巧用三角板，培養好建模

王春燕

【摘要】三角板是學生學習數學的常用工具，本文從三角板的拼組、平移、旋轉和構造等方面引導學生進行探究性學習，在掌握數學知識內容的同時，讓學生體驗、理解和應用建模思想，在“重新發現”和“重新組合”知識的過程中培養學生的創新精神和實踐能力，培養學生良好的建模思想。

【關鍵詞】三角板;建模; 創新;實踐

三角板是學生學習數學的常用工具，一副三角板，由于它的邊和角的特殊性，蘊含豐富的數學知識。由于貼近生活，聯系實際，研究生活中的數學、體現數學與生活的緊密聯系是數學新課程改革的重要內容之一，因此，以三角板為背景的中考試題倍受命題者的青睞，大量出現在各地的中考試題中，以三角板的平移、旋轉、構造為主要內容的題型也層出不窮。三角板通過疊、拼、平移、旋轉等手段，能構畫出一道道立意新穎、構思巧妙的數學題。

建模是解決實際問題的一種強有力的數學手段，建模過程包括模型準備、模型假設、模型建立、模型求解、模型分析、模型檢驗及模型應用，整個過程對學生的數學綜合能力是一個深挖掘、廣開發的過程。我們從三角板的拼組、平移、旋轉和構造等方面引導學生進行探究性學習，在掌握數學知識內容的同時，讓學生體驗、理解和應用建模思想，在“重新發現”和“重新組合”知識的過程中培養學生的創新精神和實踐能力，培養學生良好的建模思想。

一、三角板的疊放

三角板是兩個特殊的直角三角形，教學時抓住邊的特征及角度的特征，充分利用直角三角形的一些性質，如直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半;直角三角形30°所對的直角邊等于斜邊的一半，直角三角形的面積法;三角板中的特殊角度：30°、45°、60°、90°等。

平時教學過程中，可以讓學生像“搭積木”一樣，用拼三角板的方法畫出的各種特殊角或者判斷能否拼出哪些特殊角。

例：用拼三角板的方法能畫出哪些特殊的角。

師：同學們能用三角板畫出哪些特殊角？

生：30°、45°、60°、90°……

師：除了這些角度，用一副三角板還能畫出哪些特殊的角？請小組進行合作探究。

生：75°、105°、120°、135°……

師：很好！那么用拼三角板的方法能畫出的最小度數是多少度？

生：15°

師：用拼三角板的方法畫出的特殊角有沒有規律呢？

生：老師，我們小組探究發現：用拼三角板的方法能畫出的最小度數是150，而我們會畫角的和倍，就可以畫15的倍數的角。

師：說得真好！請你們四人小組上臺用三角板畫出15倍數的特殊角（小于平角的角）。

四人小組上臺展示，孩子們報以熱烈的掌聲。

接著給出學生活動：判斷下列角度是否能用拼三角板的方法畫出？

75°、80°、95°、155°、175°

同學們很高興地運用剛才探索得到的結論進行了正確的判斷。

學生在運用三角板疊放中進行探究性學習，提高了學習數學的興趣，體驗了三角板的數學模型思想。如果學生能夠建立三角板模型，像“搭積木”一樣，在疊放中尋找三角板的模型，這樣不僅能夠幫助學生深化對數學知識的理解，還能讓學生感悟其中的建模思想而且能夠增強他們的探究欲望，提高學習效率，培養和發展他們的創新實踐思維能力。

二、三角板的平移

三角板的平移是一種全等變換，學生熟練運用三角板平移的性質：平移前后圖形的形狀和大小不變（兩個圖形是全等形）;對應線段平行且相等、對應角相等，仔細辨別出哪些是變量，哪些是不變量，以不變應萬變，同時抓住圖形的位置關系，培養建模思想。

“有效的數學學習過程不能單純地依賴模仿和記憶;有效的數學學習過程應引導學生主動地從事觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動，從而使學生形成自己對數學知識的理解和有效的學習策略”。教師可通過典型例題引導學生發現三角板模型，感悟三角板的操作變化，引導學生分析三角板的運動過程，明確不同時段重疊圖形形狀的變化情況，將幾何中的平移知識，代數中的函數知識有機地進行結合，引導學生抓住問題中的內在聯系進行探究。在教學過程中，通過學生觀察平移前后的圖形變化，向學生滲透建模思想，培養學生觀察能力和歸納推理能力.。

三、三角板的旋轉

三角板的旋轉是一種全等變化，學生熟練運用三角板旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等;對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角;旋轉前、后的圖形全等。熟練運用三角板邊的特征及角度的特征，建立模型思想。引導學生仔細辨別哪些是變量，哪些是不變量，抓住全等三角形的對應線段相等得以解決，培養學生的觀察能力、建模思想、幾何知識綜合運用能力。

例? 2014年廣東省中考數學試卷第16題

如圖，△ABC繞點A順時針旋轉45°得到△AB'C'，若∠BAC=90°，AB=AC=，則圖中陰影部分的面積等于? ? ? ? ? ? ?.

解：

∵△ABC繞點A順時針旋轉45°得到△AB'C'，∠BAC=90°，AB=AC=，

∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC'=∠C'=45°，

∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，

∴AD=BC=1，AF=FC'

=sin45°AC'=AC'=1，

∴圖中陰影部分的面積等于：S△AFC'-S△DEC'=×1×1﹣×（﹣1）2=﹣1.

通過此題引導學生找出三角板的模型，讓學生掌握旋轉的性質以及三角板特殊的邊角關系等知識，通過三角板特殊的邊角關系，得出AD，AF，DC′的長，培養學生建模思想。

四、三角板的構造

學生眼中有圖，心中有三角板模型后，有些圖形可以通過作垂線段，構造直角三角形，從而構造出三角板的模型。再利用勾股定理和直角三角形含30°角的性質;在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解決幾何問題或者三角函數問題。

通過作垂線段構造兩個直角三角形，相當于一副三角板，進而借助三角板特殊的邊角關系解決問題。

在數學教學過程中，通過讓學生對問題全過程的參與與自我嘗試，以探究式的方式進行數學學習，建立模型思想，不僅掌握了豐富的數學知識，還提高了學生學習數學的積極性，激勵學生樂于研究探索問題的起源和發展過程，抽象并建立良好的數學模型，使學生的創造力得到了發展，增強了學好數學的信心，從而有利于培養獨立思考的品質和探索精神，提高分析問題和解決問題的能力。

【參考文獻】

[1]北京師范大學出版社數學室編著.義務教育數學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

[2] 李樹臣.數學建模才是學生最重要的素養[J].山東教育，2017（9）.

[3] 郭韶.初中數學思想與方法滲透數學的五條路徑[J].學科空間，2017（01）

（責任編輯：鄧羽婷）