一道中考數學壓軸題的分析與思考

林偉煌

摘要：中考數學命題總則是立足本質，著眼素養，合理綜合，關注應用，適度創新;注重“四基”，突出能力，關注理性思維，明晰教學導向。函數關注數形關系，著重考查函數的圖象與本質，關注變量間的依存關系，關注利用代數方法研究幾何問題，強調數形結合思想。近幾年省考的綜合題都以二次函數為載體，融入幾何圖形，突出考查用代數方法解決幾何問題的思想。突破壓軸題不靠一日“拔苗助長”，而要靠日積月累的訓練和培養。平時的教學應注重滲透培養知識所蘊涵的數學思想，引導學生建構知識網絡體系，強化在數學實踐活動中綜合運用數學知識的能力。

關鍵詞：轉化;函數方程思想;符號語言

筆者有幸參與了2020年福建省安溪縣中考的閱卷工作，所閱卷的題目是第25題。這是一道壓軸題，得分率較低。筆者感觸頗深，下面就試題的閱卷情況分析及教學啟示等方面與同行交流。

一、試題呈現

二、思路分析

（1）先根據條件確定點A，B，C的坐標，再利用待定系數法求得二次函數的解析式。

（2）思路一：利用反證法證明。

三、試題評價

本題以函數及其圖象為切入點，以函數建模為突破口，以代數式的轉化變形構建難點;考查一次函數和二次函數的圖象和性質、待定系數法、相似三角形的判定和性質、三角形的面積等知識;考查運算求解能力、推理論證能力等;考查數形結合思想、函數與方程思想、化歸與轉化思想等;融代數與幾何于一體，覆蓋面廣，解法多樣，將運算求解能力與推理論證能力的考查有機結合，綜合考查學生的核心素養。

四、答題分析

（一）得分情況（如表1所示）

（二）錯因分析

第（1）小題存在以下幾種錯誤：

（1）點C的坐標只給出一個情況;

（2）點C的坐標兩種情況都給出，但不懂得取舍出現兩個函數關系式;

（3）計算錯誤或對點C的兩種情況取舍誤判;

（4）條件“當x1>x2≥5時，總有y1>y2”把握不準，不懂應用;究其原因是對用符號語言表述函數性質不理解，對函數圖象性質理解不深入。

第（2）小題，許多學生直接由“k相等”，推出“兩直線平行”;稍好一點的由“k相等b不相等”，得到“兩直線平行”。錯誤原因是平時對這一性質熟練應用，但只記住圖形的規律，不知道規律如何得來。

第（3）小題的錯誤現象有：許多學生不會根據條件畫出圖形;一部分學生假設線段CE，導致運算量較大，半途而終;有學生不會求面積，或無法表示出最值;均值不等式掌握不全面，導致錯用。究其原因如下：學生的作圖意識較弱;解題經驗不足或對學過的基礎知識，基本方法不能靈活運用;用代數方法解幾何問題的意識與技能不足。

五、教學啟示

（一）重視數學語言的閱讀理解

書本上的定義、性質大多結合圖形以文字命題的形式呈現，教學時應重視訓練“文字語言”“符號語言”“圖形語言”三種語言的相互轉化。如對于二次函數的性質很多同學都能倒背如流，但考查的不是文字內容，而是符號內容。條件“當x1>x2≥5時，總有y1>y2”的應用屬中檔難度，它是用符號語言表述函數性質，把它轉化為文字語言即“當x>5時，y隨x的增大而增大”，結合拋物線的對稱軸就可對第（1）小題的點C進行取舍如下：當拋物線過點C（9，0）時，則當53時，y隨x的增大而增大，符合題意。平時教學中，教師應引導學生如何對“陌生”的條件進行加工提煉，轉化成我們所熟悉的知識，引導學生抓住問題的本質，注意歸納。兩個例子說明提高學生的數學閱讀能力成為數學學習過程中必備的能力，閱讀能力是學好數學的基礎，三種數學語言的靈活轉化是形成數學能力必備的能力。

（二）重視知識的生成過程

平時教學時老師比較關注的是性質的應用、解題的技巧，但對性質的生成往往容易忽視，學生知其然不知其所以然。如2017年考到三角函數性質sin2α+sin2（90°-α）=1的證明，2018年考相似三角形的對應邊上的中線之比等于相似比的證明，等等。又如有一次筆者命制的試題：“證明：圓的內接四邊形對角互補”，學生幾乎不會。對于以上這些性質、規律學生可能了如指掌、應用自如，但考到性質證明時，學生的得分情況不容樂觀。這給我們敲響了警鐘，新授知識不能重結論輕過程，應設置一些問題串，引導學生了解知識的來龍去脈，經歷知識的發生發展過程，從而形成對概念、原理等的深刻理解，對過程中蘊涵的數學思想的體會與感悟，有助于發展學生的問題意識、探索精神。問題的設置應在學生思維的最近發展區，要能激發學生興趣，調動學生的積極性，注重啟發性，培養學生的發散思維和創新思維能力。

（三）重視函數的主干地位

函數知識是初中數學的核心知識，這幾年都以壓軸題的形式出現，常結合圖形的變換、圖形的運動、幾何圖形的性質，綜合數形結合思想、函數方程思想進行命題。函數部分的內容主要可以歸納為以下三類：函數關系式的表示、函數的性質、函數的應用及函數思想的形成，其中第三類往往會出現在壓軸題中。教學時，教師應該多引導學生運用運動的觀點分析圖形，解決問題，注重函數思想、方程思想的應用，研究幾何圖形在運動變化中的不變量與變量的問題教學。

（四）重視審題的規范嚴謹

綜合題要分析它的邏輯結構，搞清楚各個小題是“并列”的還是“遞進”的，這一點非常重要。并列關系分別以大題的已知為條件進行解題，如（1）的結論與（2）的解題無關，這類題目經常出現“（1）當……時……”這樣的表述;遞進關系是（1）的結論是解（2）所必要的條件之一，此類題目常為（1）小題沒有附加條件;或（1）小題有附加條件，（2）小題說明在（1）的條件下。在有些較難的綜合題里這兩種關系經常是兼而有之。

在解綜合題時，當思維受阻時，要及時調整思路和方法，并重新審視題意，注意挖掘隱蔽的條件和內在的聯系，既要防止鉆牛角尖，又要防止輕易放棄。

參考文獻：

[1]魯浩.讓數形結合也成為一種數學學習習慣[J].教育科學論壇，2008（02）.

（責任編輯：奚春皓）