培養“推理意識”：小學數學教學的新要求

張昆

摘要：“推理意識”就是在判斷一個命題的真假時會自覺或者不自覺地使用的一種心理傾向性，它是推理能力的基礎。義務教育數學課程標準修訂的預審稿在已有“推理能力”的情況下新增“推理意識”，是為了凸顯推理能力的心理來源，細化推理的心理傾向性的萌生過程和推理能力的培養路徑。培養學生的“推理意識”，主要依托小學數學課程內容完成。教師要充分利用小學“數與代數”內容的算法（計算）與思辨（推理）“二重性”，發掘其中蘊含的培養學生“推理意識”乃至“推理能力”的因素。

關鍵詞：推理意識;小學數學;數與代數;算法;思辨

2021年3月，義務教育數學課程標準修訂的預審稿（以下簡稱“預審稿”），結合《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出的6個數學核心素養，基于《義務教育數學課程標（2011年版）》提出的10個“核心詞”，抽繹出15個數學核心素養，作為課程目標。其中，除在“數感”的基礎上新增“量感”，在“符號意識”的基礎上新增“抽象能力”，還將3個“核心詞”演化為3對（6個）數學核心素養，即將“推理能力”演化為“推理意識”和“推理能力”，將“數據分析觀念”演化為“數據意識”和“數據觀念”，將“模型思想”演化為“模型意識”和“模型觀念”。本文重點探討“推理意識”及其培養。

一、“推理意識”的內涵

《現代漢語詞典（第7版）》將“推理”解釋為“邏輯學指思維的基本形式之一，是由一個或幾個已知的判斷（前提）推出新判斷（結論）的過程”。這里，“已知的判斷（前提）”指的是已知的定義、公理、定理等真命題，而“新判斷（結論）”也應該是真命題，只不過在沒有經過由“已知的判斷（前提）”的推證，無法確定其真假。此外，相對而言，意識主要是指基于經驗的感悟，而能力（觀念）主要是指基于概念的理解——當然，意識與能力（觀念）之間不存在絕對的界線，意識會不自覺地過渡到能力，而能力是建立在意識的基礎上的。因此，所謂“推理意識”，就是在判斷一個命題的真假時會自覺或者不自覺地使用的一種心理傾向性。

預審稿指出：“推理意識主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟。知道可以從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題。能夠通過簡單的歸納或者類比，猜想或者發現一些初步的結論;通過法則運用，體驗數學從一般到特殊的論證過程;對自己及他人的問題解決過程給出合理解釋。推理意識有助于養成講道理、有條理的思維習慣，增強交流能力，是形成推理能力的經驗基礎。”

二、新增“推理意識”的意圖：為初中階段培養“推理能力”做好鋪墊

既然“推理能力”是建立在“推理意識”的基礎上的，而“推理意識”會不自覺地過渡到“推理能力”，那么，預審稿為什么要在已有“推理能力”的情況下新增“推理意識”？其意圖在于，凸顯推理能力的心理來源，細化推理的心理傾向性的萌生過程和推理能力的培養路徑。作為一種工具性中介，推理意識最終服務于培養推理能力的課程目標，同時體現了“螺旋上升”的課程理念。

因此，預審稿進一步指出：培養學生的“推理意識”，主要依托小學數學課程內容（多為算術計算性知識）完成;相應地，培養學生的“推理能力”，主要依托初中數學課程內容（多為平面幾何推理論證性知識）完成。由此，試圖改變主要依靠初中平面幾何知識來培養學生“推理能力”的“一步到位”的現狀，引導一線教師開拓利用小學算術乃至代數知識來培養學生的“推理意識”，進而更好地（逐步地、充分地）培養學生的“推理能力”。

三、培養“推理意識”的方法：利用“數與代數”內容的“二重性”

如何在小學階段培養學生的“推理意識”？首先需要選擇合適的課程內容（教學資源）。

過去，一些教師習慣性地認為，小學的算術乃至代數知識偏向于計算，不適合培養學生的“推理意識”乃至“推理能力”。這種觀點是不正確的。

實際上，著名數學教育家弗賴登塔爾曾經揭示“算法數學”與“思辨數學”的聯系與區別，指出：很多數學問題（知識）既可以通過計算解決（得到），也可以通過推理（當然免不了一些必要的計算）解決（得到）。史寧中教授也曾強調，小學階段的很多“數與代數”知識和問題都存在“二重性”：既可以培養學生的“運算能力”，也可以培養學生的“推理意識”和“推理能力”。

因此，教師要充分利用這些內容的“二重性”，發掘其中蘊含的培養學生“推理意識”乃至“推理能力”的因素，做好培養學生的“運算能力”與“推理意識”乃至“推理能力”的平衡，發揮這些內容的教學價值。這樣，也有助于教師理解“有了直接計算的方程方法，為什么還要教費力思考的算術方法”和“有了直接計算的解析幾何方法，為什么還要教費力思考的平面幾何方法”——因為它們蘊含著不同的教學價值。

例如，有教師在一節五年級的數學復習課上，通過四道“數與代數”例題的思辨（算術）解法，嘗試培養學生的“推理意識”乃至“推理能力”。教學過程及簡要說明如下：

（教師出示例1。）

例1 兩個同學的錢都以元為最小單位，且至少有1元。他們準備各買一個數字計算器。當他們知道計算器的價格時，第一個同學發現自己缺35元，第二個同學發現自己缺2元。于是，兩個同學決定將兩人的錢合在一起買一個計算器，可惜所帶的錢依然不夠。問：計算器的價格是多少？兩人各帶了多少錢？

師 如何解答這個問題？

（學生沉默。）

師 計算器的價格是不是可以用35+2=37（元）來計算呢？

生 顯然不是。因為這是兩個同學買一個計算器各自所缺的錢數，所以不是計算器的價格。

師 仔細觀察題中的兩個數據“35”與“2”，探討其內涵：第一個同學缺35元，距離買一個計算器的錢數很遠;而第二個同學只缺2元，距離買一個計算器的錢數就很近了。這兩個條件給了我們什么啟示呢？

生 我產生了一種想法：假如第一個同學帶了2元，將其借給第二個同學，此時，第二個同學就可以買一個計算器了，所以，第一個同學帶了不到2元。加上第一個同學至少有1元錢的條件，可以判斷第一個同學只有1元錢。

師 他產生了獨到的想法，其實使用了一種從已知到未知的判斷，也就是推理，由此確定了第一個同學僅有1元錢。那么，在這種情況下，剩下的問題如何解決呢？

生 由于第一個同學缺35元，現在只有1元，因此，每個計算器的價格為35+1=36（元）。而第二個同學缺2元，可知其現有的錢數為36-2=34（元）。

師答：每只計算器的價格為36元，第一個同學有1元，第二個同學有34元。

顯然，解這道題的思維活動與其說是計算，不如說是推理（其實，具體數字推理占據了很重要的成分），計算很簡單（35+1=36，36-2=34），都是推理的直接結果。當然，初中生可以通過設未知數（計算器的價格），列不等式，結合取值范圍和取整要求得到最終結果，但是對小學生而言，這種解法不太現實，也不能培養“推理意識”。

（教師出示例2。）

例2 一桶水，丈夫獨飲可飲14天，夫妻同飲可飲10天，若妻子獨飲，則可飲多少天？

師 如何解答這個問題？

（學生思考。）

師 注意“丈夫獨飲可飲14天，夫妻同飲可飲10天”這個條件具有怎樣的內涵？

生 我發現這句話中隱含著“丈夫4天所喝的水等于妻子10天所喝的水”。

師 有價值的發現。在他發現的內涵下，如何解決這個問題呢？

生 這道題可以改寫為一道等價的題目：丈夫4天所喝的水等于妻子10天所喝的水，那么丈夫14天所喝的水等于妻子多少天所喝的水？或者更簡單一點：丈夫2天所喝的水等于妻子5天所喝的水，那么丈夫14天所喝的水等于妻子多少天所喝的水？在這種情況下，問題的解決便十分容易了：丈夫14天所喝的水等于妻子7×5=35（天）所喝的水。

師答：妻子獨飲這桶水，可飲35天。

顯然，這道題的成功解決主要也是推理的結果：從已知條件出發，推理得到“丈夫4天所喝的水等于妻子10天所喝的水”，進一步推理得到“丈夫2天所喝的水等于妻子5天所喝的水”。由此，這道題的計算便十分簡單了。當然，初中生也可以通過設未知數（妻子獨飲的天數），列分式方程解決……

（教師出示例3。）

例3 輪船順水航行速度為20千米/小時，逆水航行速度為15千米/小時，從A地駛往B地比從B地駛往A地少用5小時，則A地與B地之間的距離是多少？

師 如何解答這個問題？

（學生沉默。）

師 輪船航行速度20千米/小時與15千米/小時中的時間是以“小時”為單位的，這個單位比較大，可能不利于探究問題解決的思路，可以將它轉化為小一些的時間單位嗎？

生 我是這樣想的：可以將速度單位中的“小時”轉化為“分鐘”。在這種情況下，輪船的速度其實就是，順水航行1千米需要3分鐘，逆水航行1千米需要4分鐘。

師 輪船順水航行1千米需要3分鐘，逆水航行1千米需要4分鐘，說明了什么問題？

生 這句話的內涵是，輪船逆水航行1千米比順水航行1千米需要多花1分鐘。而題目中，輪船在A地與B地之間逆水航行比順水航行多花了5小時，即300分鐘。因此，A地與B地之間的距離為300千米。

師答：A地與B地之間的距離為300千米。

顯然，這道題的成功解決也是建立在推理基礎上的：從已知條件出發，推理得到“輪船逆水航行1千米比順水航行1千米需要多花1分鐘”。由此，這道題的計算便十分簡單了。當然，初中生也可以通過設未知數（兩地之間的距離），列一次方程解決——這里，特別值得一提的是，預審稿將原來安排在小學高年級的簡易方程（一元一次方程）知識安排到了初中階段，可能也有在小學階段充分培養學生“推理意識”的考慮吧。

（教師出示例4。）

例4 說明形如213213、356356、875875的數都可以被13整除。

師 如何解答這個問題？

生 我將這三個數作為被除數，13作為除數，進行除法運算，發現這三個數都可以被13整除。

師 但是，這三個數不能代表所有這種形式的數。因此，我們首先必須解決怎樣的問題？

生 我想，首先應該找到形如213213、356356、875875這樣的數的一般表達式。

師 非常好！那么，這些數的一般表達式究竟是什么呢？

（學生沉默。）

師 我們假設一個十位數，其個位上的數字為2，十位上的數字為5，那么這個十位數可以寫成25。這個25本質上是如何得來的呢？

生 應該是十位上的數字2乘10與個位上的數字的和，即2×10+5。

師 那么，應該如何表達形如213213、356356、875875這樣的數的一般形式呢？

生 我想，如果使用字母a表示形如213213、356356、875875的數的兩個循環節中的一個，即使用字母a表示213、356、875，那么213213=213×1000+213，356356=356×1000+356，875875=875×1000+875，于是這種由兩個循環節組成的六位數的一般表達式為1000a+a。……

師 他提供了很好的想法。下面只要說明表達式1000a+a能夠被13整除，問題就解決了。如何說明表達式1000a+a能夠被13整除呢？

生 這是容易辦到的。對于表達式1000a+a，逆用乘法對加法的分配律，可知1000a+a=（1000+1）a=1001a。因為1001÷13=77，所以1001a可以被13整除。

這是一道真正需要使用演繹推理論證的數學題。探究這道題的困難之處（也是關鍵之處）在于從213213、356356、875875這三個具體的數中得出一般形式的表達式，這就需要對這種形式的數進行抽象表達，從而完成從“幾個具體數據”的命題成立過渡到“一切這種形式的數據”的命題都成立的過程。很明顯，解答這道題不僅需要“推理意識”，而且需要“推理能力”。

四、結束語

1963年，《全日制小學算術教學大綱（草案）》指出：“小學算術的教學目的是，使學生牢固地掌握算術與珠算的基礎知識，培養學生正確、迅速地進行四則計算的能力，正確地解答應用題的能力，以及具有初步的邏輯推理的能力和空間觀念。”要培養學生正確、迅速地進行計算的能力，就必須站在算理的高度審視問題的內涵，由算理過渡到算法，最后進行具體的數據處理。這里的算理主要指的應該就是推理。推理與計算如影隨形、亦步亦趨，解決復雜一些的數學計算問題時，離開推理，計算便寸步難行。因此，小學高年級的計算內容通常都能作為推理的素材，這正是“數與代數”內容“二重性”的突出體現。

參考文獻：

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