數形結合在小學數學教學中的應用研究

王先貴

摘 要： 在小學階段“圖形與幾何”的教學過程中，滲透數形結合思想，能夠更好地使學生利用以數解形的方法學習圖形。本文利用新人教版中的《長方形和正方形》《三角形的分類》以及《平行四邊的面積》幾部分內容，對數形結合的編排進行整理，概括出數形結合在“圖形與幾何”教學中的作用。

關鍵詞：數形結合;數與形;小學數學

【中圖分類號】G623.5? ? ? ? ? ? 【文獻標識碼】A? ? ? ? ? ? ?【文章編號】1005-8877（2022）06-0004-04

Research on the Application of Combination of Number and Shape in Primary School Mathematics Teaching

——Take the Teaching of "graphics and Geometry" in Primary School Mathematics As an Example

WANG Xiangui? （Gengjiazhuang Primary School， Chengguan District， Lanzhou City， Gansu Province，China）

【Abstract】In the teaching process of "graphics and geometry" at the primary school level， infiltrating the idea of combining figures and shapes can better enable students to learn figures by solving figures and shapes. This article uses several parts of "Rectangles and Squares"， "Classification of Triangles" and "Area of Parallel Four Sides" in the New People's Education Edition to organize the arrangement of the combination of numbers and shapes， and summarize the combination of numbers and shapes in the teaching of "Figures and Geometry" In the role.

【Keywords】Combination of number and shape; Number and shape; Primary school mathematics

數形結合思想簡言之就是把抽象的數量關系和數學語言轉換成直觀的幾何圖形或位置關系，從而更便捷地解決問題。數形結合可以分為三種類型：以形助數，以數解形，數形互依。以形助數是指借助圖形的直觀來闡釋數的抽象;以數助形是通過數的精確來闡釋圖形的某種性質;數形互依是借助數與形之間進行的等價轉換來解決數學問題。

在小學數學“圖形與幾何”中，圖形的定義一般都含有圖形的數量關系，如“由3條線段圍成的圖形（每相鄰兩條線段首尾相連）叫作三角形”，“封閉圖形一周的長度，是它的周長”……這些圖形的定義都是圖形的“數”及數量關系的描述，而單純地描述這些數學語言無法讓學生聯想到相應的圖形。因此，在認識數學圖形時，可以利用數形結合在學生腦海中建立圖形與相應數量關系的橋梁，通過數形結合將復雜、抽象、難懂的數學問題形象化、簡單化，開闊學生的思維視野，使學生的思維更加清晰，形成數學思維，掌握數與形之間的對應關系，從而提高學生的數學綜合素養。

1.數形結合在圖形認識教學中的應用

小學階段學生的認知水平、理解能力還處于發展階段，相比成年人較差，在理解與學習抽象的數學知識時缺乏自主理解能力與自主意識，在分析問題時需要在教師的啟發與引導下才能理解與掌握新的內容，但如果在教學中教師使用直接講解的方式，將數學問題的解答方式與運算過程直接講解出來，對學生的思維能力、邏輯能力有一定的限制性，學生只是跟著教師的思路分析問題，并不能完全理解如何運用已學知識解決實際問題，且學生也無法學會轉換思維，對學生學習效率及數學核心素養的發展十分不利。而數形結合使抽象的概念直觀化，幫助學生轉換思維，因此，在教學中教師應注重根據教學內容，合理運用數形結合的方式開展教學，將教學中抽象的數量問題轉化為圖形進行講解，或使用以數解形的方式幫助學生樹立知識，構建知識結構，使學生更加清晰地了解圖形中的數量關系，將圖形與數量關系聯系起來，構建完整的知識體系。在小學數學“圖形與幾何”的教學過程中，總能用到以數解形的方法。例如，在學習《長方形和正方形》時，如果在教學中只告訴學生正方形的四條邊，四個直角都相等這些復雜的數量關系，并不能在學生腦海中形成相應的圖形，圖形的特征也不能與數量關系相結合，這時候就需要用“形”來進行直觀的表現。如在教學時，先讓學生找一找、說一說分辨正方形與長方形與其他圖形的區別是邊數的多少，再讓學生對正方形和長方形的邊和角進行測量，得出邊與角的數量關系，并比較得出正方形和長方形邊和角之間的相同和不同。通過以上一系列的操作，將“數”與“形”結合起來，使學生通過觀察、比較將正方形和長方形的數量關系與圖形結合起來，培養了學生的圖形思維能力。

然后通過在格子圖中畫長方形和正方形，在學生動手的過程中再一次直觀地感受“數”與“形”相結合的過程，經歷由圖形——數量關系，再由數量關系——圖形的過程，讓學生充分體驗到圖形的數量關系與圖形之間是相輔相成的。用剪一剪的方式，讓學生在一張長方形紙上剪出一個正方形，讓學生感受數量關系的變化導致圖形的變化。不僅區分了正方形和長方形數量關系的不同，更讓學生體驗數量關系的變與不變能引起圖形的變化。

因此在“圖形與幾何”的圖形概念教學過程中，要有針對性地選擇所學圖形和數量關系相結合的數形結合思想進行講解。把復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，從而實現學生認識圖形的目的。

2.數形結合在圖形的特征教學中的應用

《三角形的分類》一課屬于“圖形與幾何”的范疇，在教學開始時直接引入話題，讓學生觀察圖形。在這個過程中，學生歸納總結了不同種類的三角形。從不同的角度挖掘學生的潛力，讓學生在運用數形結合思想的同時感受不同三角形的數量關系的不同。下面就以《三角形的分類》教學片段為例，闡述數形結合在“圖形與幾何”教學中的作用。

（1）數形結合，感受分類標準

同學們看看，老師手里的圖形都是什么形狀？

逐個出現7個三角形。

預設：等邊三角形、對角三角形、直角三角形……

都是三角形，它們完全一樣嗎？

通過對7個三角形的比較，感受不同三角形的邊和角的不同，通過觀察和比較，測量出不同三角形的數量關系。通過“數”的不同對三角形進行分類。

（2）數形結合，自主分類

請同學們拿出紅色學具袋中的三角形，想一想，你能對這些三角形進行分類嗎？

要求：①自己動手分類。②想一想你為什么這樣分？

學生小組合作分類擺放。

老師的三角形和你們的三角形形狀相同，為了讓同學們看清楚，哪位同學愿意到黑板上來擺一擺？

學生展示擺的過程。

小組匯報分類結果。

認識按角分類的三類三角形。

提問：為什么把這幾個三角形分成一類？

學生說出分類理由。

你能給每一類三角形取一個名字嗎？

在學生分一分、擺一擺、說一說和給分類的三角形取名這些數形結合的操作過程，都是通過三角形角的數量關系對圖形進行分類的。不僅在過程中體現出每個三角形數與形對應，也能在此過程中對三角形的特征有一個更深刻的認識。

3.數形結合在《平行四邊形的面積》教學中的應用

小學數學中，圖形與其數量之間的關系，不僅體現在圖形的定義、圖形邊角之間的數量關系上，還表現在圖形的公式、定理或運算法則中。比如三角形的面積=底×高÷2，將圖形的面積用三角形邊的數量關系展示出來，充分體現了數形結合中“以數解形”的方式。將圖形問題代數化，能夠幫助學生建立立體的知識結構。在運用“以數解形”的方式分析、解決圖形問題時，教師應注意引導學生正確理解圖形的運算規則，不能只是向學生講解圖形公式的計算方式，而是要讓學生理解數學題目中的數量關系與公式運用方式。同時教師在使用“以數解形”的方式開展教學時，應注重合理使用參數建立對等的數量關系，用數據作為參考分析圖形問題，以此實現以數解形，突破教學重、難點。并根據學生的特點用簡潔準確的數學描述，讓學生全面理解“形”的特點，引導學生從“數”的角度揭示“形”的規律。

又如，在《平行四邊形的面積》教學中，通過在知識點中運用“以數解形”的方法，簡要而準確地描述平行四邊形的面積=底×高。這就體現了數形結合中用平行四邊形面積與底和高之間的數量關系。學生在掌握平行四邊形的面積計算公式前，需要讓學生經歷操作、觀察、討論、分析、歸納等數學過程。

先讓學生聯系平行四邊形的面積與長方形的面積之間的關系，感受圖形之間的關系。由圖形相關數量的變化引起圖形其他的數量變化。接著讓學生數一數方格，明確平行四邊形的面積也是在單位面積的基礎上對圖形的面積進行研究，面積與單位面積的計算就轉化成為數量之間的計算。然后，讓學生拼一拼，目的是讓學生將平行四邊形的面積公式轉化為長方形的面積公式，這樣就將平行四邊形的數量關系轉化為長方形的數量關系。進而根據學生的操作歸納出了平行四邊形的面積公式。

通過以上活動讓學生體會到面積的變化引起的代數式的變化，“形”與“數”相輔相成，將復雜的圖形數量關系用簡潔的數量關系式表示，體現了數學中的簡潔，也讓學生感受到數形結合在幾何圖形學習過程中的作用。

在小學數學“圖形與幾何”部分的學習過程中“以數解形”的方法運用較多，借助“數”精確而簡潔的優勢，將“形”向“數”轉化。圖形的定義、特點、公式以及運算法則等數量關系描述“形”的特點。通過大量數形結合的活動，讓學生建立“數”與“形”之間的關系，充分將抽象思維和形象思維相結合，讓學生對圖形及圖形的數量關系理解得更深刻。

4.強化數形結合概念的教學

小學數學的學習大部分內容來源于生活，本身有很強的邏輯性和理論性，這也導致數學所涉及的概念和定理很多，學生需要在學習過程中，對這些概念進行概括。而學生的年齡比較小，自主概括的能力還比較弱，在學習中很容易出現概括不到位的情況，這對學生的學習將造成很大的影響，甚至打擊學生的學習自信。因此，在小學數學的教學中，教師要發揮自身的引導作用，幫助學生借助數形結合的方式，使一些在學習中比較抽象的概念具象化和簡單化，讓學生可以對數學概念的認知更加順利和簡單。在數形結合的幫助下，學生可以更好地把握概念的本質，從文字層面上擺脫出來，對概念和定理進行更加深刻的學習，逐漸養成學習思維。概念學習最重要的是要形成深刻的印象，很多學生在學習概念以后，沒有進行及時的復習，就很容易將相似的概念進行混淆，這是由于文字層面的限制性沒有圖像深刻。而在數形結合的教學中，學生可以看到文字向圖形過渡，在學生的內心可以形成更加深刻、持久的印象。

例如，教師在對分數的相關知識進行教學時，發現學生在做判斷題和計算題解答時很容易出錯。通過一段時間的分析，教師發現主要是因為學生對分數的概念認知還不明確，對分數的理解還停留在以往學習的整數層面。對此，教師可以在課堂教學過程中引入數形結合思想，將分數向圖形進行轉變，讓學生可以在圖形的組成構建下，對分數的概念有更加清晰和明確的認識。在實際操作方面，教師可以讓每一個學生都準備一張白色的A4紙，然后讓學生將白紙進行對折，再對折，再對折，然后將紙攤開，可以看到白紙上被分割成8個大小相等的格子。學生可以在這個格子中畫上自己喜歡的顏色，然后去計算不同顏色的格子分別有多少個。有的學生畫了5個黃色的格子，而白紙上一共有8個格子，那么黃色的格子就占了白紙的八分之五。通過這樣的方式，學生不再單純地依靠文字和抽象的理解，了解分數的概念，而是能夠在圖形的幫助下，對照所學知識，了解分數代表的含義以及作用。

5.運用數形結合，提高學生的解題技巧

數學本身的特點和性質決定了會在學習中遇到各種問題，對于習慣用思維思考的學生來說，很難理解抽象的數學知識點。在小學數學教學過程中，教師不僅要把基本的數學知識點教給學生，還應該引導學生掌握相應的解決問題的方法和技能，以便學生把解決問題的能力運用到數學問題的解決上。加深對知識點的理解和認知也是提高學生數學核心素養的關鍵，在數字和圖形結合的幫助下，教師可以簡化數學知識和數學問題的難度，讓學生在掌握規則、分析問題和解決問題的過程中找到解決問題的方法，面對帶有復雜問題解決步驟的抽象應用問題，教師應該使用數字和圖形相結合的想法，提高學生的問題解決能力。在數形結合的幫助下，學生對問題的看待方式會變得更加直觀，從不同角度對問題進行分析，提取問題中自己需要的內容，然后在自己的腦海中構建出相應的圖形，這樣可以使學生在解題的過程中更加迅速，并且把握整個問題的整體走向，讓解出的答案更加準確。

例如，教師在開展《積的變化規律》的時候，可以利用長方形面積模型幫助學生理解積的變化規律。首先，教師可以在黑板上繪制一個長方形，長10米，寬8米，然后教師再引導學生進行猜想：“學生們，當這個長方形的長不變的前提下，將它的寬擴大2倍，那么長方形的面積會發生怎樣的變化？而如果當長方形的長不變的時候，它的寬縮小到原來的1/2，那么長方形的面積又會怎樣變化？”在教師提問結束后，學生可以嘗試進行計算，根據教師在黑板上繪制的長方形進行聯想，并且提出自己的想法。在學生思考以后，教師可以通過多媒體課件的方式為學生展示，讓學生可以直觀地看到：黑板上的這個長方形的長不變還是10米，但是寬擴大兩倍，變成了16米，圖形產生了變化，根據長方形的面積公式計算，長方形的面積也隨著擴大兩倍，教師可以給學生展示變化后的長方形。而長方形的長不變，寬縮小到原來的1/2，根據長方形的面積公式計算，它的面積就縮小到原來的1/2，教師也可以展示變化后的圖形。學生在直觀的圖形變化和對比中，對“積的變化規律”的認識變得更加深刻。

6.設置情境教學，提高學生的理解效果

在小學數學教學中，應用數字與圖結合的想法需要數與形之間相互幫助。在強調“用圖形幫助數字”的同時，不能忽視“以數解形”，只有一起工作，才能更好地解決數學問題。在實際教學中，教師需要注意情境的創造，營造良好的環境和氛圍，讓學生站在相應的學習情境中，更好地理解數學知識。通過情境教學可以讓學生投入學習中更加深入，對數學知識進行更好的理解，并且在情境教學時可以將數形結合的作用發揮到最大。教師可以讓學生將數學知識轉變為圖形，再通過舉一反三的方式，將圖形轉變成數學知識，將自己學習到的知識更好的在實踐中進行體現，提高學生的知識運用能力。并且在日常學習和生活中，需要引導學生對知識進行利用和理解，形成一個良好的學習習慣，為之后的學習打下良好的基礎，培養學生良好的思維方式。

例如，在教授“時、分、秒”的知識時，可以讓學生理解時、分、秒針表示的意思，讓學生整理自己的時鐘，明確教科書標題和時鐘時間的關系。教師可以說出一些時間，然后讓學生進行時間的調試，以達到教師的要求。實踐練習后，只要學生一看到時鐘，就會在心中形成清晰的圖像，從而更容易解決與時間相關的問題。為了加深對相關知識點的理解和認知，教師應該引導學生回家后觀察鐘表以外的東西，如觀察桌子的長度和寬度，判斷其大致面積，通過測量進行驗證等。這樣，可以在學生心中形成比較穩定的印象，數字和形狀之間有密切的關系，數字和形狀的組合，可以促進數學問題的簡化，確保良好的解決方案效果。

7.結語

綜上所述，在小學數學教學中運用數形結合的方式開展教學能有效解決教學重難點問題，培養學生的思維轉換能力、抽象思維能力，教師應將數形結合方式熟練應用到小學數學教學中，使學生更好地理解抽象的數學知識，并學會運用已學知識解決問題，以此提高教學質量，促進學生全面發展。

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本文系甘肅省教育科學“十三五”規劃2020年規劃課題“數形結合思想在小學數學教學中應用的研究”（課題批號：LZ2020_000670）。

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