“三角形的分類”教學實踐與思考

陳雅 吳建亞

【摘 要】數(shù)學課堂要循著新教材的修改意圖，理解教材的編排與要求，以更好地培養(yǎng)學生的數(shù)學思維。教師要時刻把培養(yǎng)學生整體思維、求異思維、創(chuàng)新思維等重要思維品質作為每一節(jié)課的教學目標，讓學生在逐步發(fā)展數(shù)學思維的過程中，養(yǎng)成具有生長性的必備品格與關鍵能力，最終提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

【關鍵詞】整體思維 求異思維 創(chuàng)新思維

“三角形的分類”是蘇教版數(shù)學四年級下冊的內容，旨在讓學生通過觀察、比較、歸類等活動，經歷給三角形分類的過程，認識并辨別銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，了解各種三角形的特點。這節(jié)課可以說是一節(jié)“老”課，但修訂教材對這一塊內容有所調整，而很多一線教師卻沒有關注到教材的變化，還按著“老方子”教學，令人遺憾。如何循著新教材的修改意圖，理解教材的編排與要求，將老課新上，從而更好地培養(yǎng)學生的數(shù)學思維呢？基于此，我們對這一課展開了研究、實踐與思考。

數(shù)學課堂可以發(fā)展學生哪些思維，我們進行了如下思考。

一、對點狀思維和整體思維的思考

【教學片段】

（1）復習角的分類

師：同學們來到農場做志愿者服務。為了慶祝農場成立，舉辦了一場燈光晚會。看，舞臺上的燈光漂亮嗎？

生：漂亮！

師：燈光里還有數(shù)學知識呢。瞧，如果把射燈看作一個端點，射出的光線看作一條射線，把這條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置，就形成了一個（角）。這是一個什么角？（銳角）

師：那請同學們想象一下，如果繼續(xù)旋轉這條射線，還會形成什么角呢？我們一起來轉一轉、說一說。

師：什么角？（銳角）繼續(xù)轉。（直角）繼續(xù)轉。（鈍角）繼續(xù)轉，現(xiàn)在（平角），旋轉一圈（周角）。

師：根據(jù)角的度數(shù)，我們可以把角分成這樣幾類，見圖1。

（2）引入三角形的分類

師：農場里還藏著許多三角形呢，我們一起來找一找、看一看。

（課件播放）

師：三角形和角一樣還有很多，可以畫多少個不同的三角形（無數(shù)個），那我們用省略號來表示無數(shù)個。

師：看了這么多三角形，你有什么想法？我們怎么來區(qū)分它們？要不，給每一個三角形都取個名字？（不可取）無數(shù)個三角形，取不完呀！那應該怎么辦？

生：可以根據(jù)角給三角形分類。

師：這位同學覺得可以根據(jù)角的特征來給三角形分類。好，就聽她的，那今天我們就從角的特征入手，對三角形進行分類。

師：為了便于研究，我們從這么多的三角形中選出5個，老師給它們標上序號、排排整齊。

【思考】

以農場射燈的情境表征角的動態(tài)定義，從而引入角的分類，接著引出三角形，再自然而然地引向三角形的分類需求，這樣設計注重新舊知識之間的聯(lián)系。將三角形放在平面圖形中考察，而不單獨割裂開來學習，體現(xiàn)數(shù)學思維的整體性。從農場實物中抽象出三角形，學生感受到三角形和角一樣有無數(shù)多個，最終選5個三角形展開研究。這一過程培養(yǎng)了學生思維的整體性，因為個體的背后是一個整體，這5個是三角形世界中的代表。

拋出“大問題”，讓學生小組合作討論解決，我們發(fā)現(xiàn)，這樣的課堂更精彩。學生對這些三角形按角的特征進行分類，首先依據(jù)的標準是三角形里有沒有直角，在此基礎上，部分學生再將經驗遷移，思考三角形里有沒有鈍角、是否全是銳角，這些學生采取的是二分法。還有部分學生直接根據(jù)角的特征，采用了三分法。最終，班級學生一共得到四種分法，在下一環(huán)節(jié)，我們設計了將四類分法整理為同一類的教學環(huán)節(jié)，這一過程也體現(xiàn)了思維的整體性，因為整體思維是追求各種關系的一種整合。我們發(fā)現(xiàn)，改進后的教學設計，學生在推動著課堂生成的同時，自身也在逐步形成有意義的學習建構。“三角形的分類”一課，很多教師往往過分關注學生會不會對三角形按角的特征來分成三類，而忽視了更重要的向學生滲透數(shù)學中的分類思想，即“根據(jù)教學對象的共同性與差異性，把具有相同屬性的歸入一類，把具有不同屬性的歸入另一類”。減少教師的“鋪路”，給學生一定的空間與時間對問題進行全局性思考，充分發(fā)揮學生的主觀能動性，能更好地培養(yǎng)學生思維的整體性。

筆者認為，教師在教學“三角形的分類”一課時，應該培養(yǎng)學生的整體思維而不是點狀思維，這也是為何修訂教材時把表格刪去的原因吧。

二、對求同思維和求異思維的思考

【教學片段】

師：三角形還有很多很多，數(shù)也數(shù)不盡。那根據(jù)角的特征，是不是只能分成這樣的三類（銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形）呢？

生1：角還有平角和周角，三角形應該還有其他類別。

生2：我覺得所有的三角形只能分成這樣的三類。

師：到底哪位同學的猜想是對的呢？

（1）釘子板操作驗證。

（2）三角形內角和的推理驗證。

（3）幾何畫板多樣驗證。

師：剛才同學們圍出了很多三角形，也都只有這三類。是不是根據(jù)角的特征，三角形真的只能分成三類嗎？其實啊，數(shù)學家也思考過這個問題，他們利用幾何畫板來研究，我們來看看。

師：通過剛才的演示，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：根據(jù)角的特征，三角形只能分成這三類。

師：你真會概括。現(xiàn)在，我們可以十分肯定地說——

師生齊：根據(jù)角的特征，三角形只能分成這三類。

【思考】

我們發(fā)現(xiàn)，這樣的教學不僅藏著許多探究活動，而且還向學生滲透了不完全歸納推理等數(shù)學思想，給學生提供了思考的土壤，與原有設計中教師的直接告知形成了鮮明的對比。學生通過動手在釘子板上圍一圍——圍不出第四種三角形、用三角形內角和的知識來推理——發(fā)現(xiàn)一個三角形最多只有一個直角或鈍角、在幾何畫板上移一移——沒有第四種三角形出現(xiàn)。最終，學生們十分肯定地說出：根據(jù)角的特征，三角形只能分成這三類。而這一切，源于教師對學生“求異思維”的保護，讓學生猜一猜，充分尊重了學生的體會與感悟。

“求異探索是一種富有創(chuàng)造性的辨異思維”，當課堂上只有一種聲音，大家都在“求同”時，敢于說出自己不同意見“可能還有其他類三角形”的學生，雖然不一定正確，但其勇氣就值得教師肯定。原有的設計，只“求同”——讓學生知道所有的三角形按角分類只有三種，從而快速完成本課的重難點;而改進設計后慢下來的教學則更關注“學生的個性心理差異，使他們能更深入細致且靈活變通地掌握知識”。蘇教版修訂教材時將“三角形的內角和”前置于“三角形的分類”，這樣的編排凸顯了知識發(fā)生、發(fā)展的邏輯順序，為學生“求異”思維的培養(yǎng)提供了條件。

三、對常規(guī)性思維和創(chuàng)造性思維的思考

【教學片段】

練習：

（1）給出三角形兩個銳角的度數(shù)，判斷是什么三角形。

①30°，60°? ? ? ? （? ?）三角形

②7□°，5□°? ? ? （? ?）三角形

（2）露出三角形一個角，判斷是什么三角形。你最想猜哪一個信封。

【思考】

第（1）題的題①，學生通過三角形內角和的知識進行計算后進行判斷，符合學生的思維發(fā)展規(guī)律。教師小結時提到“這兩個銳角之和是90°，它就是一個直角三角形”，為接下來的教學做鋪墊。

當題②出示時，學生不約而同地發(fā)出“啊”的驚嘆聲，他們發(fā)現(xiàn)角度越來越小了，甚至影響他們通過計算來判斷。面對這樣的習題，學生們陷入了深深的思考中，有一部分學生用舉例子帶入數(shù)據(jù)來計算得出結論，但明顯發(fā)現(xiàn)有些煩瑣且容易出錯;還有一部分學生則發(fā)現(xiàn)這兩個銳角度數(shù)之和大于90°，那么第三個角度數(shù)肯定比90°小，所以肯定是銳角三角形，通過已知兩個銳角度數(shù)之和與90°的關系推理出了結論。這樣的教學尊重學生的個體差異，正視不同個體之間的思維差距，數(shù)據(jù)留白了，學生的思維卻從低階邁步進入了高階。

在題②基礎上，有的學生甚至說出如果已知兩個銳角度數(shù)之和小于90°，那么這個三角形肯定是鈍角三角形。從這個結論的得出，可見學生對所有情況都進行了分析，體現(xiàn)了思維的整體性和深刻性。計算與推理相結合的解題思路，必然會引起學生的頭腦風暴，最終促進學生形成高階思維。

第（2）題的“你最想猜哪一個信封”，極大激發(fā)了學生的解題興趣。這一問不僅引導了學生去判斷三角形的類型，更讓學生得以思考自己的選擇。具有不同數(shù)學思想的學生會做出不同的選擇。選擇從簡單出發(fā)的學生注重由易向難，選擇從高挑戰(zhàn)性出發(fā)的學生則突顯了其探究欲。教師應該尊重學生的個體差異。

數(shù)學課堂是學生發(fā)展思維的重要場所，而每一節(jié)課、每一個環(huán)節(jié)甚至每一句話都可以是載體，教師要時刻把培養(yǎng)學生整體思維、求異思維、創(chuàng)新思維等重要思維品質作為每一節(jié)課的教學目標，真正遵循學生的思維發(fā)展規(guī)律——由淺入深、從簡到繁、從易到難來開展教學，讓學生在逐步發(fā)展數(shù)學思維的過程中，養(yǎng)成具有生長性的必備品格與關鍵能力，最終提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。