直觀想象：引領學生的深度學習

杲平

[摘? 要] “直觀想象”是指導學生借助于頭腦中的表象獲得對數學知識的直觀理解，從而有效地解決問題的一種手段。操作能催生學生的直觀想象，圖示能激活學生的直觀想象，模型能引領學生的直觀想象。通過直觀想象，變學生的被動感知為主動探尋，進而讓直觀想象成為學生抽象、推理的先導，讓抽象、推理成為學生直觀想象的深化。直觀想象能催生、引領、激活學生的深度學習。

[關鍵詞] 小學數學;直觀想象;深度學習

直觀想象是數學核心素養之一。借助于直觀想象，學生能根據事物的形態、變化等去積極、主動地解決實際問題。在小學數學教學中，學生的直觀想象能力的培育常常會出現被忽視、被干擾、被替代等現象。作為教師，要主動催生學生的直觀想象、激活學生的直觀想象、引領學生的直觀想象，讓直觀想象成為學生數學學習的常態。一般而言，學生的直觀想象能力包括感性直觀、理性直觀和本質直觀。直觀想象具有整體性、經驗性、個體性的特質。引導學生直觀想象是教師在數學教學中的應然之舉。

一、操作——催生學生的直觀想象

所謂“直觀想象”，是指導學生借助于頭腦中的表象獲得對數學知識的直觀理解，從而有效地解決問題的一種手段。直觀想象，常常依托于學生數學學習中的操作、畫圖等。對于直觀想象，我們不能簡單地理解為“直觀”與“想象”的簡單結合，而更應該理解為借助直觀手段去描述問題、分析問題和解決問題。引導學生操作是催生學生直觀想象的重要手段。正如美國教育心理學家布魯納所說，學生對數學知識的理解有三種模式：其一是直觀動作模式，其二是具體形象模式，其三是抽象邏輯模式。引導學生操作，就是要在學生的頭腦中建立直觀的操作性、映像性的數學表征。

對于學生尤其是低年級學生的數學學習，教師應當引導學生操作，激活學生的動作思維，讓學生在頭腦中建立直觀動作表象，從而催生學生的直觀想象。正如瑞士教育心理學家皮亞杰所說，“兒童的智慧在指尖跳躍”。通過操作，學生能自主建構數學知識，自主關聯數學知識。比如教學《100以內的加法和減法（二）》（蘇教版一年級下冊）這部分內容時，筆者在把握學生已有知識經驗的基礎上，引導學生借助小棒進行操作。不同的學生，其操作的方法、策略是不同的。比如對于“24+6”這樣的算式，有學生采用的是“累積法”，即逐步地增加小棒根數;有學生采用的是“拆分法”，即將24拆分成整十數和4，然后將4和6合并;等等。通過學生的自主計算，引導學生建構“滿十進一”的計算模型，這樣的模型建構，為學生學習豎式計算奠定了堅實的基礎。在后續的計算練習中，學生基本上都能將一個數拆分成整十數和個位數，然后將拆分后的數進行合并計算。在這個過程中，學生的操作性的直觀想象發揮了重要的作用。借助于操作性的直觀想象，學生能感悟、建構“從個位加起，滿十進一”的計算法則。

荷蘭著名數學教育家赫爾經過研究認為，學生的直觀想象水平由低到高可以分為五個層次，即視覺水平、描述分析水平、抽象水平、推理水平以及公理化水平等。顯然，積累學生表象是發展學生直觀想象的基石。通過操作，能積累學生表象，增進學生直觀的感性認識，助推學生的數學化思考、探究。作為教師，要對學生的操作活動進行設計，盡量避免學生數學操作隨意性、虛假性，讓學生借助直觀想象在數學操作與數學理解之間穿行。

二、圖示——激活學生的直觀想象

操作、圖形等是學生的直觀想象的載體、媒介。在小學數學教學中，教師不僅要引導學生操作，更要引導學生畫圖。圖示能激活學生的數學想象，能給予學生數學學習感受與體驗。借助于圖示，學生能將抽象的數學問題轉化為形象的、具體的、感興趣的問題。比如對于一些比較復雜的數量關系，當學生畫出線段圖表征之后，就能尋獲解決問題的思路、策略。通過圖示，逐步培育學生的空間觀念。

在小學數學教學中，直觀想象離不開圖形的支撐。引導學生畫圖，讓學生在畫圖的過程中獲得真切的感受、體驗，能為學生的直觀想象助力。作為教師，要引導學生溝通數與形、式與形，讓數形結合、數形互通、數形互譯、數形互攝。作為教師，引導學生為抽象的數學知識建立圖像、圖形的模型，就能讓學生的數學思考、探究有了有力的支撐，就能讓學生形成數學思考、探究的新視角，從而能讓學生有效地解決數學問題。

三、模型——引領學生的直觀想象

德國思想家康德說，“思維無感性則空，直觀無概念則盲”。直觀想象是對直觀的一種想象。模型能啟發、引領學生的直觀想象。美國著名教育心理學家卡羅爾·德韋克深刻地指出，“人與人之間的差距，就在于思維模式的不同”。思維模型不僅僅指向數學知識，更蘊含著數學的思想方法。因此，在數學教學中，教師應當引導學生創建思維模型，以充分展現學生的數學思維過程。

數學模型是豐富的。在小學數學中，一個數學公式、一個規律的概括等都是數學模型，甚至一個數學概念就是一個微型的數學模型。從某種意義上來說，學生數學學習的過程就是建模的過程。正是在這個意義上，東北師范大學史寧中教授認為，學生的數學核心素養就是“抽象”“推理”和“建模”。比如在復習《多邊形的面積》（蘇教版五年級上冊）這部分內容時，筆者充分發揮學生直觀想象的作用。引導學生比較“平行四邊形的面積公式”“三角形的面積公式”和“梯形的面積公式”，然后根據這些多邊形的面積公式直觀想象多邊形的面積公式的推理過程。在直觀、動態的想象過程中，有學生首先提出梯形的面積公式和三角形的面積公式似乎存在著某種關聯。有學生則直接提出，三角形的面積公式可以看成是梯形面積公式的特殊情形，也就是當梯形的上底為0時的特殊情形，梯形的面積公式就演變為三角形的面積公式。據此，有學生提出，用梯形的面積可以表示所有的多邊形的面積公式，平行四邊形和長方形都可以看成是上下底相等的梯形，而正方形則可以看成上下底與高都相等的梯形，等等。盡管這樣的想象不一定科學，可能有牽強附會之嫌，但作為學生，能通過自己的直觀想象，用梯形的面積公式來統馭所有的多邊形的面積公式，不能不說是學生數學思考的一種創新。在這里，梯形的面積公式模型對于學生的直觀想象發揮著重要的啟發、引導作用。

直觀想象是學生數學學習的一種方式。運用直觀想象，能讓學生的抽象思維獲得發展。在引導學生直觀想象的過程中，教師要把脈學生的經驗，豐富學生的表象，讓學生的直觀想象有支撐;要精心架構學生直觀、表象、推理等之間的關聯，進而提升學生抽象化思維的能力;要給學生打造一個直觀想象的平臺，激發學生的直觀想象潛質，讓學生能積極、主動地進行直觀想象。通過直觀想象，提升學生的數學學習力，發展學生的數學核心素養。