數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培育實踐

周先華

摘? 要：數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六大內(nèi)容之一. 在均值不等式教學(xué)中，通過對均值不等式的幾何意義、證明和拓展問題的探究，發(fā)現(xiàn)不等式與平面幾何、三角、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，進行了一次有效的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培育嘗試.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)抽象;高考評價體系;均值不等式;核心素養(yǎng);實踐探索

2019年11月出版的《中國高考評價體系》（以下簡稱《體系》）明確構(gòu)建了“一核”“四層”“四翼”用于指導(dǎo)高考改革與高考命題的測評體系. 其中，“四層”是高考的考查內(nèi)容，而學(xué)科素養(yǎng)在這“四層”中起著承上啟下的作用，既承接核心價值的方向引領(lǐng)，又統(tǒng)攝關(guān)鍵能力與必備知識等內(nèi)容. 學(xué)科素養(yǎng)既是基礎(chǔ)教育的培養(yǎng)目標(biāo)，也是高等學(xué)校選拔人才的要求. 它把《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2017年版）》（以下簡稱《標(biāo)準》）中的學(xué)科核心素養(yǎng)與高校選拔人才時的素養(yǎng)要求進行了完美融合，構(gòu)建出了適合高考的測評體系，并分為學(xué)習(xí)掌握、實踐探索和思維方法這三個一級指標(biāo). 其中，思維方法又分為科學(xué)思維、人文思維和創(chuàng)新思維這三個二級指標(biāo). 而數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)學(xué)科中最重要的一種思維方法，也是高考數(shù)學(xué)命題中最受關(guān)注的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

一、數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育視角下的數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)抽象，是通過觀察與分析，拋開數(shù)學(xué)對象外部的、偶然的東西而抽象出其本原，從空間形式與數(shù)量關(guān)系上揭示數(shù)學(xué)對象本質(zhì)的一種數(shù)學(xué)思維方法. 作為《標(biāo)準》中規(guī)定的高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之首，數(shù)學(xué)抽象是高中數(shù)學(xué)中最重要的思維方法. 作為一種創(chuàng)造性思維方法，數(shù)學(xué)抽象主要包括同向思維、逆向思維、悖向思維和審美直覺思維這四種基本方法. 從學(xué)科素養(yǎng)培育的角度觀察，數(shù)學(xué)抽象主要表現(xiàn)在以下四個方面：獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題與模型，形成數(shù)學(xué)思想與方法，認識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系.

培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，就是積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗，從而達到下列目標(biāo)：使學(xué)生能更好地理解數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系;能通過抽象、概括去認識、理解、把握事物的數(shù)學(xué)本質(zhì);能逐漸養(yǎng)成一般性思考問題的習(xí)慣;能在其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中主動運用數(shù)學(xué)抽象的思維方式解決問題.

《標(biāo)準》對數(shù)學(xué)抽象的上述目標(biāo)進行了細化，分為從弱到強的水平一、水平二、水平三，其量化標(biāo)準對高中數(shù)學(xué)教學(xué)具有極強的指導(dǎo)意義. 下面通過均值不等式的教學(xué)，對數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培育進行實踐探索.

二、均值不等式的探究

故結(jié)論得證.

【評析】問題2是問題1的拓展與延伸，使用分析法容易得證. 在證明結(jié)論的同時，我們要認真體會拓展均值不等式中的四個代數(shù)式的本質(zhì)的一致性，即[a-b2≥0]. 在理解前面的命題及其推證的基礎(chǔ)上，仍然通過類比解決新的問題，體現(xiàn)了《標(biāo)準》中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的水平二：能夠在關(guān)聯(lián)的情境中抽象出一般的數(shù)學(xué)概念和規(guī)則;能夠?qū)⒁阎獢?shù)學(xué)命題推廣到更一般的情形;能夠在新的情境中選擇和運用數(shù)學(xué)方法解決問題;能夠理解用數(shù)學(xué)語言表達的概念、規(guī)則、推理和論證;能夠提煉出解決一類問題的數(shù)學(xué)方法，理解其中的數(shù)學(xué)思想. 根據(jù)已經(jīng)證明的數(shù)學(xué)命題推導(dǎo)出新的命題，意味著數(shù)學(xué)概念與規(guī)則的獲得;延伸命題的推證，意味著數(shù)學(xué)命題與模型的提出，并在此推導(dǎo)過程中初步形成數(shù)學(xué)思想與方法.

【評析】本探究將不等式、平面幾何、三角函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)等知識與方法進行整合，尋求在知識的交會處探究問題的內(nèi)在聯(lián)系. 探究均值不等式的代數(shù)本質(zhì)和幾何本質(zhì)，既體現(xiàn)了《體系》中構(gòu)建的“四翼”中的綜合性和創(chuàng)新性要求，也體現(xiàn)了《標(biāo)準》中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的水平三的要求：能夠在得到的數(shù)學(xué)結(jié)論的基礎(chǔ)上形成新命題;能夠針對具體問題運用或創(chuàng)造數(shù)學(xué)方法解決問題……能夠感悟通性、通法的數(shù)學(xué)原理和其中蘊涵的數(shù)學(xué)思想.

在比較[P，Q，R]的大小時，以角度為自變量來構(gòu)造函數(shù)，再利用研究函數(shù)最值的一般性方法——導(dǎo)數(shù)法求得函數(shù)的最值，從而比較大小. 這是對學(xué)生的創(chuàng)新性思維的要求. 不等式判斷（或證明）本質(zhì)上是函數(shù)的最值問題. 數(shù)學(xué)抽象就是要剝?nèi)ニ芯康臄?shù)學(xué)對象的“外衣”，尋求其數(shù)量與空間的本質(zhì)，并在此過程中形成數(shù)學(xué)思想與方法，從整體上認識數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu). 因此，上述探究過程的核心就是數(shù)學(xué)抽象能力的形成過程.

在上述四個問題的探究過程中，我們可以感受到，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的生長點非常多. 從數(shù)學(xué)概念的生成、數(shù)學(xué)命題與數(shù)學(xué)規(guī)律的獲得、數(shù)學(xué)模型的提出與建構(gòu)，到數(shù)學(xué)思想方法的形成，再到對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系的感悟與認識，數(shù)學(xué)抽象無處不在. 在教學(xué)中，教師要善于發(fā)現(xiàn)并充分利用這樣的契機，以核心價值為引領(lǐng)、以數(shù)學(xué)知識為載體，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

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