在指數式大小比較的過程中發展學生的數學核心素養

熊昌森　鄧慧明

摘要：《普通高中數學課程標準》（2017年版）指出，數學教育承載著落實立德樹人的根本任務和發展素質教育的功能，在形成人的理性思維、科學精神，以及促進個人智力發展的過程中發揮著不可替代的作用。本文以指數函數中經常涉及的指數大小比較問題（其中，a、b、c、d∈R，且a>0，b>0，a、b≠1）為例，探討了數學核心素養的滲透的途徑。

關鍵詞：高中數學核心素養? ?指數式大小比較? ?數學思想方法

指數式大小比較問題是歷年高考的?？純热?，其靈活性強，是考查指數函數性質的重要題型。同時，在比大小的過程中蘊含的數形結合、分類討論等數學思想方法，也是高中生必須具備的數學思想方法。

一、同底數a^c與a^d或者同指數a^c與b^c的大小比較問題

方法一（函數單調性）：考慮指數函數y=a^x或者冪函數y=x^c，根據函數的單調性容易得到兩者的大小關系。

方法三（圖像法）：在直角坐標系中畫出指數函數y=a^x或者冪函數y=x^c的圖像，得到兩數a^c與a^d或者a^c與b^c的圖形表示，由圖可以直接看出兩數的大小關系，形象直觀、一目了然。同指數a^c與b^c的大小比較，也可以在同一直角坐標系中考慮指數函數y=a^x與y=b^x的圖像，得到數a^c與b^c的表示，進一步看出a^c與b^c的大小關系。

對同底數或者同指數的兩指數式大小比較，學生容易掌握和理解，結果也很容易得到，但是其中蘊含的比大小的方法很多，運用的知識也不盡相同。方法一通過構造指數函數（或冪函數）進行求解，重點培養學生的數學抽象思維;方法二通過作商與1比大小，側重學生的數學運算能力;方法三強調數學的直觀性，將抽象的數或代數式表現在圖中，形象直觀的看出結果，能夠很好地培養學生直觀想象的核心素養。

二、指數式a^b與b^a的大小比較

分析：①當1 > a > b > 0時，借助中間值a^a或b^b可比大小，有a^b> a^a> b^a或a^b> b^b> b^a;②當a > 1 > b > 0時，借助中間值1可比大小，有a^b>1>b^a;③當a > b > 1時，中間值失去作用，此時該如何比大小呢？

這種情況比較起來就不像前面那樣容易了，學生首先想到的是尋找中間值的方法，在經過嘗試后，發現當a、b滿足1 > a > b > 0和a > 1 > b > 0時，利用中間值容易得到結果，而當a、b均大于1時，中間值失去作用.所以需要具體分析數a、b的取值范圍。那么要想解決這個問題，我們可以先考慮簡單的、容易比大小的情況，再來通過分類討論、逐層遞進的方式逐步解決問題。在整個解決問題的過程中，學生能夠很好地鍛煉思維，提升思維品質，培育科學精神，發展數學核心素養。

三、a^a與b^b的大小比較

分析：可考慮函數y = x^x（x > 0）的單調性，因為導函數為yˊ=x^x（lnx+1），所以當e^-1> x > 0時，yˊ < 0，函數y = x^x遞減;當x> e_^-1時，yˊ> 0，函數y = x^x遞增。所以當e^-1 > a > b > 0，有a^a < b^b;當a > b > e^-1時，有a^a> b^b;當a > e^-1> b時，a^a與b^b的大小不確定。

綜上所述，在最近發展區理論的指導下，筆者從學生的實際水平出發，恰當設置問題，逐層深入，有效激發了學生數學學習的興趣，體會到知識間的廣泛聯系，體驗數學思想方法的應用。另外，在各種情況的分析比較過程中，能夠有效培養數學核心素養，發展學生的邏輯思維，促進學生智力的發展。

（作者單位：陜西省漢中中學）