手持“數學思想方法”利劍，遠離“迷思概念”

黃紅　田羿

【摘要】數學概念是宏偉的數學大廈之基礎，也是數學教學工作的重難點。雖然教師在教學中各出奇招，但效果往往差強人意。學生在學習概念的過程中容易出現偏差，頻頻產生迷思，遠離數學知識內容的本質。而數學思想方法是指向數學的本質，教師運用數學思想方法指導概念教學，可以轉化“迷思概念”。

【關鍵詞】迷思概念;數學思想;數學思想方法

筆者參加了2020年中山市中考數學閱卷工作，負責批改第21題：已知關于x，y的方程組與的解相同。（1）求a，b的值;（2）若一個三角形的一條邊的長為，另外兩條邊的長是關于x的方程x2+ax+b=0的解，試判斷該三角形的形狀，并說明理由。這道題目是一道8分題，全市的平均分是4.48分，大約有三分之一的學生對此題束手無策。分析學生的答題情況，學生不是對二元一次方程的解法和勾股定理的逆定理不熟悉，而是對二元一次方程的解、二元一次方程組的解、特殊三角形這些概念的理解不透徹。學生沒有抓住概念的本質，最終在應用知識解決具體問題的時候出現障礙。因此，筆者認為若想讓學生遠離“迷思概念”，抓住數學知識的本質，教師應該在課堂上“亮”出數學知識的本質——數學思想方法。

一、概念界定

（一）迷思概念

查閱百度百科，“迷思概念”和現在的學科概念不同。在教學中把頭腦中存在的與科學概念不一致的認識叫做“迷思概念”。

（二）數學思想

數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果?！读x務教育數學課程標準（2011年版）》在課程總目標中提到：通過義務教育階段的數學學習，學生能獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。史寧中教授認為，數學思想可以歸類為以下三種基本思想：抽象、推理和模型。

（三）數學思想方法

數學方法是用數學語言表述事物的狀態、關系和過程，并加以推導、演算和分析，以形成對問題的解釋、判斷和預言的方法。數學方法是應用數學思想解決問題的顯現步驟。由于初中生的知識儲備量和理解能力均有限，在數學思想和數學方法上不作嚴格的區分，統稱為“數學思想方法”。在初中教學中，常見的數學思想方法有：字母表示數、分類討論、數形結合、特殊與一般、類比、化歸、整體、方程、函數、建模等。

二、“迷思概念”出現的原因

（一）學生缺乏自主思考的習慣

概念是抽象的事物，若只是望文生義，沒有對概念的內涵和外延進行深層次的思考，大腦很難對它們留下深刻且正確的認識，更談不上靈活應用。受快餐文化的影響，學生在“內卷”的漩渦中通過補課的方式進行預習。因為要在短時間內把整本書提前學一遍，補習教師無法讓學生經歷知識發生、發展的過程，他們往往單刀直入，直接把概念拋出來，擠出大量的時間進行解題訓練。這樣的概念教學往往逼迫學生死記硬背，無法進行自主思考。返校后，這些學生以為提前學過了，容易輕視正規課堂，不認真聽課。隨著時光的流逝，學生不是把“囫圇吞棗”式學到的數學概念徹底遺忘，就是把各種概念混淆了，從而出現迷思。而且，因為缺乏自主探索的經歷，學生的畏難情緒會越來越強烈，害怕做深層次的思維體操，自然離數學學習的真諦和快樂越來越遠。

（二）教師不懂得如何進行概念教學

幸運的是越來越多的教師開始關注并重視概念教學。但是，在初中三年數學的教學中涉及到代數、幾何、概率與統計三大類概念，一共272個概念。這些概念按照不同的方式進行定義，概念之間有著千絲萬縷的聯系。許多教師愿意在概念教學中花時間與力氣，但他們往往只關注概念的個體，缺乏數學思想方法的指導，找不到概念教學的規律與通法，無法將一塊塊的概念紅磚建成數學概念的大廈。

三、利用數學思想方法遠離“迷思概念”策略的實踐

（一）分類討論的數學思想方法在概念教學中的應用

分類討論的數學思想方法在初中數學教學中應用廣泛，也是學生比較容易理解和掌握的一種數學思想方法。在初中生剛入學階段，學生的認知水平有限。在課堂中，特別是概念教學課堂上，教師加大分類討論這種數學思想方法的滲透，學生既可以習得這一寶貴的思想方法，又可以對新學習的概念建立正確的認識，獲得成就感。筆者本著用數學思想方法指導概念課堂教學的原則，開設了一節概念課，并做了部分教學簡錄?！队欣頂怠凡糠纸虒W簡錄：

問題1：回顧一下，我們在小學階段認識了哪些數？

學生1：1，2，3…

學生2：0，，，0.2，2%…

學生3：5.331，π…

教師對以上數進行分類后，繼續提問。

教師：學了負數之后，我們又認識了哪些數？

學生4：我們可以直接在剛才所列舉出來的數前面加上“-”號，也就是有-1，-2，-3，0，-，-，-0.2，-2%，-5.331，-π…

教師：你的方法很好，對負數的理解也很到位。

問題2：你會根據一定的依據，給這些數進行分類嗎？請同學們先獨立思考，然后與小組成員進行討論，并由小組代表發言。

學生5：我們小組是這樣分的：1，2，3，，，0.2，2%，5.331，π都屬于正數;

-1，-2，-3，-，-，-0.2，-2%，-5.331，-π都屬于負數;0單獨分一組。

教師：我認為這種分法可行，分類的依據是以0為基準，按照正負數進行分類，還有不同的分法嗎？

學生6：我們將這些數分成整數和小數。整數：0，1，2，3，-1，-2，-3…小數：，，0.2，2%，5.331，π，-，-，

-0.2，-2%，-5.331，-π…

教師：你可以告訴我們，所謂的整數是什么？

學生6：像1，2，3…這樣的數是正整數;像-1，-2，-3…這樣的數是負整數;正整數、0、負整數統稱為整數。（教師板書）

教師：小學的時候把像0，1，2，3這樣的數稱為整數，引入了負數之后，我們對數的認識擴充了，你能立足于小學的知識，跟我們分享你對整數的全新理解，做到了活學活用。

教師：小數怎么理解呢？

學生6：小學時學習的小數屬于正小數，在正小數前添加了“-”號后就變成負小數，正小數和負小數統稱為小數。

教師：你這個分法很有價值，還有不一樣的分法嗎？

（其他小組發言后，師生一起點評。）

教師：我們一起觀察，，0.2，2%，5.331，-，-，-0.2，-2%，-5.331這些數，它們除了是小數，還有什么特點？

學生7：我發現，這些數都可以化成分數的形式。

教師：確實，這些數都可以寫成兩個整數比的形式——（p，q都是整數，q≠0）。我們稱之為分數。其中，像，，

0.2，2%，5.331…這樣的數稱為正分數，像-，-，-0.2，-2%，-5.331…這樣的數稱為負分數，正分數與負分數統稱為分數，而整數和分數統稱為有理數。（教師板書）

學生8：老師，請問π屬于什么數？

教師：你這個問題問得很好，π屬于整數嗎？

學生8：π不屬于，是小數。

教師：這個小數有什么特點？

學生8：π是無限不循環小數。

教師：對的，因為無限不循環小數不能寫成（p，q都是整數，q≠0）的形式，所以也就π不屬于分數，自然就不屬于無理數了。而無限循環小數是可以化成（p，q都是整數，q≠0）的形式，屬于分數。將來，我們會學到π是屬于有理數外的另一類數——無理數。

“有理數”這一詞從西方傳過來，英文名叫rational number。雖然rational通常的意義是“理性的”，但這個詞來源于古希臘，就是“可比”的意思，所以rational number應理解成整數的“比”。其實，我們可以將整數化成整數比的形式，如，2化成的形式。

教學思考：整個概念產生的過程，學生的參與面廣，熱情度高，能積極參與到數學活動中。在經歷了若干次對數進行分類的探索后，學生體會到了分類討論數學思想方法的奇妙之處，能將看似雜亂無章的數進行有序歸類，化零為整。最后，當教師介紹有理數的概念時，學生不會產生困惑和抗拒感，體會到這只是源于一種數的特殊分類。

（二）類比的數學思想方法在概念教學中的應用

人類擁有強大的學習能力，能類比過去的研究方式，創造新的紀元。正如美籍匈牙利數學家波利亞所說：“類比是一個偉大的引路人?！痹跀祵W概念的教與學中，類比的數學思想方法能起到引領的作用。例如，以二次函數的概念教學為例，學生容易在此產生迷思。教師需要關注學生已有的知識，以學生的最近發展區為目標進行組織教學。學生在八年級已經學習了一次函數，積累了一定的學習經驗。因此，教師可以先帶領學生回顧一次函數概念的研究方法，接著鼓勵學生運用類比的思想方法開展二次函數概念的研究。從具體的問題情景引入，得到若干個函數，接著觀察這些函數的共同點，最終歸納總結得到二次函數的概念（形式定義）。

當然，二次函數概念的研究過程中也體現了字母表示數的數學思想方法。若要繼續對二次函數概念進行一個更加立體的研究，師生在分類研究二次函數的圖像和性質時，要充分發揮數形結合的數學思想方法，鞏固對二次函數概念的正面認識。由此可見，一個數學概念的教學，往往需要“調動”多個數學思想方法進行指導與引領。

總之，數學概念的學習與數學思想方法的習得互相促進。數學思想方法是轉化“迷思概念”的一把利劍，但利劍何時出鞘也有所講究。教師不應刻意地將數學思想方法時常掛在嘴邊，而是以“隨風潛入夜，潤物細無聲”的形式，讓學生在經歷一次又一次的數學活動過程中學會掌握數學思想方法這一工具，建立正確的數學概念的認知，從此遠離概念學習迷思的苦海。

參考文獻：

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責任編輯? 陳小鳳

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