滲透數形結合思想，提升數學解題能力

韓輝

摘? 要：學生的數學解題能力培養要通過合理有效的途徑來實現，而數形結合思想的理解與領會可以有效提升學生的數學解題能力，通過以數解形引導學生發現數學題目中的規律，通過以形助數，映射數形結合思維，讓學生結合題目中的條件需求、抓住隱含條件進行題目解答，通過題目的轉化實現數學知識的融會貫通，最終讓學生習得數形結合思想的精髓，切實提升學生的數學解題能力。

關鍵詞： 初中數學;數形結合;解題能力

數形結合思想是數學學習過程中必不可少的思想之一，它是通過將定量的數字和形象圖形相結合的方式，利用兩方面的條件進行綜合思索，最后實現題目解答的目的。通過讓學生習得數形結合思想，能夠有效促進學生的數學解題能力提高，讓學生真正對數學學習的方法技巧形成自己的正確經驗和認知，促進學生的數學學習。

一、以數解形，發現規律

（一）解計算題，聯動轉化

在教學過程中滲透數形結合思想，首先要引導學生以數解形，通過數字解出圖形的相關元素，發現題目規律，在這一步驟中，首先要針對計算題目進行聯動轉化，讓學生實現對于圖形結合的計算題目的解答，實現自身解題能力的提高，這屬于滲透數形結合思想的基礎步驟，為后續教學策略的開展打下良好基礎。

如在“矩形、菱形、正方形”這一節中，學生需要學習到與矩形、正方形面積計算相關的數學知識，此時教師就可以讓學生針對計算題目進行練習，將數字轉化為圖形中的參數進行解題規律的發現。教師首先向學生講述正方形、長方形的面積如何計算，正方形的四條邊都相等，因此可以轉化為面積S=邊長a×邊長a，而長方形的面積可以轉化為S=長a×寬b，在學生理解這兩個面積公式后，教師為學生出計算題讓學生進行計算：“在這一長方形中，其中一條邊的邊長為8cm，與之相鄰的一條邊邊長為4cm，求這一長方形的面積，以4cm的邊進行正方形的繪制，求正方形的面積。”學生此時就會將題目條件中給出的數據轉化為圖形中的參數，發現可以將給出的8cm、4cm變為長方形的長和寬，因此長方形的面積就比較容易求得為8×4=32cm2，而正方形的邊長是相等的，因此一條邊的邊長為4cm，就可以看作邊長a=4cm，因此面積就是S=4×4=16cm2。這樣就實現了通過數字解答圖形問題，讓課本中的知識轉化為解題能力的過程，讓學生的數形結合思想得到初步積累和發揚，奠定了基礎。

計算題目鍛煉的是學生的計算能力，讓學生能夠根據基本的圖形進行較為復雜的數學計算，為學生的數形結合打下較為深厚的計算基礎，從而促進學生的數學題目解答，幫助學生在數字方面實現能力增長和進步。

（二）解證明題，聯動比較

證明題鍛煉的是學生的邏輯思維能力，教師要在進行數學教學的過程中為學生引入證明題目，讓學生在其中進行較為深入的線索尋找和比較證明，實現數學知識的聯動比較，通過對證明題目的解答實現自身邏輯思維能力的提高。在這一步驟中，學生在習得數形結合思想時所需的思維能力也得到了有效培養。

如在“軸對稱圖形”這一節中，學生要學習到與軸對稱相關的數學知識，此時教師就可以引導學生進行證明題的解答，聯動比較幾種圖形不同的變換特點和操作方式。教師首先為學生講解平移、旋轉、軸對稱三種平面圖形變換的基本概念，接著為學生出一道證明題：“圖中的三角形經過了平移、旋轉、軸對稱三種圖形變化后變為了右側三角形，請證明這一命題。”學生此時就會開始觀察，首先由于圖中右側三角形和原圖形存在一定距離，因此學生可以肯定的是這一圖形進行了平移變化，學生計算出向右平移了6格，接著就需要證明這一圖像經過了旋轉，由于給出的圖形為直角三角形，而右側三角形的直角明顯不在原位置，因此學生可以判斷進行了軸對稱或者旋轉，學生首先將圖形進行旋轉，發現依舊無法和原圖形重合，但是經過180°旋轉后的圖形，在經過軸對稱變換可以與原圖形重合，這樣就證明了這一圖形總共經過了3種變換才形成了右側三角形，就實現了證明題的解答。教師此時讓學生針對這三種方式進行比較：“這三種圖形變化的方式存在哪些不同？”學生此時就會進行聯動比較，回答教師：“平移是只針對圖形的位置進行移動，而旋轉是針對圖形的角度進行變化，軸對稱則是依照某一對稱軸進行對折，三種屬于不同的變換方式。”這樣學生就實現了對證明題解答后的知識比較。

這樣讓學生進行證明題的思考，讓學生能夠聯系題目中的各類條件，形成綜合思維解答數學題目，有效促進學生的數學邏輯思維能力培養，為數形結合思想的形成打下良好的基礎，促進學生對邏輯梳理方法和模型的建立，提升學生的數學解題能力。

二、以形助數，映射思維

（一）結合條件需求，化數為圖

在教學過程中滲透數形結合思想，不僅僅需要以數解形，發現題目中的規律，還需要教師引導學生以形助數，將數學思維有效映射出來。首先教師要在為學生講解題目時，教會學生結合題目中的條件需求，將數字化為圖形，通過圖形實現數學題目的解答，這種方法既可以運用于數學題題目的講解，也可以運用于數學原理的領會。

如在“豐富的圖形世界”這一節中，學生初次接觸到與長方體、正方體相關的數學概念，此時教師就可以引導學生結合條件需求，化數為圖。教師首先讓學生了解長方形和正方形的概念：“大家看到我黑板上畫出的圖形，長方形有四條邊，對邊相等，有四個角都是直角，由長方形構成了我們要學習的長方體。而正方形的四條邊都相等，四個角都是直角，所有面都是正方形的幾何體就是正方體。”為學生展示兩個幾何體的圖片，教師在這一過程中講述：“我們只有把握好了正方形、長方形的概念才能進一步把握長方體、正方體的概念，兩個圖形主要是通過邊長進行區分，例如長為4cm、寬為3cm的長方形，我們是這樣對圖形進行量化區分。”待學生理解教師所說后，教師為學生出題，讓學生結合條件需求將數字轉化為圖形：“請同學們在紙上畫出一個邊長5cm的正方形和長為8cm，寬為4cm的長方形。”學生此時就會開始在筆記本上進行繪畫，在繪制完成后，教師讓學生繼續進行繪制：“畫出以剛剛圖形為底面的長方體和正方體。”這樣學生就結合教師給出的幾何圖形邊長的這一條件需求，實現了將數字轉化為圖形的基本操作，這樣學生就能夠對長方體、正方體的邊長產生一定敏感，以后更好地實現數形結合思想的有效運用。

條件需求為學生的數學學習指明了思考的目標和中心，教師要告知學生數學題目的解答要時刻圍繞題目中的條件需求進行，在這一前提下將題目中的數字變為圖片，實現對數形結合思想的領會，促進自身數學思維能力的提高。

（二）抓住隱含條件，追溯線索

讓學生進行以形助數，映射思維，同樣需要教師引導學生抓住題目中的隱含條件，進行線索的追溯，在追溯線索、梳理解題方法的過程中，學生能夠自主的將圖形和數字相結合，實現數形結合思想的運用，培養自身的數形結合能力。

如在“角”這一節中，學生要學習到與角大小相關的數學知識，此時教師就可以讓學生抓住隱含的條件進行解題線索的追溯。教師首先帶領學生了解課本中的直角、平角等概念，讓學生了解直角為90°，平角為180°這類定量知識，接著為學生出題：“在一個直角中，角一為45°，那么角二為多少度？你能夠不使用量角器進行解答嗎？”學生此時就會開始思考，如果不使用量角器進行測量，就必須通過題目中的條件進行解答，但是題目中沒有明確給出相關角的度數，突然學生發現題目中存在著隱含條件“在一個直角中”，因此學生就理解了外部的大角為90°，若要計算其中的角二，用90°-45°即可，最后得出了相關答案45°，這就讓學生實現了利用題目中的隱含條件進行解題。

引導學生抓住題目中的隱含條件，可以讓學生學會在解答題目時通過線索的梳理發現題目中隱藏的解題思路，讓學生通過追溯線索實現數形結合。

三、相互轉變，融會貫通

（一）分析數量關系，直觀展示

運用數形結合思想的最終步驟，就是讓學生學會數字和圖形之間相互轉化，幫助學生真正實現數形結合思想的融會貫通。在這一過程中，教師要引導學生分析數學題目中的數量關系，讓學生通過圖形實現數據的直觀展示，培養學生的數形結合思想，促進學生數學知識的有效學習。

如在“數據的收集、整理、描述”這一節中，學生要學習到與統計圖相關的數學知識，此時教師就可以讓學生進行數據收集，讓學生通過分析數量關系制作圖表進行直觀展示。教師首先讓學生收集全班同學的身高數據，接著讓學生以10cm為一區間，將同學們的身高繪制在統計圖中，此時學生就開始繪制圖表，例如身高在130～139cm的同學有5人，學生就會在統計圖上繪制出5人的條塊來表示，當學生將所有同學的身高都歸入統計圖中后，就實現了對數據的直觀展示。

分析數量關系不僅僅是對數學題目中條件的分析，同樣是在進行解題思路和線索的尋找，教師將這種數量關系直觀展示給學生，可以讓學生清晰判斷出應當采用何種計算方式針對這樣的數量關系進行計算。

（二）嘗試整體代入，凸顯思路

進行數形結合，還可以直接將數字整體帶入圖形，實現對圖形中各個條件進行全面的梳理和歸納，從而找出相應的解題思路，這種方法主要是通過數字條件輔助圖形進行解題，有效促進了學生數形結合思想的培養。

如在“對稱圖形——圓”這一節中，學生要學習到與計算圓面積相關的數學知識，此時教師就可以讓學生利用圓的面積公式將題目條件直接帶入，例如在進行圓環面積計算時，不需要先計算大圓面積再減去小圓面積，而是直接可以通過半徑相減R-r整體帶入面積公式實現計算，這就凸現了較為簡便的解題思路。

這樣嘗試整體帶入后，全部的圖形條件和數量條件都呈現在了學生面前，有效促進了學生對解題思路的思考，幫助學生實現了數學題目的解答，鍛煉并培養了學生的數形結合思想。

在數學教學的過程中滲透數形結合思想，可以有效提升學生的數學解題能力。未來期待有更多學者針對這一理念展開更深層次的研究，探索出更加有效可行的方法促進學生的數形結合思想培養，為學生的數學學習打開高效之門。