高中數學抽象函數解題策略探究

黃小良

摘 要：抽象函數是高中數學的重點、難點。很多學生遇到相關習題，無法及時找到解題思路，在測試中的失分率較高。教學中為使學生掌握抽象函數解題技巧，應做好解題策略的總結，并在課堂上為學生展示解題策略的具體應用，使學生積累解題策略應用經驗，更好的突破這一難點。

關鍵詞：高中數學;抽象函數;解題策略;探究

高中數學抽象函數習題的類型靈活多變，解題思路多種多樣。其中模型策略、賦值策略、性質策略、構造函數策略、數形結合策略等，能夠解答大多數高中數學抽象函數類型的習題。授課中為使學生更好的掌握這些策略，應注重篩選經典例題，為學生逐一講解這些策略的應用，指引其以后更好的解題。

一、模型策略

解答部分抽象函數習題時可根據已知條件給出的等式聯想已學的函數模型，將抽象函數具體化，能夠迅速的得出正確結果。如遇到x，y∈R恒有f（x+y）=f（x）+f（y），可聯想f（x）=kx;遇到x，y∈R恒有f（x+y）=f（x）+f（y），可聯想f（x）=ax（a>0且a≠1）;遇到x>0，y>0恒有f（x·y）=f（x）+f（y），可聯想f（x）=logax（a>0且a≠1）。教學中為提高學生應用模型策略解題的意識，可在課堂上為學生展示如下習題，要求其運用常規思路以及模型策略進行求解，對比解題的效率：

已知函數f（x）對任意實數x，y均有滿足f（x+y）=f（x）+f（y），且當x>0時，f（x）>0，f（-1）=2，則函數f（x）在[-2，1]上的值域為（ ）

A.[-2，1] B.[-1，2] C.[-4，2] D.[2，4]

如采用常規思路需要根據已知條件，設出相關參數先證明該抽象函數為單調遞增函數，而后證明其為奇函數，最后根據f（-1）=2進行解答，步驟較為繁瑣。如采用模型法，將抽象函數看出具體的函數，問題便可迅速得到解決。認真觀察題干中給出的等式關系，其滿足模型“y=kx”，又∵，又因為f（-1）=2，則其過點（-1，2），容易得到k=2，而y=2x為增函數，則在[-2，1]上的值域為[-4，2]，選擇C項。

二、賦值策略

部分抽象函數習題給出的表達式中自變量具有一般性，因此可采用賦值策略求解出相關函數的值，更好地揭示相關規律，從而實現順利求解的目的。因賦值策略具有一定的技巧性，不能隨意的賦值。為使學生更好的掌握這一解題策略應注重結合學生實際，優選精講典型例題，拓展學生視野，并給學生預留一定的反思與總結時間，使其更好的把握賦值的技巧，尤其鼓勵學生相互交流，使其能夠當堂掌握這一策略。如下題：

設定義在（0，+∞）上的函數f（x）單調遞增，f（x）+>0恒成立，且f（x）滿足f（x）·f[f（x）+]=4，則f（2）=（ ）

A.1± B.1+ C.1- D.2-

該題難度較大，具有一定的技巧性。結合已知條件，可令x=2，∵f（x）·f[f（x）+]=4，則f（2）·f[f（2）+1]=4，令m=f（2），則m·f（m+1）=4，則f（m+1）=。令x=m+1，則f（m+1）·f（f（m+1）+）=4，則·f（+）=4，f（+）=m=f（2），又∵在（0，+∞）上的函數f（x）單調遞增，則+=2，解得m=1±，但m=1+不滿足題意，∴m=1-，選擇C項。

三、性質策略

抽象函數屬于函數的范疇，因此可運用函數的一些性質解答相關習題，包括單調性、奇偶性、周期性等。解題的關鍵在于能夠運用題干中給出的表達式，結合所學知識，推導出正確的結論，如奇、偶函數的表達式，周期函數的表達式等，尤其在求解參數范圍時，應注重運用函數性質進行靈活的轉化，從而順利的去掉函數的對應法則。為使學生能夠正確、熟練的運用函數性質求解抽象函數習題，應注重為學生在課堂上講解如下習題：

設函數f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，且滿足f（xy）=f（x）+f（y），若f（3）=1，且f（a）>f（a-1）+2，則a的取值范圍為（）

A.（1，） B.（1，+∞）

C.（，+∞） D.（-∞，1）∪（，+∞）

解答該題可運用抽象函數的性質進行推理、求解?！遞（xy）=f（x）+f（y），且f（3）=1，則2=2f（3）=f（3）+f（3）=f（9），又∵f（a）>f（a-1）+2，則f（a）>f（a-1）+f（9），又由f（xy）=f（x）+f（y）得到f（a）>f（9（a-1）），又∵函數f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，即，得出a>0，a-1>0，a>9（a-1），解得1

四、構造函數策略

部分抽象函數習題與導數知識結合起來，難度較大，對學生分析以及解題能力要求較高。解答該類習題需要根據題干進行函數的構造，借助構造的函數研究抽象函數的相關性質，從而分析相關問題。構造函數具有一定的技巧性，授課中既要注重為學生總結常用的構造函數的方法與思路，在其頭腦中留下深刻的印象。同時，結合學生所學以及具體例題為學生展示構造函數的具體過程，使其把握構造函數時的相關細節，在解題中靈活應用。如下題：

已知定義為R的奇函數y=f（x）的導函數為y=f'（x）。當x≠0時，f'（x）+>0，若a=f（），b=-3f（-3），c=lnf（ln），則a、b、c的大小關系為（）

A.a

認真觀察a、b、c三個參數的表達式，其形式較為統一，因此，可考慮通過構造函數進行解答。令F（x）=xf（x），∵y=f（x）為奇函數，則F（x）為偶函數。對其求導得到F'（x）=f（x）+xf'（x），而當x≠0時，f'（x）+>0，則xf'（x）+f（x）>0，因此，函數F（x）在（-∞，0）上單調遞增，在（0，+∞）上單調遞增，則a=F（）=F（ln）、b=F（-3）=F（3）、c=F（ln）=F（ln3），∵ln

五、數形結合策略

部分抽象函數習題借助數學結合，能夠直觀的展示函數之間的關系，尤其在解答抽象函數有關交點、零點以及對應方程根的問題時運用數學結合可獲得意想不到的解題效果。顯然圖形繪制的是否正確、合理關系著解題的正確與否，因此，解題時應充分挖掘隱含條件，更加全面的掌握抽象函數的相關性質。授課中為使學生掌握數形結合策略的應用思路，可為學生展示如下習題：

已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，滿足f（3）=0，且當x>0時，f（x）>-xf'（x）恒成立，則函數g（x）=xf（x）+lg|x+1|零點的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

根據已知條件需要掌握抽象函數h（x）=xf（x）的單調性、奇偶性，而后在平面直角坐標系中畫出h（x）=xf（x）和m（x）=-lg|x+1|的圖像，圖像交點個數即為零點個數。∵f（x）是定義在R上的奇函數，滿足f（3）=0，∴f（-x）=-f（x），f（0）=f（3）=f（-3）=0，又∵x>0時，f（x）>-xf'（x）恒成立，即，f（x）+xf'（x）>0，其剛好為h（x）=xf（x）的導數，即，當x>0時，h（x）=xf（x）為增函數，又∵h（-x）=-xf（-x）=xf（x），則h（x）為偶函數，即，當x<0時h（x）=xf（x）為減函數。畫出兩個函數圖像如圖1所示，

圖1

又因為兩個函數均過原點，因此，函數g（x）=xf（x）+lg|x+1|零點的個數為3個，選擇C項。

結束語

抽象函數在高中數學中占有重要地位，是高考的熱門考點。教學中為使學生掌握相關的解題思路，提高學生的解題能力與效率，既要注重函數基礎知識的講解，又要為學生灌輸相關的解題策略，展示相關習題的解題過程。另外還應要求學生在解題的過程中多進行總結與反思，掌握不同題型的特點，能夠靈活運用所學的解題策略，實現高效快速解題。

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