在多樣化的數學模型中建構數的概念

林丹霞

【摘要】數是學生數學學習中最基本的概念，而建立數學模型是解決問題的重要方法之一。在數的概念教學中，可以借助豐富多樣的數學模型，讓學生經歷計數單位和位值制的建模過程，積累豐富的活動經驗，從而更加深入理解數的意義，加深對數的概念本質的認識。本文以人教版二年級下冊《千以內數的認識》教學為例，談談如何借助數學模型建構數的概念。

【關鍵詞】小學數學;數學模型;數的概念;千以內的數

數學模型是針對參照某種事物系統的特征或數量依存關系，采用數學語言，概括地或近似地表述出的一種數學結構。如學習《加法》時要建立加法模型，學習《分數的認識》要建立分數模型，等等。在數的概念教學中，要使學生經歷數概念形成和擴張的過程，感悟數知識的框架性結構的存在。“十進制”“位值制”是《千以內數的認識》的核心概念，《千以內數的認識》的教學重點是理解數字在各個數位上所表示的具體意義，教學難點是理解相同數字在不同數位上的意義。因此，要抓住十進制、位值制這兩大核心概念，建構時遵循從“計數單位模型”到“計數器模型”，再到“位值制模型”的順序，帶領學生深入理解數概念的本質，進一步理解數的意義。

一、借助直觀模型，在數數中識概念

【片段1：數生活中千以內的數】

師：我們已經認識了哪些計數單位？

生：一、十、百、千

師：它們之間有什么關系？

生：十個一是一個十，十個十是一個百，十個百是一個千。

師：你們回家提前數了生活中1000以內的數，并能讓別人一眼就看出你數的是多少。看，你們數的東西豐富多彩！有積木、豆子、花生…（展示圖片）

師：這些花生是誰數的？上來帶大家數一數。

生：我是一個一個數、十個十個數和一百個一百個數的。一個百兩個百三個百...共有654顆。

師：這些字卡、積木又是誰數的？上來帶大家數一數...

師：剛剛都是怎么數的？

生：一百個一百個、十個十個地數

師：這樣數有什么好處？

生：很方便，很快就數完了。

生：清楚地知道有多少個一、多少個十、多少個百，就知道這個數是多少。

師：計數單位能讓我們更簡便計數，清楚知道數的組成。

《教師用書》明確指出：數來源于數（sh?），學生認數離不開數數的過程。數數活動是學生形成數概念的基礎。在初識計數單位后讓學生回家靈活利用計數單位數數，自主探究優化數數方法并在課上分享。通過一十一十、一百一百地數實物，讓學生豐富對“數”的認識，在積累豐富活動經驗的同時感受計數單位帶來的便捷性，建立量與數的對應關系。更重要的是，在數數中感受計數單位是數組成的根，從而更深入地建構計數單位模型，感受十進制的價值。同時數生活中的物品，借助直觀的模型，利用現實素材抽象出數，感受數學來源于生活。

二、善用多種模型，在多元表征中解概念

【片段2：自選學具，多種方式表示332】

（利用前面數出的332顆豆子，組織全班自選學具表示332。教師提供的材料包括小正方體、計數器、可用于畫、寫的白紙。完成后全班交流匯報。）

生：我選擇小正方體，我擺3板小正方體表示3個百的，3條小正方體表示3個十，還有2個表示2個一。

生：我是這樣畫出來

生：我用算式

100+100+100+10+10+10+1+1=332。

生：我用計數器，在百位上擺3個珠子表示3個百，在十位上擺3個珠子表示3個十，在個位上擺2個珠子，表示2個一，合起來是332。

師：為什么偏偏百位要撥3個珠子，不能在千位撥？

生：它不表示3個千，而是3個百。

師：剛剛你們采用不同的方式，可為什么都能表示出332？

生：因為它們都表示3個百、3個十和2個一。

師：你最喜歡哪一種方式？

生：我喜歡計數器，能簡潔地表示出每個數位上的數。

生：我也覺得計數器方便，能清楚告訴我們有幾個百幾個十和幾個一。

師：其實計數器能表示很多很多的數，因為有了數位，相同數量的珠子在不同的數位上就能表示許許多多不同的含義。

學生形成自然數的概念，不是單純讀讀寫寫就能實現的，必須通過實際操作，以直觀的“形”為載體，在動手操作和多種模型中感悟對比。教學中為學生提供、直觀、操作性強的學具（小正方體、計數器），同時提供白紙，為學生提供更大的思維空間。正方體、計數器和算式等多種表征模型的創造與呈現，再根據教師的引導，學生在頭腦中自然而然地抽象出“數”與“數位”，進而理解相同數字在不同數位上所表示的不同意義，突破教學難點，建構十進位值制的概念模型。

三、以問促探，在辨析中悟概念

【片段3：問題驅動 梯度練習】

師：在計數器上表示出202和650，再在紙上寫一寫和讀一讀，然后小組內說說它們的組成。

師：650的0沒讀出來，不寫可以嗎？

生：沒讀就變成65了，5是5個十，不是5個一

師：為什么202中間的零要讀出來？

生：不讀的話就不知道個位的2表示的是20還是2。

生：讀出來才知道個位2表示的是2個一。

師：這里兩個2表示的意義相同嗎？

生：不同，百位上的2表示的是2個百，個位上的2表示的是2個一。

師：中間這一節車廂上的號碼是800，由8個百組成，你能有規律地給其它車廂編號嗎？

生：600、700、800、900、1000

生：8、80、800、8000、80000…

師：數字8在不同的數位上可以創造出不同的車廂編號！這些數也都能在一條數線上找到。

以擺、說、寫多種形式幫助學生溝通數的組成和讀數寫數之間的聯系，全面建構數的概念。良好的問題能有效促進主動思考。這里通過巧妙設問，學生在“202中的兩個2意義是否相同”和“202中的0能否不讀”兩次對比辨析中，深入理解數的意義，進一步建構位值制模型。同時，利用計數單位深入溝通讀數、寫數與數的組成的關系，能幫助學生利用數之間的結構支撐進行有效遷移。設置車廂編號的開放題，進一步鞏固相同數字在不同數位上有不同意義，也培養學生發散思維，結合數軸進行數系的擴充，完善學生關于數的整體認知體系。

本節課借助多種模型，引導學生在數數、多元表征和對比辨析中經歷從“計數單位模型”到“位值制模型”的建構過程，有效實現教學目標。在數的概念教學中，教師不僅要讓學生認識各種數，還要讓學生把握數概念認識的基本結構，在頭腦中進行數學建模，進而更深刻地認識數。

【參考文獻】

[1]吳亞萍.新基礎教育數學教學改革指導綱要[M].桂林：廣西師范大學出版社，2009.

[2]江雪萍.激活·溝通·開放——以《千以內數的認識》教學為例[J].都市家教（下半月），2017（9）：283.