構筑數學建模意識 養育數學核心素養

摘 要：本文以經典的概率中“取球問題”為案例模板，通過“有放回與不放回取樣”“有序與無序取樣”“獨立與不獨立取樣”等過程性探究，讓學生感悟數學建模過程，學會在眾表象中找到合適的模型，熟練地應用到不同問題情境中，從而培養良好的思維品質，提高學生數學抽象、數學建模等核心素養，增強高考應試能力。

關鍵詞：過程探究;建模意識;核心素養

高中數學“概率”模塊的學習從多年教學實踐的效應來看已成為學生的一大困擾。其主要表現為對相關概念理解的模糊、混淆，無法建立正確的模型;在螺旋上升分塊學習了“古典概型、計數原理、獨立事件及分布列”基礎上，在一輪復習中有必要對相關概念進行異同點、易混點進行剖析梳理、化歸，系統性地構建出相關數學模型，讓學生在審題中能迅速地捕捉概念提供的信息本質，準確找到對應模型，做到胸有成竹，有的放矢。本文以一節高三“概率復習課”為例，通過概念透析并構建數學模型，談談促進學生提高“對易混概念”的學習成效，提升數學核心素養的一些體會。

一、課堂重點范例摘錄

案例1：盒子中有2個白球與3個黑球，現從中隨機取球。

問題1：任意取出2個球，求恰好取到1個黑球的概率。

師：取到的黑球要考慮順序關系嗎？引導學生討論：考慮順序與不考慮順序對結果是否有影響？

方法（1）：按順序取球（借助多媒體按規律逐行呈現，括號內分先后次序）

（黑1，黑2）（黑1，黑3）（黑1，白1）（黑1，白2）

（黑2，黑1）（黑2，黑3）（黑2，白1）（黑2，白2）

（黑3，黑1）（黑3，黑2）（黑3，白1）（黑3，白2）

（白1，黑1）（白1，黑2）（白1，黑3）（白1，白2）

（白2，黑1）（白2，黑2）（白2，黑3）（白2，白1）

設“恰好取到一個黑球”為事件A，由古典概率公式得：P（A）=追問：兩次抽取的元素有重復嗎？追問2：這里的“有序”抽取可定位為計數原理中的什么概念？

設計意圖：通過列舉呈現取球次序過程，承接出之前學過的“排列”概念（引導學生表述其特性：不放回取球相當于“元素不重復”，按一定順序相當于“有序”），即：

P（A）=，（這種計數方法與上面通過細數基本事件數相吻合）。

方法（2）：按無序取球（借助多媒體按規律逐行呈現，括號內不分先后次序）

追問：兩次抽取的元素有重復嗎？追問2：這里的“無序”抽取可定位為計數原理中的什么概念？

設計意圖：通過列舉呈現無序取球過程，讓學生觀察兩種抽取方式中基本事件數之間是對應成倍的變化關系，引導學生表述其特性：不放回取球相當于“元素不重復”，合成一組相當于“無序”，即：

引導學生對兩種解析方式進行觀察、比較，得到結論：問題1既可用有序（排列）求解，也可用無序（組合）求解，兩者方式并不沖突，結果一致。相比之下，用“組合”求解更為簡便，無須考慮順序。

歸納模型1：不放回抽樣中，當目標指向僅與“數量”有關，可優選“組合”來求解。問題1中的分布列即為教材中提到的“超幾何分布”。

問題2：不放回取兩個球，求“第一次取到黑球，第二次取到白球”的概率。

學生練習，教師多媒體展示學生的其中一種解法：

師：以上解法正確嗎？有的學生覺得正確，有的認為不對。

師：出錯的根源在哪？（啟發學生仍利用問題1中的兩個示意圖進行分析………，）

設計意圖：讓學生通過觀察、分析、討論，發現目標問題與順序有關，讓學生明確上面解法中總基本事件數若用組合數計算，分子中的基本事件數相當于翻了一番，即古典概型中分子分母的計數性質不對應導致出錯。

拓展：不放回取球，直到取得白球為止，求取球次數X的分布列。

歸納模型2：不放回抽樣中，當目標指向與“順序”有關，可優選“排列”來求解。拓展中的分布列可自命名為“有限直到型分布”來方便表達與記憶，顧名思義，“直到”顯然是“有序的”。

問題3：有放回地取2次球，則取得不同顏色球的概率為（）

設計意圖：把問題2的不放回改為有放回，讓學生嘗試判斷取球性質發生了哪些變化？

①兩次抽取的元素有重復嗎？②這時抽取是有序還是無序？

生：明白了，最好的解析方法還是列舉法（并動手畫示意圖）

（黑1，黑1）（黑1，黑2）（黑1，黑3）（黑1，白1）（黑1，白2）

（黑2，黑1）（黑2，黑2）（黑2，黑3）（黑2，白1）（黑2，白2）

（黑3，黑1）（黑3，黑2）（黑3，黑3）（黑3，白1）（黑3，白2）

（白1，黑1）（白1，黑2）（白1，黑3）（白1，白1）（白1，白2）

（白2，黑1）（白2，黑2）（白2，黑3）（白2，白1）（白2，白2）

通過觀察，小組討論并歸結：（1）兩次抽取的元素會重復，不符合“排列或組合”的定義，排除了選項A、B;（2）是有序抽取，而選項C在分子上屬于“單序”，選項D則滿足題意。

師：這里的“有序抽取與排列”的聯系與區別是什么？（這也是學生易混淆之處！）

教師再次點明：有序抽取可通用“分步計數”原理（元素可重復），排列只是分步計數的一種特殊形式（元素不可重復），學生頓悟。

追問1：問題3能用“獨立乘法公式”求解嗎？它與用古典概型解法有沖突嗎？

提示學生“有放回取球”相當于“獨立事件”，并讓學生嘗試用獨立乘法公式求解問題3。

一學生扮演：設“第一次取到黑球”為事件A，“第二次取到白球”為事件B，則取到不同顏色球的概率為：P（AB）+P（）=，讓學生觀其列式過程，它與選項D中的古典概型只是表達形式不同，本質都相同，兩者和諧統一。

追問2：問題1，2中的“不放回取球”是獨立事件嗎？（強化獨立事件的特性）

拓展：有放回取球，直到取得白球為止，且最多取4次，求取球次數的分布列。

師：它與問題2拓展中的“直到型取球”有區別呢？

引導學生思考，該題每次取球是獨立事件，可能一直都取不到白球，所以有“限次”條件，（此類分布列可自命名為“無限直到型分布”來方便表達與記憶）。并強調在取球最后一次，即求取球4次的概率時易忽視的是什么？（從而點明了獨立與不獨立的本質差異。）

歸納模型3：有放回取樣是有序抽取（但不同于排列），同時又是獨立事件。這時即可用“古典概型”又可用“獨立乘法公式”。若是“無限直到型分布”，可選用“獨立乘法公式”更為便捷。

問題4：有放回取球3次，求取到白球次數X的分布列與數學期望。

師：由問題3可知，有放回可考慮獨立事件解決。如恰好取到2次白球的概率如何列式？

追問1：3次中有2次取到白球，是哪2次，每次取到白球的概率有變嗎？若不變，說明了什么？

追問2：我們還學過了什么類型的概率分布？

設計意圖：讓學生聯想這個隨機變量是否會服從“二項分布”，并讓學生學會表述其特性，點明該概率分布的大前提是什么？（獨立），小前提是什么？（重復），哪個變量服從這種分布類型？數學符號如何表示？（這個分布類型十分重要，進一步強化應用模型意識。）

歸納模型4：有放回取樣，判斷是否屬于“獨立重復試驗”，若符合條件，則應用“二項分布及期望”公式，問題迎刃而解。

案例2：（2020高考模擬）一個備用車間放有大量同一模具生產出來的燈頭螺絲釘，現從中隨機抽取50個螺絲釘，測得它們的重量（單位：克），分組區間分別為[5，15]，[15，25]，[25，35]，[35，45]，并制得頻率分布直方圖（如圖1）：

（1）求出a的值，并根據樣本數據，估計這批產品重量的平均值。

（2）從這50個樣本中任取3個，求恰有2個重量在[5，15]內的概率。

（3）從這批產品中依次抽取3個，設重量在[5，15]內的產品個數為X，求X的分布列與期望。（以直方圖中的頻率作為相應的概率）

設計意圖：在歸納完案例1幾個模型后，讓學生通過高考模擬題針對模型的運用充分體驗其在實際應用中的價值，逐步糾正概率易混問題。

讓一位學生扮演解答過程……（這時學生思路已清晰，解題順暢，這里摘取解答片段）

二、教學反思

高中概率部分的內容給學生的印象是概念模糊、易混、一知半解，其歸根結底就是對相關概念沒有進行過程性本質探究，未能有效概括出異同點并正確建立模型，因此日常教學可以從以下途徑入手：

（一）善于創設問題背景，注重過程性探究

數學概念的形成就是讓學生從大量不同實際情景中剝離出它們共同的特性進行抽象概括，同時能對一些易混的概念進行辨別，使學生對概念的理解由感性認識上升到理性水平。下面用流程圖表示探究概念的形成及模型分化的過程：

在本節案例教學中，教師通過“取球情境的創建，變式問題的驅動，探究過程的展現”來調動學生的思維認知，讓學生在學習過程中進行觀察（取球表象）、辨析（取球性質）、抽象（上升理論）、概括（本質特征）、類化（模塊區分）、建模（敲定類型）等活動，積累實踐經驗，并科學地對一些模型進行適當“創意命名”，增強學習趣味性的同時，提高思維切入應用水平，有效促進了數學抽象及建模素養的提升[1]。

（二）強化建模意識，培養抽象能力

樹立數學建模意識可以強力培養學生學會學習的能力，它包含對遇到的現實問題進行數學抽象、用數學語言進行科學表達、用數學工具構建模型進行有效應用。數學建模源于生活情境，通過探究過程及步驟的呈現，構建出數學模型，經歷“表象觀察、問題提出、變化分析、問題歸結”的過程，進而發展相應的探究能力，達到“會用數學眼界看、會用數學邏輯思、會用數學語言陳”的“三會”能力。數學建模與其他核心素養相交匯，蘊含著數學理念、態度與價值觀，對培養學生的探索精神、創新意識等都有重大的意義[2]。

本節通過目標驅動及問題變式探究活動的設計，采用拋磚引玉的學習方式，引發學生對易混概念強烈的分辨欲，并注重學習活動的探究過程，給學生創造出“觀察發現、討論分享、個性展示、歸納提升、模型應用”的機會。通過建模活動，激發學生互聯思考、促進學生交流分享、構筑學生創新意識、培養學生探索能力，通過模型應用加強學生對數學學科價值的理解，進一步提高了學生學以致用的興致，也提升了可持續學習的素養能力。

結束語

日常教學中，教師要加強抽象思維習慣的引導，并在教學過程中潛移默化的培養，引導學生在紛繁復雜的問題中尋找合理恰當的數學模型，在知識小結中有意識地通過數學抽象，讓學生體會“孤立中看到整體，分散中盼到聯系，表象中找到模型”，日積月累，能促進學生良好的思維品質的形成，有效提升數學核心素養。

參考文獻

[1]蔡小雄著《更高更妙的高中數學思想與方法》（2017年第九版），浙江大學出版社，2017.8

[2]史寧中、王尚志《普通高中數學課程標準（2017年版）解讀》，北京：高等教育出版社，2018.5

作者簡介：林朝暉.男，1971年10月出生，福建省福州市閩清縣人，福建省閩清高級中學數學一級教師，市骨干教師。主要從事數學教學與研究，在CN刊物發表論文多篇。