開闊數學視野，發展理性精神

羅鋼

摘要：《從百分數想開去》一課，在學生已經掌握百分數相關知識的基礎上，嘗試挖掘更多的百分數現實應用的素材，從而引導學生用數學的眼光觀察世界，開闊數學視野，用數學的思維思考世界，發展理性精神。在教學中，引導學生理解恩格爾系數，判斷“是作家，還是司機”，理解“37%規則”，發現“辛普森悖論”，從而感受實證精神以及數據價值，發展數據分析觀念，感悟算法思維以及算法價值，提升懷疑精神和嚴謹作風。

關鍵詞：百分數的應用;理性精神;數據分析觀念;算法思維;懷疑精神

“百分數”是小學數學的重要內容，主要包含百分數的意義和百分數的應用等內容。近期，義務教育數學課程標準修訂組組長史寧中教授在公開講座中明確指出，即將頒布的新版課標對百分數內容做了非常大的調整：將其從“數與代數”領域調整到了“統計與概率”領域。在此背景下，筆者嘗試深入解讀百分數內容并思考如何展開相應的教學。

最近，筆者開設了一節公開課《從百分數想開去》，在學生已經掌握百分數相關知識的基礎上，嘗試挖掘更多的百分數現實應用的素材，從而引導學生用數學的眼光觀察世界，開闊數學視野，用數學的思維思考世界，發展理性精神。

一、理解恩格爾系數，感受實證精神以及數據價值

經濟和社會領域，有很多重要的統計數據以百分數的形式出現。這些數據的獲得是大量調查的結果，體現了實證精神。通過這些數據，很容易了解一個國家或地區經濟或社會某個方面的情況，為政府或公司的政治或商業決策提供重要的參考。在眾多經濟和社會領域的百分數形式的統計數據中，筆者選擇了“恩格爾系數”作為教學素材，因為其實際意義貼近學生的生活經驗，其推理結論同樣基于生活經驗，并具具有一定的思維含量。在教學中，筆者讓學生在理解恩格爾系數意義的基礎上，思考具體數據的獲得及其作用，從而感受實證精神以及數據價值。教學片段如下：

師（PPT出示：2019年我國居民家庭的恩格爾系數是28.2%）這個百分數表示什么意義呢？

（學生搖頭。）

師你知道什么是恩格爾系數嗎？

生不知道。

師怎么辦？

生查資料、百度……

師老師查到恩格爾系數的含義：恩格爾系數表示食品支出總額占消費支出總額的百分比。那么，這里的28.2%表示什么？

生表示2019年我國居民家庭食品支出總額占消費支出總額的28.2%。

師你知道這個數據是怎么來的嗎？

生用食品支出總額除以消費支出總額算出來的。

師那么，食品支出總額和消費支出總額又是怎么得到的呢？

生調查統計得到的。

師很好！為什么要調查統計？能不能大概估計一下或者干脆編一個？

生不能！那樣就不準確、不真實了！

師很好！具有現實意義的數據一定要準確、真實，否則就沒有用了。為了得到我國城鎮和農村居民家庭的恩格爾系數，統計部門的工作人員有大量的工作要做。（稍停）那么，得到這個恩格爾系數到底有什么用呢？

（學生面露難色。）

師這個問題確實有點兒難，讓我們來舉一個例子。（PPT呈現表1，“恩格爾系數”一欄由學生口算答出）現在你有什么發現？

生B國家的人民更富裕，恩格爾系數更低。

生食品支出占比越低，其他支出占比就越高，說明生活就越富裕。

師很好！你能進一步說明為什么恩格爾系數越低，生活就越富裕嗎？

生我覺得是因為，不論你有多少錢，總是要吃東西的，而吃東西花的錢都差不多;如果你很有錢，那么吃了東西后還有很多錢可以花在其他地方;如果你的錢不多，那么吃了東西后就沒什么錢可以花在其他地方了。

師同學們聽明白他的意思了嗎？

生明白了。

師是啊！當你很有錢的時候，你才能花較多的錢在吃以外的方面;當你沒什么錢的時候，你只能把錢主要用在吃上。所以，恩格爾系數越低，說明生活就越富裕。所以，恩格爾系數是一個國家重要的經濟數據，能反映國民的富裕程度。（稍停）那么，2019年我國居民家庭的恩格爾系數是28.2%，它是高還是低呢？

生那需要知道其他年份或其他國家的恩格爾系數是多少，然后進行比較。

師很好！這個事情就留給同學們課后完成：查找其他年份和其他國家的恩格爾系數，看看現在我國人民的生活是貧窮還是富裕。

二、判斷“是作家，還是司機”，發展數據分析觀念

數據分析觀念（或者說統計思維、數據思維）既包括采集多維數據反映事物屬性，也包括靈活分析數據作出結論判斷，即利用數據解決問題。現實中，可以利用數據解決的問題非常多。筆者選擇了一個判斷“是作家，還是司機”的問題作為教學素材。對這個問題，基于直覺（感性）很容易作出錯誤判斷，而依托數據分析（理性）才能作出正確判斷，因而，可以很好地培養學生的數據分析觀念，同時滲透“敢于不精確，不能太離譜”的估算意識和方法。教學片段如下：

師有這么一個人，他善于觀察，又多愁善感，在大街上看到一片落葉，就感嘆時光飛逝、青春不再;他熱愛生活，又內向沉默，只有特別熟了之后，才能真正跟他聊起來。問題來了：你覺得他更有可能是一位作家，還是一位司機？認為他更有可能是作家的請舉手。

（超過一半的學生舉手。）

師你們為什么認為他更有可能是作家？

生因為作家中多愁善感的比較多。

師你認為作家中多愁善感的約占多少？司機呢？

生不知道。

師大膽估計一下，不太離譜就行。

生作家中約占80%，司機中約占30%。

師好的。僅憑這兩個數據，就能得出“他更有可能是作家”這個結論嗎？有不同的想法嗎？

生這兩個百分數的單位“1”不同，所以無法比較。

師那你覺得還需要哪些數據？

生作家的人數和司機的人數。

師作家的人數和司機的人數我們都不知道，怎么辦？

生可以去調查一下。

師是的，調查是獲得準確數據的重要方法，但是操作起來比較麻煩。對“判斷他更有可能是作家，還是司機”這個問題，我們不需要那么精確的數據，而可以像剛才那樣大膽地做一個不太離譜的估計。假設作家人數是1份，根據我們的生活經驗，司機人數用幾份來表示比較合理？

生滿大街都是司機，司機人數要遠遠超過作家人數，估計司機人數是100份。

師好的。假設某城市的作家人數是100人，那么司機人數是10000人。由此，我們就可以計算了。請你來計算一下多愁善感、沉默內向的作家和司機各有多少人。

（教師根據學生的計算結果板書，內容如圖1。）

師看來，真實的情況是：他更有可能是司機。用數據來說話，這就是數據分析觀念，或者說數據思維。運用數據思維可以讓我們跳出直覺誤區，作出更加理性的判斷。當然，要想得到更加嚴謹的判斷，我們還需要更加準確的數據。

三、理解“37%規則”，感悟算法思維以及算法價值

大量的統計數據中蘊含著規律。百分數除了作為統計數據出現，還可能作為規律要素出現。這時，蘊含百分數的規律往往能體現出算法思維。算法思維的一種比較膚淺的理解是以（廣義的）計算的方式解決問題，而本質上則是計算機思維（或者說人工智能思維）。作為一種理性思維，它的基本特點是程序化、可操作性，最終指向是能夠利用計算機（人工智能）完成。通過解方程解決算術問題、通過解析幾何方法解決平面幾何問題便是算法思維的體現。小學生真正理解算法思維是比較困難的，筆者選擇了比較好懂又很有用的“37%規則”作為教學素材，讓學生體會到生活中的很多問題都可以通過算法幫助解決，初步感悟算法思維以及算法價值。教學片段如下：

師生活中，我們經常會遇到這樣的問題，那就是做一些重要的決策。如買房時，什么情況下最該出手？一看見好的就出手是比較草率的，但是遲遲不做決定也會錯失良機。怎么辦？

（學生面露難色。）

師別急，數學家已經幫我們解決了這個問題。《指導生活的算法——人類決策中的計算機科學》一書告訴我們，數學家經過一系列復雜算法，把決策問題變成了隨機選擇優化問題，并利用“37%規則”解決了它。以買房為例，“37%規則”把決策過程分為兩個階段，第一個階段只看不買，同時記住最好的; 第二個階段遇到更好的或類似的，就毫不猶豫地買下來。“37%規則”不能保證你買到最好的，但能讓你在足夠少的時間內買到足夠好的房子。你是如何理解“37%規則”的？

生37%是指考慮的時間占總時間的37%。

師如果總時間是100天，怎么解釋37%？

生也就是，前37天考察比較，從第38天起看到更好的或類似的，就毫不猶豫地買下來。

師課前，同學們都思考或調查了自己或家人、朋友近期需要作出的比較重要的決策以及完成這個決策最長的期限。現在，讓我們一起來運用“37%規則”給自己或家人、朋友做一個最優化的決策：計算從大約從什么時候開始作出決策。

（學生計算，然后教師組織匯報、交流。）

師看來，我們在學習、工作、生活中，不是只能憑感覺作出一些決策，還能運用算法思維作出更好的決策。

四、發現“辛普森悖論”，提升懷疑精神和嚴謹作風

百分數是一個“率”，如果忽視其中相比的兩個更基本的“量”的大小，而只考慮這個算出來的“率”的大小，則很容易導致錯誤的判斷。學生認識到直覺不可靠，而數據分析更可靠后，筆者選擇了“辛普森悖論”作為教學素材，讓學生經歷“數據分析—得出結論—提出質疑—再次分析—推翻結論”的過程，感受到數據的“欺騙性”，從而培養懷疑精神和嚴謹作風，進一步提升理性精神。教學片段如下：

師A同學和B同學進行了三次投籃比賽，誰的成績更好呢？還缺什么？

生數據。

師（PPT呈現表2）有了這些數據，你們認為誰的成績更好？你是怎么想的？

生我認為A同學的成績更好。我算過了，A同學三次比賽的命中率分別為91.7%、75%、58.3%，B同學三次比賽的命中率分別為83.3%、66.7%、33.3%。三次比賽，A同學的命中率都比B同學高。

師三場比賽，A同學的命中率都比B同學高，就可以得出A同學的總體成績比B同學好嗎？你們確定嗎？還有沒有別的算法？

（學生開始重新思考并計算。）

生我換了一種方法計算，A同學三次比賽的總命中率為（11+9+7）÷（12+12+12）=75%，B同學三次比賽的總命中率為（40+8+1）÷（48+12+3）≈77.8%。雖然單次的命中率都是A同學更高，但總命中率卻是B同學更高。

師是啊！這說明B同學的投籃成績更勝一籌。這個現象是由英國統計學家愛德華·辛普森首次發現的，所以叫作“辛普森悖論”。這個悖論說明百分數有一定的“欺騙性”，會干擾我們的判斷。同學們想破解謎題，摸清“辛普森悖論”背后的原因嗎？看來今天數學課后，同學們有了一個新的研究方向。

參考文獻：

[1] 吳軍.數學之美（第二版）[M].北京：人民郵電出版社，2014.

[2] 喬占周.高等數學教學中滲透數學文化的思考[J].教育現代化，2017（10）.專題研究