數學模型用于“種群數量的變化”的教學設計

劉田田

摘要：數學模型是培養學生理性思維和科學探究的重要科學方法，將其貫穿整個教學過程，以細菌問題入手，逐步改變條件，建構“J”型曲線、“S”型曲線，提升學生的建模能力和理性思維，突破教學重難點，區分兩種模型成立條件，結合酵母菌數量變化的預實驗，培養學生探究能力，感悟科學研究的嚴謹性。

關鍵詞：數學模型;種群數量;理性思維;科學探究

1 教學背景分析

1.1課標分析

課程標準中關于本節的具體內容標準是：“嘗試建立數學模型解釋種群的數量變動”，并提出“探究培養液中酵母種群數量的動態變化”[1]。引導學生以數學關系描述生命現象，運用邏輯推理揭示生命活動規律是本節教學設計的重點。

1.2教材分析

“種群數量的變化”是人教版高中生物必修3《穩態與環境》第4章“種群和群落”的第2節內容，共三部分。第一部分，建構種群增長模型的方法;第二部分，種群數量的變化情況;包括種群增長的“J”型曲線、種群增長的“S”型曲線、種群數量的波動和下降;第三部分是“探究”——“培養液中酵母菌種群數量的變化”，共計2課時。為方便學生理解，第1課時的重點內容為數學模型的建構，引導學生建構“J”型曲線和“S”型曲線的數學模型，并將酵母菌實驗作為預實驗引入課堂;第2課時再詳細講解各曲線的生物學意義。

1.3學情分析

本課時主要以構建數學模型為主，需要學生有相應的數學基礎。本節為高中必修3第4章的內容，對象是高二學生，他們已經學習了指數函數，具有一定的數學歸納能力，在教師的引導下能夠構建簡單的數學模型。本章第1節，學生已有種群密度的概念，掌握了種群的特征，根據提示，他們可以將生命現象進行量化，以數量關系描述生命現象，再運用邏輯推理、求解和運算等達到對生命現象進行研究的目的。

2 教學目標

2.1 知識目標 說出建構種群增長模型的方法;明確數學模型構建的步驟。

2.2 能力目標 學會建構種群增長的數學模型;用數學模型解釋種群數量的變化趨勢;運用種群數量變化規律解決生活中遇到的實際問題。

2.3 情感態度與價值觀 通過學習，意識到環境因素（尤其是人類活動）對生物種群數量變化的影響;領悟建立模型的科學方法及其在科學研究中的作用。

3 課前準備

生物興趣小組進行預實驗——“探究培養液中酵母菌種群數量的變化”（詳細過程見4.3.2）。

4 教學過程

4.1 案例引入，激發興趣

教師用圖片和文字講述“水葫蘆”（即鳳眼蓮）和大熊貓的種群數量差異。指出：在夏季的長江流域水葫蘆泛濫成災，環衛工人每日打撈515噸也難以控制其數量;大熊貓瀕臨滅絕，為增加數量，需建立自然保護區，進行人工繁殖。兩者數量為何會有如此大的差異？從而引出本節內容。

設計意圖：以日常生活常見現象為切入點，引出學習內容，激發學生興趣，促使學生從簡單問題中提煉生物學問題。

4.2 數學模型概念，探究細菌數量的變化

教師向學生介紹數學模型的概念，以及在種群數量研究中的重要作用，以細菌為例，學習數學模型的研究方法。

假設：若某細菌每20min 繁殖一代，一分為二，20min，40min，60min……后，會產生多少個細菌？填寫教材第66頁表格內容。提出以下問題：①你能否快速準確地說出10000h后細菌的數量？②若N表示繁殖后的細菌數量，n表示分裂次數，請寫出1個細菌n次分裂后的數量計算公式。③除了公式，能不能換一種數學形式，可以直接看出細菌數量變化的趨勢？④假如細菌的起始數不是1而是N0，n次分裂后細菌數量計算公式又是什么呢？⑤細菌可以一直按照這個公式增長嗎？為什么？

組織學生進行3分鐘的討論，再請學生逐一回答上述問題。根據問題①和問題②，得出1個細菌n次分裂后的數量計算公式N=2n;由問題③總結數學模型的兩種表現形式——公式N=N02n和曲線圖，并由此比較兩種方式的優缺點;問題④將具體問題普遍化;問題⑤強調公式成立的條件——“環境和資源無限多”的理想條件。

教師出示資料：科學家在實驗室條件下培養細菌，定期分裝，并向其中加入營養物質，使細菌始終生活在營養和空間資源無限多的環境中。經過反復實驗，統計數據，繪制出曲線圖，和學生的曲線圖對比，進行驗證，由此提出“J”型曲線。結合細菌數量變化的探究歷程，總結數學模型的建構過程。

設計意圖：用問題啟發式進行教學，層層遞進，啟發學生推測出一個細菌的增長公式，N0個細菌增長公式，歸納公式成立的條件;引導學生體驗數學模型的建構過程，總結數學模型研究方法的一般步驟。

4.3 數學模型的運用

4.3.1 模型一 種群增長的“J”型曲線

教師提問：科學家在人工實驗的條件下，為細菌提供了一個理想條件，使它呈“J”型增長。那同學們猜一下，自然界中會存在這種資源空間無限多的的理想條件嗎？根據學生的回答，檢查預習效果。

教師結合教材，出示環頸稚和澳大利亞野兔在一定時間內數量增長的圖文資料，兩者均呈“J”型增長。由學生歸納野兔瘋狂增長原因：氣候適宜，食物充足，缺少天敵，生存空間大，教師指出這就是理想條件的具體含義。質疑：野兔和環頸稚“J”型增長的方程式也能用細菌N=N02n來表示嗎？組織學生進行分組合作、交流討論，學生根據細菌個案，建構模型一。

提示學生易錯點：①對類似環頸稚、野兔數量的檢驗修正可通過對實際數量進行統計后繪制;②“J”型增長的公式表達N=N0入t和曲線圖均要在理想條件下才能形成，可以通過實驗室條件設置，也可以把種群遷入新環境的最初一段時間看成理想條件。

設計意圖：引導學生從細菌個案分析一般種群，能運用類比的方法研究問題;學會從資料中歸納提取關鍵詞，總結規律;學會數學模型的應用，鼓勵學生小組討論，學會合作。

4.3.2 模型二 種群增長的“S”型曲線

教師提問：細菌的“J”型增長，要在理想條件下才會發生。但討論問題⑤時，有同學認為在資源有限時，不會以這樣的趨勢增長。那么在環境資源有限的情況下，細菌數量會如何增長呢？請大家猜想，并畫出細菌增長的曲線。

學生畫圖，并說出畫圖理由，允許學生出錯。這一過程實際已經完成數學模型建構的前三步，建構出曲線圖形式的模型。

為了驗證學生構建的數學模型曲線圖是否正確，生物興趣小組探究了有限環境中種群數量的變化，進行了預實驗。由于細菌不便于直接觀察和技術，他們以酵母菌為實驗材料，對“培養液中酵母菌種群數量的變化”進行探究。

實驗目的：探究酵母菌種群數量變化，建構培養液中酵母菌種群增長的數學模型。

提出問題：酵母液中酵母菌種群的數量是怎樣隨時間變化的。

作出假設：合理即可。

實驗材料：顯微鏡、血球計數板、蓋玻片、試管、膠頭吸管、馬鈴薯葡萄糖肉湯等。

操作過程：取9支試管，每只試管中放入10ml培養液，放入等量酵母菌培養。將9支試管分為A、B、C三組，在10：00、15：00、20：00估算出10mL培養液中酵母菌的初始數量（N0）。在此之后于同一時間連續觀察7天，分別記錄下7天的數值。根據血球計數板計數室的酵母菌數目，估算試管中酵母菌總數，計算平均數，繪制酵母菌數據記錄表，填寫數據。

注：學生已使用過顯微鏡，教師需對其操作進行指導，尤其注重轉換高倍鏡后的使用;學生第一次接觸血球計數板，教師應在學生初次使用時講解計數要求，辨別計數室，學會計算方法;培養過程中提醒學生適時搖晃試管;小格中酵母菌數量過多難以數清時，學會稀釋方法。

課上，小組成員對實驗過程進行描述，并展示實驗結果。

組織學生進行分組合作、交流討論，學生根據實驗數據，修正模型，對錯誤的模型進行糾正。

教師出示資料：科學家也進行過類似的實驗，如高斯的大草履蟲實驗。經過大量實驗，科學家發現，在有限的環境中，種群經過一定時間增長后，數量趨于穩定，這種曲線稱為“S”型曲線。

設計意圖：學生描述實驗過程，鍛煉歸納總結能力。鍛煉學生膽量，檢驗學習效果，提高糾錯意識，嘗試理性分析問題。體驗探究實驗的全過程，體會模型修正過程，感受實驗的嚴謹性。

4.4 學以致用，回顧問題

教師再次提出課前問題：鳳眼蓮的增長趨勢符合哪種模型？學生能夠輕松回答。教師解釋：鳳眼蓮在原產地南美洲天敵眾多，種群增長有限，但引入我國后，由于缺少天敵，氣候適宜，生長在理想條件下，便無節制的生長，最終泛濫成災。但是，關于大熊貓為什么是瀕危動物并沒有解決，這個問題涉及到“S”型曲線的生物學意義，下一課時再來重點講解。

設計意圖：前后結合，聯系實際。經過學習能夠回答課前的問題，并為第2課時講解曲線的生物學意義、如何利用曲線圖變化因素對種群進行保護或控制做鋪墊，利于下一節課的開展。

5 教學反思

本節教學設計，以生活常見現象為引，以精心設計的問題串為導，驅動學生進行數學模型的建構。數學模型是用來描述一個系統或它的性質的數學形式。將數學和生物聯系起來，促使學生從生物問題找規律，建構數學模型，又將數學模型置于新情境中解決問題。鍛煉了學生的邏輯推理，提升“理性思維”的生物核心素養。

同時，將教材中的“探究”引入課程的一部分，也強調了“科學探究”的精神。學生通過提出問題，作出假設，設計實驗，實驗操作，對數據分析處理，結合實驗結果分析模型的過程，體驗了科學方法的流程，更強化了小組合作學習的能力。但是，由于實驗條件有限，無法嚴格控制無菌環境，學生對顯微鏡的操作并不成熟，計數過程難免產生誤差。

通過本節課的學習，能夠促使學生根據兩種模型的形成條件，反思人類活動對種群數量的影響，強化“生命觀念”和“社會責任”。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.全日制義務教育生物課程標準（實驗稿）[S].北京：北京師范大學出版社，2011.

[2]譚娟，霍靜.數學模型在“種群數量的變化”一節中的應用.生物學通報[J]，2017，52（1）：42-44.

[3]鄒帥，閆景娟.“種群數量的變化”教學設計.生物學通報[J]，2011，46（2）：29-31.