淺談數學解題的順推與逆推結合的思考方式

何星澤

【摘要】學生的數學能力如何，數學成績如何，很大程度上體現在解題能力上，而解題能力的提高最重要的是學會思考，要善于在已知和未知之間搭建起“鵲橋”。本文通過幾個例題對解題過程進行分析總結，著重展示如何通過順推與逆推結合的思考方式搭建“鵲橋”，找到解題的突破口。

【關鍵詞】解題能力;順推分析;逆推分析

一、發現問題

筆者回顧多年的教育教學工作，發現在學生的學和教師的教等兩個方面都存在一些現象：

一是有部分學生上課認真聽講，認真做筆記，課后也認真復習，能按時完成作業，但卻考不好，教師講的一些題目能聽懂，但稍作變式就不會了，遇到稍有點難度的題，則顯得無從下手。

很多教師把這一類學生總結為“不會學”，但筆者認為這部分學生并不是不會學，而是不會思考，并非智商不高，而是沒掌握正確的思考方法，一旦他們學會了正確的思考方法，學會了分析問題，他們的解題水平、數學能力必定能有很大提高.

二是有些教師在解題教學上存在一些現象，不可否認，他們的基本功很扎實，善于題型的歸類、方法的總結。然而，有時只是方法的簡單堆積或解題技巧的神秘出現，很少從學生思維的起點分析問題，也很少分析“為什么這樣解”“是什么促使我這樣思考”，沒有講清楚思路的來源與發展的過程。尤其是要作輔助線的問題，當學生問到怎么樣才能想到這樣作輔助線時，他們的回答常常是“這是一種直覺，題做多了就會了”。可見，有些學生不會思考，和此類教學方式有一定關系。

那么，如何解決上述兩種現象呢？

這要求教師和學生都要掌握正確、高效的思考方法（模式）。在解題時，一般的思考模式是：讀題→弄清題干給了哪些條件→分析這些條件與問題之間的聯系→擬定解題計劃，這種思考模式一般稱為順推分析，相當于從起點瞭望終點;另外，也有逆向思考模式，即從終點回望起點，先從問題入手，通過假定問題已經被解決來分析到底需要哪些條件，這種思考模式一般稱為逆推分析。

筆者認為，順推與逆推結合的思考方式會更為常見，簡言之就是：由已知看可知，從未知看需知。它能縮短已知和未知之間的距離，而且往往能做到一題多解。

二、順推與逆推結合的思考方式的步驟

大體上有三個步驟：

（1）順推分析：從已知條件往后推，看每一個已知能得到什么小結論，把不同的已知（有時需要與小結論）組合起來思考，看又能得到什么小結論。

（2）逆推分析：從所求（未知結論或問題）往前推，看要解決這個問題需要什么條件，有時是把所求進行等價轉化。

（3）在（1）中的小結論和（2）中所需條件（或等價轉化后的問題）之間找到契合點，建立聯系，實現解題的突破。

有時需要重復（1）（2）（3）才能有所進展。在某些代數題中，（1）和（2）有時可以交換順序。這個過程可以有一個浪漫的比喻，有點像牛郎織女的鵲橋相會，已知條件好比是牛郎，所求（未知結論或問題）則是織女，尋找解題思路的過程就相當于為牛郎織女搭建鵲橋的過程，鵲橋建好了，題就能解出來。而利用順推和逆推結合的思考方式在搭建已知和未知的“鵲橋”時具有獨特的優勢與魅力。

三、順推和逆推結合的思考方式的例題研究

我們先看一道最近網課學習中遇到的習題：

例1：如圖1，平行四邊形ABCD中，CG⊥AB于點G，∠ABF=45°，F在CD上，BF交CD于點E，連接AE，AE⊥AD。求證：CE+BE=AB.

按照順推和逆推結合的思考方式有如下分析：

（1）順推分析：由ABCD是平行四邊形，CG⊥AB，∠ABF=45°可以得到△BEG和△FCE都是等腰直角三角形，所以BG=EG，CE=CF;由AE⊥AD得AE⊥BC.這些小結論如何進一步使用就要結合下一步的分析;

（2）逆推分析：CE+BE=AB，有點類似于兩條線段的和（差）等于第三條線段的形式，常用的方法是截長補短，如何對BE進行轉化則是本題的難點，對它的不同的轉化方式就會產生不同的解題方法。

BE可以有兩種轉化方式：

①根據等腰直角三角形的三邊關系，BE=BG+EG，于是所證結論可以等價轉化為CE+BG+EG=AB，即CG+BG =AB，即只需證CG=AG.

②構造BE為直角邊的等腰直角三角形，BE就是斜邊的長。

（3）找到（1）中的小結論與（2）中轉化后的問題之間的關系，完成解題，具體方法如下：

對于（2）①的分析，可延長AE交BC于H（如圖1-1），可得∠1=∠2，易證△BGC≌△EGA，于是CG=AG，已知與未知完美結合，進一步即得CE+BE=AB.

對于（2）②的分析，過E作EH⊥BE交AB于H（如圖1-2），知△BEH是等腰直角三角形，則BE=BH，于是只需證CE=AH，即證△BEC≌△EHA即可.

這是采用截長法證明，還可以用補短法證明。

過B作BH⊥BE交CG的延長線于H（如圖1-3），則BE=EH，于是只需證CH=AB，即證△BCH≌△EAB即可。

以上三種方法都是順推與逆推結合的思考方式的很好例子，有順推才能發揮已知條件的作用，有逆推才能知道目標在哪，問題的本質是什么，已知條件怎么樣才能更好地使用。尤其在逆推時，不同的轉化方法起到了一題多解的效果，對開拓學生的思維大有裨益。

現在，我們用這種方法再分析一道中考題：

例2：如圖2，O為坐標原點，四邊形ABCD是菱形，A（-8，8），B點在第一象限，AB=10，AB與y軸交于點F，對角線AC交y軸于點E.

（1）直接寫出B、C點的坐標。

（2）動點P從C點出發以每秒2個單位的速度沿折線段C—D—A運動，設運動時間為t秒，請用含t的代數式表示△EDP的面積。

（3）在（2）的條件下，是否存在一點P，使△APE沿其一邊翻折構成的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出當t為多少秒時存在符合條件的點P;若不存在，請說明理由。

第（3）問按照順推和逆推結合的思考方式有如下分析：

（1）順推分析可以得到OD=BF=2，AF=CO=8，可證△AEF≌△CEO得EF=EO=4，AE=EC=4.

（2）逆推分析：這是個菱形存在性問題，而菱形的一條對角線可把菱形分成兩個全等的等腰三角形，所以這個問題可以等價轉化為等腰三角形的存在性問題。

（3）找到前兩步的契合點，搭建“鵲橋”，完成解題。根據兩個定點一個動點構成等腰三角形的方法——兩圓一線，確定點P的位置，再結合數據計算t的值，具體過程如下：

①AE=AP時（如圖2-1，以A為圓心AE為半徑作圓交AD于P），可知AP=4，則t=10-2。

②當EA=EP時（如圖2-1，以E為圓心AE為半徑作圓），此時A、P、E不能構成三角形，舍去。

③當PA=PE時，作AE的垂直平分線交AB于G，交AD于P（如圖2-2），易證四邊形APEG是菱形，設AP=AG=GE=x，GF=8-x，在Rt△GFE中，由勾股定理得x2=42+（8-x）2，解得x=5，進而求得t=7.5;

綜上，存在t=10-2或7.5秒時，△APE沿其一邊翻折構成的四邊形是菱形。

這個問題的解答也體現了順推和逆推結合的思考方式的價值，尤其是逆推分析把菱形問題轉化為等腰三角形問題，化新知識為舊知識，簡化了思考過程，能迅速找到解題的突破口，體現了數學的轉化與化歸思想。

順推與逆推結合的思考方式不僅適用于幾何問題，在一些代數問題中也十分實用，請看下題：

例3：a，b，c，x都是實數，并且a

x-c的最小值。

此題可以采用零點分段法對x的取值分類討論，分別去掉絕對值符號，最后比較各段的值，再取最小值;也可以分段之后畫出函數圖像，取最低點的函數值，但這些方法都必須經歷復雜的去絕對值符號的過程，有沒有更簡單的方法呢？

由于此題已知條件比較簡單，順推分析有點漫無目的，我們可先作逆推分析，則會發現 x-a 可以表示數軸上點x到點a之間的距離，x-a+x-b+x-c就表示點x到點a，b，c的距離之和，逆推與順推結合，可以畫出圖3：

顯然，這三條線段沒有重疊部分時，和最小，此時x=b，這最小和為點a，c的距離，為 a-c =c-a.

這種方法還能推廣到有n個點的情況。可見，對所求問題作適當的轉化是多么的重要，恰到好處的逆推分析大大地簡化的解題過程，而且獲得了非常巧妙的解法。學生在這個過程中也會體驗到解題的樂趣，繼而加大學習數學的信心。

我們再看一道代數求值題：

例4：已知a=+，b=-，求的值。

這個題直接代數當然可以求解，但是顯然不是好方法。已知條件比較簡單，順推需結合逆推才能進行，于是，先逆推分析對所求變形，，此時如果帶入數據也可以，但仍然不是最好的方法，結合已知，需進一步變形：，此時可以順推計算a+b=2，ab=1，再代入上式求值則非常簡單。

誠然，不是所有題都需要（或都適合）用順推與逆推結合的思考方式，有的題直接用順推或逆推就能解答，但掌握順推與逆推結合的思考方式無疑是有益的。

從上面四道題的演示，我們可以體會到，如果學生能夠養成順推與逆推結合來思考問題的習慣，那么在解決數學問題的時候不僅知道已知條件有什么用，還能知道最終目標在哪，縮短了從已知到達未知的過程，而且往往會有一題多解的收獲，既能開拓思維，還能培養興趣，非常有利于數學能力的提高。

四、順推與逆推結合的思考方式的培養

學生的思維習慣受多方面因素的影響，如，學生自身的特質、從小的成長環境和父母的思維的方式、教師的教育等。具體可以從教與學兩個方面來培養：首先，教師要有順推與逆推結合的思考方式，平時解題時就要體會這種思維方式的魅力，感受由此帶來的解題成功的喜悅與樂趣。在解題教學時，教師更要善于引導學生這樣去思考，讓學生自己體會到這種喜悅與樂趣，他們才會樂于這樣去思考;其次，學生也要有養成這種思考方式的意識。對于平時的作業題如果發現單純的順推和逆推分析不行時，就應想到順推和逆推結合來思考問題，模仿教師平時講題的思維方式來解題;再次，教師要引導學生養成回顧的習慣。波利亞在《怎樣解題》中總結的解題四步驟中的第四步就是回顧。回顧既是檢查是否有錯誤，又是對解題過程的優化。體會一下思路是如何產生的，是哪個已知條件起到了突破性的作用，以后遇到這種條件時是不是還可以這樣用;這種解題方法在以前哪道題曾經見過，能不能推廣到這一類題。這樣，新的知識技能納入到舊知識體系中，從而拓展舊知。假以時日，學生的良好思維品質必然能養成，數學能力一定可以提高。

參考文獻：

[1]楊彬.中學數學解題時的逆向思考方式[J].數學參謀，2020（2）.

[2]（美）G·波利亞.怎樣解題[M].涂泓，馮承天，譯.上海科技教育出版社，2011.

責任編輯? 陳? 洋

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