運用圖式促進學生數學素養的深層建構

孟祥玉

[摘 要] 圖式理論是認知心理學用以解釋、理解心理過程的一種理論，是數學的重要組成部分。善用圖式能促進學生對數學知識的深度建構，對數學素養的深度建構。在數學教學中，教師要引導學生建構表象圖式、結構圖式、符號圖式等，從而讓圖式能表征事實、勾連知識、蘊含意義。只有引導學生主動建構圖式、完善圖式、運用圖式，學生的數學學習才是有意義、有價值的。

[關鍵詞] 小學數學;數學圖式;數學素養

圖式是學生數學學習的助推器，也是數學學習的重要組成部分。圖式最早由哲學家康德提出，瑞士教育心理學家皮亞杰發展了圖式理論，使之成為一種認知圖式，并用同化、順應、平衡來描述圖式的建構。圖式，是指由單元構成的組織、組塊。圖式融合了三種元素，即命題、表象、線性順序。圖式具有整體性、主動性、建構性的特質。在小學數學教學中，教師善于應用圖式，能促進學生數學素養的深層建構。

一、建構表象圖式

圖式種類很多，主要有表象圖式、結構圖式、符號圖式。表象圖式，是指學生借助頭腦中的形象進行思考、探究的載體、媒介。研究表明，學生頭腦中的思維使用并不僅僅是描述定義，而更多的是一種非命題的表象圖式。相對于符號圖式而言，表象圖式在學生心里扎的根更深。

表征事實，是表象圖式的根本性的功能。在數學教學中，教師可以引導學生通過畫圖、言語表達等手段，夯實學生頭腦中對數學知識的表象。皮亞杰認為，圖式是一種有組織、可重復的行為、思維模式。在學生的頭腦之中，表象圖式往往有三種形式的表征：一是做數學的動作表征，二是畫數學的圖像表征，三是說數學的言語表征。這些表征，是連接客觀事實與學生內在心理表象的橋梁。比如，教學“多邊形的面積”（蘇教版《數學》五年級上冊）這一部分內容時，很多教師非常注重引導學生推理，注重引導學生演繹公式。但筆者認為，教學這一部分內容時，表象圖式的建立是最為重要的。以“梯形的面積”教學為例，筆者在教學中引導學生基于自我已有的知識經驗大膽地探究。學生通過多樣化的探究，豐富、夯實表象圖式。當學生的頭腦中建立了兩個完全相同的梯形拼成的平行四邊形的圖式時，學生自然能建構梯形的面積公式，自然不會遺忘“梯形面積公式中的‘除以2’”。當學生頭腦中有了“梯形分成兩個三角形圖式”時，學生自然能理解“‘上下底的和’乘以高除以2”的面積公式內涵。

學生數學學習中的表象圖式具備鮮明的個體經驗技巧，具有鮮明的個體經驗化印記。相對于符號圖式、命題圖式，表象圖式更為直觀、生動、形象。教師要在教學中清晰、牢固學生的表象圖式。教師建構恰當的表象圖式有助于學生數學學習，充分而有效的表象圖式可以為學生的數學學習提供支架。

二、建構結構圖式

相對于表象圖式而言，結構圖式更加具有結構性、關聯性。我們知道，數學知識是高度結構化的，是一個結構性的有機體。因此在數學教學中，運用結構圖式能引導學生把握知識、分析知識、勾連知識，從而讓學生“既見樹木又見森林”。在數學教學中，教師要引導學生串點成線、連線成面、勾面成體，從而有效地助推學生建構結構圖式。

結構圖式是富有層次性的，結構圖式有助于深化學生的數學理解。正如著名數學教育家斯法德所說：“數學概念與實體的結構和運算間的互補性具有極強的教育價值?！睂τ谝粋€數學知識點而言，其建構圖式往往經歷了兩個過程：其一是過程化，其二是對象化。建構結構圖式，數學知識都應當處于對象化的水平。換言之，在結構化圖式中，每一個數學知識點都能參與運算，都是一種活性的數學因子。如教學“因數和倍數”（蘇教版《數學》五年級上冊）這部分內容時，筆者致力于引導學生在已有數學概念上進行建構，如從“一個數的因數”到“幾個數的公因數”，從“幾個數的公因數”到“幾個數的最大公因數”等。教師通過結構圖式，將“奇數和偶數”“質數和合數”“互質數”“質因數”“分解質因數”等概念納入其中。如此，每一個知識點都處于知識的結構圖式中。通過結構圖式，學生對數學知識點形成了本質性、關系性的深度理解。

結構圖式不是物理實件的簡單堆加，也不是要素的簡單拼湊，而是認知的建筑。勾連知識點之間的關系，建立結構圖式，能讓知識在學生的腦中處于一種完形狀態。在結構圖式中，高階的知識點對于低階的知識點而言，往往具有統馭的作用、功能。結構圖式的建構，我們似乎可以套用古希臘著名思想家赫拉克利特的一句名言來概括，即“數學就在于一件事，就是認識到那善于駕馭一切的圖式”。

三、建構符號圖式

圖式建構不僅包括形象化、直觀化的表象圖式、結構圖式，而且包括有意義、有價值的符號圖式。相較于表象圖式、結構圖式，符號圖式更負載著一種意義與價值。學生的符號圖式，猶如冰山一角，其意義等應當儲存在學生的心靈深處。教師引導學生建構符號圖式，關鍵是引導學生認識圖式的意義、作用和功能。

現代認知學習理論認為，知識不能簡單地由教師或他人傳遞給學生，而應當由學生自主建構。在數學教學中，教師要善于引導學生運用符號圖式，生動地描述問題、分析問題，幫助學生解決問題，從而促進學生數學思維的發展。建構符號圖式，重要的是引導學生經歷符號化的過程，讓學生感受、觸摸到符號所凝結的人類的生命實踐智慧。洞察意義、體認價值，是建構符號圖式的關鍵。比如，“分數的初步認識（一）”（蘇教版《數學》三年級上冊），是學生初步接觸分數、書寫分數、解讀分數的關鍵一課。其教學重點是引導學生將一個物體、一個圖形或者一個計量單位的幾分之一或者幾分之幾用分數來表示。在教學中，筆者引導學生通過對圓形圖片的操作來認識分數、理解分數。通過畫圖和操作，學生認識到，分數通常包括三個部分，分數線表示平均分，分母表示平均分的份數，分子表示其中的幾份。教師通過將多張同種規格的紙平均分成不同的份數，引導學生建構不同的分數;通過對多張不同規格的紙平均分成相同的份數，引導學生建構相同的分數。這樣的變式教學，深化了學生對分數符號的意義理解。符號圖式不再是簡單的、無意義的概念，而是學生生命實踐智慧的結晶。在數學教學中，教師要喚醒學生的圖式，激活學生的圖式，讓學生的符號圖式成為學生建構新圖式的重要載體、媒介。如加深學生對分數的符號圖式的意義理解，同樣有助于學生后續學習分式的符號圖式。在數學教學中，教師要讓圖式成為學生數學學習的動力引擎。

學生的數學學習過程，從某種意義上來說就是圖式的建構、發展過程。教師要為學生的數學圖式建構注入動能，促進學生數學圖式的真正內化。教師只有引導學生內化了符號圖式，把握了符號圖式的意義，學生的數學學習才能真正實現從“量”轉為“質”，從“知”變為“智”。