份多，從圖上可以看出0.8比0.6大。

將小數(shù)化成線段圖表示。請學生到屏幕上指一指0.8和0.6：誰離1近？線段圖上一個小格表示多少？0.8里有幾個0.1？0.6呢？

引導學生在敘述的時候要有條理、有根據。

小結：畫圖能非常直觀地看出兩個小數(shù)的大小。（板書：畫圖）

（2）探尋各種方法的聯(lián)系。

歸納：把大家的方法整理一下，這么多方法有什么聯(lián)系或共同的地方？“轉化成角”是看小數(shù)里有幾個1角，“轉化成分數(shù)”是看有幾個十分之一，“畫圖”是看有幾個0.1，都是在比0.8和0.6里包含了多少個相同的計數(shù)單位。學生不僅比出了小數(shù)的大小，還找到了背后的道理！

小結：整數(shù)部分都是0的小數(shù)，只要直接比較小數(shù)部分的大小。

設計意圖：給學生足夠的空間展示“化成角”“化成分數(shù)”“畫圖”等多種方法，使各種不同的“關系”在同一場景中“現(xiàn)身”，然后在“能不能找到關聯(lián)或共同點”的啟示下，使各種關系有效連通，并達到深度理解的層次。學生獲得的不僅僅是知識，更多的是思想和智慧，是方法和聯(lián)系，是對數(shù)學的好感和親近。

2. 比較整數(shù)部分不同的小數(shù)

類推：根據以上的經驗再來比一比雪糕和冰磚的價格，同桌互相討論。

（1）化成角來比。15角大于8角，所以0.8<1.5。

（2）和1元比。0.8元比1元少，1.5元比1元多，所以0.8<1.5。

（3）直接比較整數(shù)部分。0比1小，所以0.8<1.5。追問：小數(shù)部分8比5大，為什么只看0和1就比出了結果呢？

（4）畫線段圖比。怎么表示1.5呢？線段“1”延長到“2”，“1”后面有5個小格。

演示：0.8有8份，比1小;1.5有15份，比1大，所以0.8<1.5。小小的圖形的作用可真不小，幫助理解了“為什么只要直接比較0和1就可以了”。

小結：像這樣的整數(shù)部分不都是0，怎么比？哪個整數(shù)部分大，這個小數(shù)就大。

3. 總結積累完善方法

（1）直線上比較大小。

延伸：能接著在直線上找到2.2嗎？直線延長到3，2后面的兩格就是2.2.像這樣繼續(xù)往右延長，還可以表示更多的數(shù)，以后還要學習從0往左延長，認識新的數(shù)。真是一條神奇的直線。

思考：請同學們在直線上表示這四個小數(shù)，并任選兩個小數(shù)比一比，同桌交流比較方法。

反饋：學生任選兩個小數(shù)比較，并說一說比較的過程。教師相機提問：2.2>1.5這一組的整數(shù)部分都不是0，怎么比？為什么都喜歡直接比較整數(shù)部分？更直接，更簡便。

（2）直線上驗證深化。

探究：比較了大小，再來觀察這條直線上的數(shù)，有什么發(fā)現(xiàn)？

反饋：越往右邊，小數(shù)越大;越往左邊，小數(shù)越小。所以最大的是2.2，最小的是0.6;“一點幾”都在“零點幾”右邊，驗證了剛才的發(fā)現(xiàn)：“零點幾”都小于“一點幾”。

拓展：0和1之間都有哪些小數(shù)？1和2之間，2和3之間呢？想一想，“五點幾”在哪兩個整數(shù)之間？直線上還能找到更大的數(shù)嗎？100、101之間有哪些一位小數(shù)？這些小數(shù)中最小的是哪個？最大的是哪個？這些小數(shù)大不大？小數(shù)并不“小”，也可以很大。8848.86這個小數(shù)是多少？它很特別，知道嗎？這是世界最高峰珠穆朗瑪峰的高度。

（3）優(yōu)化小數(shù)比較方法。

回顧：通過以上學習，能完整地說一說比較小數(shù)大小的方法嗎？指名兩位學生回答。同桌之間再互相說一說方法。

小結：不管是哪種思考方法，都從高位比起，先比較整數(shù)部分，再比較小數(shù)部分。（板書：從高位比起）

設計意圖：聚焦“道理”“方法”兩個環(huán)節(jié)，繼續(xù)展開探究，給學生較大的研究和學習的空間，使其多層面、多視角進行發(fā)散與聚合。借助直線描一描、比一比，認識更大的小數(shù)，自然建立整數(shù)與小數(shù)的聯(lián)系，教師的“教”，更多的是點撥、鼓勵、欣賞、提醒、引導。

三、拓展深化，提升應用

（1）人民幣比大小。掌握了比較方法，讓我們解決生活中的一些問題。出示人民幣，比較大小。

（2）儲蓄小冠軍。下面三位同學儲蓄幾元幾角？誰是儲蓄小冠軍？誰最少？你是怎么想的？

（3）跳遠小冠軍。這是三只青蛙跳遠比賽名次，它們的成績各是多少呢？提問：你是怎么看出來的？

（4）跑步小冠軍。出示四位同學跑步成績。請學生頒獎，誰是冠軍？誰是第二名？誰是第三名？跑得越快時間越少，比的時候不僅要注意數(shù)的大小，還要聯(lián)系生活實際。

（5）航模小冠軍。誰是航模比賽小冠軍呢？出示比賽規(guī)則，飛行時間越長，成績越好。由提示語和比賽時間，確定每人的成績。

比較：跑步和航模都是計時，為什么跑步第一名取最短時間，航模比賽第一名取最長時間？比賽規(guī)則不同，生活中需要仔細觀察，深入思考。

（6）翻牌比冠軍。

游戲規(guī)則：每隊有0到9共10張牌。男女生各選派代表依次翻牌組成小數(shù)比大小;自己決定翻到的數(shù)字放哪一位;能確定勝負時，本輪比賽結束。

①翻牌過程中采訪學生，為什么把這個牌放在這個數(shù)位？引導得出：取勝的秘訣是把大數(shù)放在高位。

②董老師還有更巧妙的方法，不管怎么抽都能贏：移動小數(shù)點，變成“□□.□”“□.□□”。這樣能確定贏嗎？

在翻牌游戲中也能得出整數(shù)部分大，則這個小數(shù)就大。

四、全課總結，連線生活

希望同學們下課后繼續(xù)發(fā)現(xiàn)生活中的小數(shù)問題，不僅會問、會想，更會用！

設計意圖：從儲蓄小冠軍、跳遠小冠軍、跑步小冠軍、航模小冠軍、翻牌小冠軍等生活場景中設計練習，深化對小數(shù)比較本質特征的認識。多樣化的層次性練習，將數(shù)學知識與學生已有的生活經驗相溝通，不僅是對知識的具體應用，更將感性認識上升為理性認識。

五、教后反思

1. 分類比較，勾連不同方法

小數(shù)大小的比較是在整數(shù)大小的比較、同分母分數(shù)大小的比較等知識教學之后的同類型知識，同時小數(shù)也是十進制形式，但由于小數(shù)的特殊性，小數(shù)意義不像自然數(shù)那么直觀，學生要深刻理解小數(shù)比較方法和內涵存在一定難度。本課需要根據小數(shù)的含義，使學生在溝通概念和意義的同時自然獲取比較大小的知識點，對學前基礎中碎片化、點狀化的知識進行復習梳理，使其條理化、結構化、系統(tǒng)化。根據情境商店有4種不同價格的冷飲——0.8元、0.6元、1.5元、2.2元，引導學生由這些信息能比較兩種冷飲的價格大小，啟發(fā)小數(shù)比較可以根據整數(shù)部分的不同分為三類：第一類，整數(shù)部分都是0;第二類，一個整數(shù)部分是0，一個整數(shù)部分不是0;第三類，整數(shù)部分都不是0。接下來圍繞不同的三類展開探討，分別得出：整數(shù)部分都是0，只要直接比較小數(shù)部分就可以了;整數(shù)部分一個是0，一個不是0，哪個小數(shù)的整數(shù)部分大，這個小數(shù)就大;整數(shù)部分都不是0，先比較整數(shù)部分，再比較小數(shù)部分。分類比較后，引導完整的歸納：不管哪類比較，都是先比較小數(shù)的整數(shù)部分，再比較小數(shù)部分。整數(shù)和小數(shù)都是十進制，從而勾連整數(shù)比較方法，都是先從高位比起，也為后面學習多位小數(shù)及百分數(shù)比較埋下伏筆。

2. 多維比較，聯(lián)系知識本源

在比較整數(shù)部分相同的小數(shù)大小時，大問題下啟發(fā)思考：“兩個小數(shù)怎么比？為什么這樣比？”多樣化呈現(xiàn)方法，從具體的數(shù)量“8角和6角”到半抽象的“分數(shù)、單位正方形圖、線段圖”，再到抽象的方法總結，學生在多元表征中逐步經歷比較方法的抽象過程，開闊思路，培養(yǎng)了橫向、縱向綜合解決問題的能力，有效發(fā)展數(shù)學思考。學生從生活經驗出發(fā)聯(lián)系具體數(shù)量單位“元”“米”等將小數(shù)轉化成整數(shù)來比較，還可以利用小數(shù)的意義將小數(shù)轉化成分數(shù)來比較大小;也可以引入直觀的單位正方形圖，將一個正方形表示為“1”，平均分成10份，0.8是8份，0.6是6份，正方形圖是幫助學生主動建構小數(shù)意義的很好的載體，是比較小數(shù)的一個直觀工具;還可以通過小數(shù)在線段圖上對應點的位置進行判斷，0.8有8個小格，0.6有6個小格，通過比較線段的長短看出小數(shù)的大小，小數(shù)與線段圖上的點建立了一一對應的聯(lián)系。最后引導學生發(fā)現(xiàn)不管哪種思考方法，都是相同計數(shù)單位之間的比較，開展以抽象為主線的思維訓練。

3. 情境比較，加強理解運用

學生掌握一位小數(shù)比較方法后需要展開思維訓練，利用不同的規(guī)則推理強化小數(shù)大小比較方法，聯(lián)系生活經驗在具體情境里比較小數(shù)的大小，體會小數(shù)的現(xiàn)實意義，促進對小數(shù)的理解和應用。5個系列“小冠軍”題目由易到難層層推進，成為學生思維發(fā)展的催化劑，學生展開多維形式的推理演繹，提升思維認知水平。儲蓄“小冠軍”是對例題的鞏固;跳遠“小冠軍”是以長度為單位的小數(shù)之間的比較;跑步“小冠軍”是以時間為單位的比較，還隱藏著“跑得越快時間越少”這個生活常識;航?！靶」谲姟毙枰鶕木涮崾菊Z對小數(shù)大小排序，“紅紅成績可能是十六點幾呢？最少是多少秒？最多是多少秒？”這個關鍵問題的提出，學生需要根據“軍軍16.4秒和亮亮17.3秒”推想紅紅的成績在這兩個數(shù)之間，還要根據確定好的個位“6”得出最少是16.5秒，最多是16.9秒;最后的翻牌“小冠軍”再次點燃了學生的學習熱情，課堂更加靈動有趣，學生需要靈活聯(lián)系小數(shù)比較方法，根據自己翻到的數(shù)及對方翻到的數(shù)，還有想象接下來翻到的數(shù)決定將數(shù)放在哪個數(shù)位。在這個過程中，全班分成兩個隊通過持續(xù)推理想象，進一步體驗到小數(shù)大小比較的本質。既為學生提供廣闊的思維空間，也釋放學生的潛能和才華，讓學生感受到好玩有趣。通過這個環(huán)節(jié)的學習，學生能靈活自如地解決各類生活中的小數(shù)問題。

本課在數(shù)學思想的滲透方面還做了嘗試。借助“數(shù)軸”這個具體的“形”幫助理解如何比較一位小數(shù)的大小，發(fā)現(xiàn)小數(shù)排列的特點和規(guī)律，感受小數(shù)的有序性和小數(shù)與整數(shù)之間的關聯(lián)，進一步豐富數(shù)的內涵和外延，有效發(fā)展數(shù)感，有機滲透數(shù)形結合基本思想，創(chuàng)造機會發(fā)揮多維表征在數(shù)感培養(yǎng)中的作用。在模仿和推演基礎上，通過抽象過程建構完整的計數(shù)方法，明晰“比較小數(shù)大小就是看小數(shù)里包含了幾個相同的計數(shù)單位”，有機滲透抽象的基本思想。將抽象的小數(shù)大小比較具體化、形象化，運用不同思想模型解決生活中的問題。學生在這樣的學習中，自主建構數(shù)學知識的結構網絡，感悟知識之間的聯(lián)系，對小數(shù)的認識更加完善。