一題一課 生長思維

戴承惠

[摘? 要] 選好初始問題，借助“一題一課”的形式逐次展開內容，整體設計優化學生的認知結構，注重變式拓展強化知識關聯，建構解決一類問題的方法體系;問題呈現上從封閉到開放，提升學生發現問題、解決問題的能力，幫助學生積累基本活動經驗，撬動深度學習，使核心素養的培養落地生根.

[關鍵詞] 一題一課;最值問題;轉化思想;深度學習

學情分析

最短路徑問題是中考的熱點試題，這類試題形式多樣，涉及面廣，是學生不容易突破的難點. 雖然平時練習、考試中經常出現，但鑒于教材呈現的知識時段不一致（軸對稱最值問題、翻折最值問題等），因此相關知識與方法的呈現是零散、孤立的，導致學生不能深入掌握知識的本質. 為此，本專題適合在中考第二輪復習時使用，內容聚焦且有層次，幫助學生完善知識網絡、掌握數學內容本質、感悟數學思想和方法，實現由“學會”到“會學”的轉變.

復習目標

筆者采用“一題一課”的復習模式，運用聯系的、整體的視角將與線段最值有關的典型習題融于一題之中，幫助學生構建知識體系，促使深度學習的真正發生. 具體目標如下：

（1）熟悉最短路徑問題的幾種模型，掌握問題解決的方法.

（2）體會轉化與化歸等數學思想和方法，培養學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.

（3）幫助學生歸納問題解決的模型，體驗成功的喜悅，增強學習數學的信心.

教學設計

1. 初始問題，蓄勢待發

引例：如圖1，在Rt△ABC中，AB=6，∠C=30°，∠A=90°，P是斜邊BC上的一個動點，求AP的最小值.

變式1：如圖2，由點P作PU⊥AB于U，作PV⊥AC于V，求UV的最小值.

功能分析：立足學情，挖掘和整合初始問題，是“一題一課”數學教學設計的起點，也是知識、方法和思維的生長點. 引例主要喚醒學生用“垂線段最短”求最值的方法，變式1的設置讓學生感悟幾何動態圖形的“變”中有“不變”，復雜問題簡單化，滲透轉化思想. 低起點的問題引入，能激發學生的學習興趣，也為深度學習的發生積蓄能量.

教學示范：引例問題難度不大，給學生適當的時間，學生容易回答：當AP⊥BC時，AP的值最小. 結合變式1，教師以問題引導學生：（1）當AP⊥BC時，如何求AP的值，你有什么方法？（2）四邊形AUPV是什么圖形？（3）根據四邊形AUPV是矩形，你會聯想到什么？（根據矩形的性質，比較容易想到轉化求AP的最小值）（4）你能概括這兩個模型的特征嗎？引導學生概括本質特征——“一動一定型”，動點在直線上，解決策略是垂線段最短.

2. 螺旋變式，高歌猛進

變式2：如圖3，已知AN=3，Q是AB上的動點，△AQN沿QN翻折，點A與A′對應，求BA′的最小值.

變式3：如圖4，點M是△ABC內一點，且滿足∠M=90°，求CM的最小值.

功能分析：“隱圓”問題對學生而言是比較難掌握的問題，往往學生看不到滿足動點軌跡的直接條件，解決這類問題需要學生自主探索并發現軌跡，能靈活地用軌跡實現問題的轉化. 兩個變式，讓學生從簡單的圖形中發現特征，如在變式2、變式3中抓住“AN=A′N”“∠M=90°”始終不變，提煉基本模型，根據“定點定長或定弦定角必有‘隱圓”，聯想到此動點的運動軌跡是圓，讓學生體驗“尋特征—顯隱圓—明路徑—解最值”的過程.

教學示范：解決這類問題的關鍵在于，引導學生從“變”的現象中抓住“不變”的本質，從“不變”的本質探索動點運動的規律，進而讓“隱圓”現身，幫助學生形成對這類問題研究方法的整體認識. 教師以問題引導學生：（1）上述“隱圓”模型是怎么形成的？你知道依據嗎？（2）兩個模型之間有沒有聯系？能否進行歸納總結？（3）你們能概括此類問題的特征嗎？通過這三個問題，總結“隱圓”的特征（如圖5），提煉問題的本質變式;此類問題也是“一動一定型”，動點在弧上，解決策略是把線段的最值轉化到“圓外一點到圓上點”的最值問題，進一步培養學生的轉化與化歸能力.

變式4：如圖6，S為AB的中點，R是BG上的動點，求SR+AR的最小值.

變式5：如圖7，BG是∠ABC的平分線，H，L是邊AB，BC上的動點，求△HLG的周長的最小值.

功能分析：變式4主要考查“馬飲水”模型，此問題是利用軸對稱求線段和最小值的經典習題，主要是通過軸對稱變換，化同側為異側，實現“化折為直”. 變式5從變式4的“兩定一動型”變成“兩動一定型”，考查了化歸思想，屬于雙軸對稱模型，讓學生深刻體會軸對稱的“橋梁”作用，為探究問題提供“腳手架”，從而實現深度學習的有的放矢.

教學示范：教學中先讓學生自主思考、分析條件，學生比較容易想到“馬飲水”問題，以直線BG為對稱軸，S與S′關于BG對稱，則SR+AR=AR+S′R. 顯然，當S′，R，A在同一直線上時，AR+RS′最短（如圖8）. 變式5是對變式4的拓展引申，引導學生把“兩定一動型”轉化成“兩動一定型”，鼓勵學生思考怎么把三條動線段轉化到一條線段上，這類問題最終往往會化歸到“兩點之間，線段最短”（如圖9）.

3. 深度探究，挖掘本質

變式6：如圖10，H，G，L是△ABC上的三個動點，若∠A=60°，∠B=75°，AC=6，求△HLG的周長的最小值.

功能分析：通過有層次性的問題變式，讓學生體會一個簡單圖形中問題的不斷生長，適時將問題一般化，從“兩動一定型”拓展到“三動點型”，尋找知識之間的關聯、整體化的建構聯系，抓住問題本質進行變式，引發學生深度思考，讓學生領悟解決線段和最小值問題模型的一般思維模式，真正發揮數學課堂的育人價值.

教學示范：教學過程中，留給學生充足的時間思考，同時引導學生思考如下幾個問題：（1）題目要求什么？（2）三條折線段求最值問題，你會聯想到什么？這兩個問題的目的是讓學生認識到“三動點型”，問題的本質還是轉化成“馬飲水”問題：DH=HL，LG=GE，則D，H，G，E四點共線時，ADE為頂角120°的等腰三角形，即當AL⊥BC時，△HLG的周長最短（如圖11）.

4. 自主編題，創新思維

遷移提升：如圖12，在Rt△OAB中，點A在直線y=2上運動，在運動中始終保持∠B=30°不變，請你提一個關于線段和最小值的問題.

學生經過小組合作交流，教師總結，最終展示三個拓展.

拓展1：如圖12，點A在直線y=2上運動，求OB的最小值.

拓展2：如圖13，若D為（0，3），求DB的最小值.

拓展3：如圖13，若D為（0，3），求DB+OB的最小值.

功能分析：開放性地設計問題，為學生創造條件和機會，讓他們自己構建知識結構，鼓勵學生主動參與、積極編題，經歷數學知識“再發現”的過程，增強學生發現和提出問題的能力;同時關注學情，把握動態生成，讓學生學得數學本質，又學得興趣盎然，使課堂更加自然、簡約、深刻.

教學示范：對于開放性問題，教學時鼓勵學生獨立思考，然后小組合作討論，派代表分享小組的編題想法. 教師在過程中要關注學生的問題探究，對于學生所提問題進行適當分類，抓住關鍵、凸顯本質的問題，從而做到收放自如，提高課堂效率. 拓展1中，求OB的最小值，本質上可以轉化成OA的最小值，讓學生感悟轉化思想的巧妙. 拓展2、拓展3中，要去挖掘點B的運動軌跡，引導學生大膽猜想，畫圖找特殊的三個點，大致判定軌跡是弧或直線，再用參數法確定點B的運動軌跡是直線，進而把問題轉化為垂線段最短與“馬飲水”問題.

5. 歸納小結，升華主旨

通過本節課學習，值得我們思考的幾個問題：（1）同學們，你明白了最短路徑問題有哪幾種基本模型嗎？（2）解決這類問題用到了什么知識，你都清楚了嗎？對此你還有什么想法？

功能分析：通過學生回顧總結，梳理解決“最短路徑問題”的本質性思路，將解題的經歷轉化為思維活動經驗，從而遷移應用的其他“相關”類型問題的解題模式，淡化解題技巧，注重知識本質，優化思維品質，發展核心素養，這應該是深度學習價值之所在.

教學示范：在教學過程中，教師要善于引導學生總結“最短路徑問題”的基本特征，提煉基本方法，感悟數學思想和方法，積極的評價促進學生的思維習慣在反思中不斷矯正與提升，實現低階思維走向高階思維，形成學生思維發展的深刻性.

設計說明

1. 立足深度的“學”，挖掘初始問題

“初始問題”的發掘和整合，要從學生的認知基礎出發，分析學生的知識薄弱點，重新組合教材的典型例題、習題作為“一題”的主要素材，由一個問題驅動生成一節課的全部知識，建構完整的知識和方法體系. 本課以引例出發，用一道題貫穿始終，走出“題海戰術”的陰影，追求簡約而不簡單的思維課堂.

2. 立足深度的“教”，注重問題設計

基于一個初始問題，認真研究并琢磨其本質，通過縱橫聯系，改變問題條件或結論，置換問題背景，以轉化數學思想為主線把孤立的問題串聯起來，形成一個有機整體. 通過對一類問題的變式訓練，增強學生面對新問題敢于聯想已有的知識經驗解決新問題的意識，以及解決一類問題的通性通法[1].

3. 立足深度的“思”，促進深度學習

以開放問題為載體，讓學生通過深入思考，將積累的基本活動經驗遷移到新的問題情境中獨立思考，發現問題、提出問題和解決問題，達成對數學本質、思想、方法的領悟，促進學生創造性和發散性思維的發展，促進深度學習.

參考文獻：

[1]張文海. “一題一課”：讓高三數學復習走向素養落實[J]. 數學通報，2020（07）.