論“數學化、本土化”的深度學習

段海軍　馬旭

[摘? 要] 對于深度學習理念在我國的發展現狀，提出要對其進行“數學化”和“本土化”改造.由此，文章研究了融入我國數學教育界關于高效數學學習代表性觀點的深度學習理念，并定義了“數學深度學習”，進而闡述了導向數學深度學習的教學建議.

[關鍵詞] 數學教學;深度學習;數學深度學習

問題提出

教育領域中的深度學習1976年就被提出，長期在我國乏人問津，卻在近幾年乘著人工智能的浪潮變成“時髦名詞”. 討論得越熱烈就越要對其進行冷思考！一個關鍵的問題在于深度學習被提出至今，其因寬泛的內涵而多在教育理論層面被討論而未被有效實踐化，所以對其必須進行兩項改造：其一，深度學習理念需要“數學化”. 張奠宙指出：“數學教育不能離開一般教育規律的指導，但是數學教育必須研究自己的特殊規律. ‘去數學化’傾向會危及數學教育的生命.”[1]正如各學科核心素養定義的不同，每個學科“深在哪兒”也是不同的，所以深度學習必須要具體科目具體分析，即深度學習必須學科化.其二，深度學習理念需要“本土化”. 作為“舶來品”的深度學習以西方國家的經驗為原型，這些經驗無法直接毫無保留地用于我國. “入鄉必須隨俗”，否則必定“水土不服”，無法有效地指導教學甚至引起教師理念上的混亂. 那么如何實現“兩化”呢？可以采取這樣的思路，給深度學習理念融入我國數學教育界關于高效數學學習的代表性觀點，并定義它，進而再進行其他方面的探討.

深度學習定義的概述

“深度學習”（Deep Learning）這個概念最早是由在瑞典哥德堡大學工作的兩位教育心理學家Ference Marton和Roger Saljo于1976年聯名發表的《On qualitative differences in learning： I-Outcome and process》一文中提出來的.此后45年來，眾多國內學者對其進行了研究.對國內學者關于深度學習定義的研究進行梳理分析，將其分為三個時期.

第一個時期是引進翻譯期. 這個時期的代表學者是黎加厚（引進深度學習且是我國最早對深度學習進行概念界定的研究者），他在與何玲合作發表的論文中提出：“深度學習是指在理解學習的基礎上，學習者能夠批判性地學習新的思想和事實，并將它們融入原有的認知結構中，能夠在眾多思想間進行聯系，并能夠將已有的知識遷移到新的情境中，作出決策和解決問題的學習.”[2]深度學習引自國外，所以這個時期的研究者大多通過翻譯國外文獻進行研究，所以這個時期的研究成果顯得模仿意味濃厚，并且不可避免地產生了紕漏，見微知著，一些研究者把Ference Marton和Roger Saljo的國籍寫錯為美國.第二個時期是研究深入期. 這個時期的代表學者是張浩、安富海和郭華. 張浩強調深度學習的理解和認識可從學習科學和心理學中尋找到豐富的理論源泉，并主要分析了建構主義、情境認知理論對深度學習的解釋和影響，以及分布式認知理論和元認知理論對深度學習引導與調節的理論意義. 他認為深度學習是一種主動的、批判性的學習方式，也是實現有意義學習的有效方式[3]. 安富海研究了促進深度學習的課堂教學策略，并提出：“深度學習是一種基于理解的學習，是指學習者以高階思維的發展和實際問題的解決為目標，以整合的知識為內容，積極主動地、批判性地學習新的知識和思想，并將它們融入原有的認知結構中，且能將已有的知識遷移到新的情境中的一種學習.”[4]郭華系統全面地論述了深度學習的內涵和意義，他認為深度學習，就是指在教師引領下，學生圍繞著具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程[5].第三個時期是反思總結期. 這個時期的代表學者是李松林和吳永軍. 李松林認為深度學習是借助具有整合作用的實際問題激活深層動機，展開切身體驗和高階思維，促進深度理解和實踐創新，進而對學習者產生深遠影響的學習樣態[6]. 吳永軍認為先前學術界關于“深度學習”的研究以及實踐成果有一種“單向度取向”——過于關注學生大腦內部“信息加工”過程，忽視了社會文化、情感、精神以及價值過程.他呼吁超越認知心理學的局限，建構一種全域或全視角的深度學習觀. 他認為深度學習是指特定的社會文化情境中，學習者在與他人互動以及環境互動中，關注知識之間的有機聯系，最終能夠遷移并解決實際生活問題的意義生成的過程[7].

上述給出了6種深度學習的定義，提取其中的關鍵詞（例如，在黎加厚對深度學習的定義中選取5個關鍵詞：理解，批判，融入，整合，遷移;含義相近的關鍵詞進行了統一），總計25個.統計頻數大于等于2的關鍵詞，圖示如下：

據圖1可知，深度學習理念經過45年、三個時期的發展后，學者們對其的定義達成了一定的共識，深度學習理念足以在我國進入第四個發展時期——“學科應用期”.為促使深度學習理念更加明確地指導數學教學，必須給數學學科的深度學習進行概念界定，即定義“數學深度學習”.

給“數學深度學習”下定義

1. 如何定義

要基于深度學習理念的內核. 通過對上圖的分析，深度學習理念的核心就是“個體學習活動的解放”. 在學習方式上體現為“沉浸式學習”，即學習者全身心地投入學習中，學習者在學習中達到一種“無我”狀態. 正如“無我之境，以物觀物，故不知何者為我，何者為物”;在知識理解上體現為主體和客體的絕對匹配，深度學習者追求把作為客體的學習對象和作為主體的自己進行對接、調試最后到達完美的匹配狀態;在持續時間上體現為一體式的學習，深度學習貫穿學習過程的始終，貫穿學習活動的方方面面.

要融入我國數學教育界關于高效數學學習的代表性觀點. 深度學習當然主要體現為高效數學學習，但通過知網查閱發現，我國數學教育界關于高效數學學習研究的主要代表學者是王光明、史可富、涂榮豹. 從他們的研究成果中提煉了以下定義“數學深度學習”的要點：（1）把思維品質作為定義的核心. “數學是思維的體操”，這是一句耳熟能詳的名言. 史可富認為數學是關于思維的科學，學生在數學學習過程中，數學思維的形成、發展是判斷數學學習“含金量”的重要指標. 數學思維的訓練，是數學教育的本原目標，數學思維能力是高效數學學習的根本特征[8]. 所以數學深度學習的定義較之一般深度學習應該著重突出思維品質的重要性. （2）體現高效數學學習的心理特征和學習者在知識建構上的反思性.王光明的研究結論表明：“心理機制、元認知、學習策略、非智力因素和數學學習素養是高效數學學習心理特征的五個結構要素. 一位數學學習效率高的學生應當以非智力因素為學習的動力源泉，以較為完善的心理機制作為前提，以高水平的元認知作為監控系統，以有效的學習策略作為學習保障，以較高的數學學習素養作為學習過程中的思維品質的體現.”[9]涂榮豹認為反思性數學學習的優勢是可以幫助學生從例行公事的行為中解放出來，幫助他們學會數學學習，可以使學生的數學學習活動成為有目標、有策略的主動行為，可以使學習成為探究性、研究性的活動[10].

2. 數學深度學習的定義

基于上述定義思路，“數學深度學習”是指學習者在學習方式上具有主動性、鉆研性，思維品質上具有深刻性、寬闊性、延續性，知識建構上具有反思性、批判性并且學習全程體現沉浸性和監控性的數學學習方式.數學深度學習的結構大致圖示如下：

“深在起點”——學習方式具有主動性、鉆研性的數學學習. 數學深度學習的學習者真正發自內心想弄清楚數學中的定義、概念、公理、定理、公式，而并非只是死記硬背.例如同樣學習誘導公式，有學生僅僅只想記住“奇變偶不變，符號看象限”這個口訣，而并不在乎它的原理是什么. 進行數學深度學習的學生則不然，他們迫切地想搞明白知識的來龍去脈.

“深在過程”——思維品質上具有深刻性、寬闊性、延續性的數學學習. 何為深刻性？第一，數學深度學習是朝向數學本質的學習. 遠非只是關注知識，數學深度學習者一直瞄準知識背后的數學思想方法. 例如對于誘導公式，為什么要把k+α，k∈Z中的α看做銳角？數學深度學習者可以理解把α看做銳角只是在所有情況中選取了一個特殊情況，只不過此時的k+α的具體符號反映了符號的變化，本質就是一個特殊情況可以反映一般情況而已，那么就用這個特殊情況. 所以徐利治提出數學學習的“懂”分為淺懂和真懂，所謂的淺懂就是表面的懂，沒有弄明白數學概念的形成過程，沒有弄明白解決問題的來龍去脈，是“見樹木不見森林”;真懂或徹悟是對數學的理論、方法或定理能洞察其直觀背景，并且看清楚它是如何從具體特例過渡到一般（抽象）形式的. 能用自己的語言隨時把它復述出來，數學的理論、方法或定理就好像是自己發現的一樣[11]. 第二，數學深度學習是朝向普遍真理的學習. 在抽象的意義下，一切科學都是數學. 深度學習者的思維超出數學學科，尋求將數學真理推廣到一般事物. 何為寬闊性？第一，數學深度學習者具有以符號語言為中心的數學多元表征的能力. 數學多元表征是指同一個數學學習對象用敘述性（語言）和描繪性（視覺化表征）兩類本質不同的表征的多種形式所表征[12].比如對于“函數的單調性”，大部分學生都具有兩種表征，第一種是圖像的上升和下降，另一種就是文字化的定義. 但淺層學習的學生無法將單調區間上任取兩數和圖像上任取兩點對應理解，而深度學習者則可以明確. 第二，數學深度學習者注重數學的遷移應用. 深度學習強調信息整合，這種整合首先是多學科知識和多渠道信息的整合[3]. 數學是一切科學的基礎，數學能力常常是求解學科交叉問題的核心. 例如用向量的加法法則求解物理中的動態平衡問題，用概率公式求解生物中的遺傳問題，用方程法求解化學中的反應方程式配平問題. 何為延續性？數學深度學習者的思維過程是漸進學習和累積思考的結合體.數學深度學習者對一個知識模塊的深入理解不是一蹴而就的，而是需要一段甚至特別漫長的時間去消化. 他們并不在乎短期的成績，而瞄準當前心中的疑惑，所以可能因此會消耗大量的時間，通俗來說，就是常常“鉆牛角尖”，但是對于他們來說，這個時間的占用是必要的. 為直觀起見，把數學深度學習的思維結構用圖示展現，并稱其為“深度思維立方體”：

“深在結果”——知識建構上具有反思性、批判性的數學學習. 建構反思是指學習者在知識整合的基礎上通過新、舊經驗的雙向相互作用實現知識的同化和順應，調整原有認知結構，并對建構產生的結果進行審視、分析、調整的過程[4]. 反思的過程就是學生知識結構螺旋化上升的過程，從而循序漸進地接近知識的數學本質.

導向數學深度學習的教學建議

1. 堅持“四基”教育

張奠宙指出：“中國數學教育成功的關鍵在于‘四基’”[13]，“四基”是中國特色數學教育體系的核心理念. “四基”數學教學絕非忽視學生的發展，恰恰相反，打好基礎的目的就是為了獲得更切實、更有效率的全面發展，是要在良好的數學基礎上謀求學生的數學發展[14]. 而學生實現數學深度學習的前提是其基本功足夠扎實，所以一定要堅持“四基”教育，切不可“喜新厭舊”，否則就會丟失原有的優勢.

2. 傳授與數學學習相關的心理學知識

“大腦不是一個要被填滿的容器，而是一個需被點燃的火把”，但學校教學中存在太多“著急”傳授知識而無視學生心理發展的情況. 教育心理學界普遍認為，元認知在整個智力活動中處于支配地位，對整個活動起控制調節作用.數學教育界持相同觀點，認為數學元認知在數學認知過程中具有重要作用[15]. 但是很多學生根本沒有“元認知”這樣的概念，特別當學生處于深度學習狀態時，其認知負荷特別大. 所以了解一些與數學學習相關的心理學知識有利于學生對自己的數學學習進行監控、評價、調整，使其懂得“我應該怎么樣才能更好地學數學”. 因此本研究認為傳授數學學習相關的心理學知識（特別是關于數學學習心理的相關成果）可以引發學生數學深度學習，并且該策略具有很強的可行性，從事數學基礎教育的大部分教師都是師范出身，學習過一定的心理學知識.基于此，編制了如下表格（表1）.

3. 定期組織繪制思維導圖

思維導圖是反映事物聯系的良好工具. 思維導圖是用圖表來組織和闡述表達知識和思維過程的工具[16]，能直觀、形象、有效地呈現知識間的關聯、體現學生的思維過程，它具有兩大特性：可視化和聚散性. 可視化特性將學生內隱式的知識建構呈現出來，有助于學生對自己認知結構的審視和反思，而聚散性特性使得知識框架兼具發散和收斂作用[17]，既有利于培養學生思維品質的高度，又有利于培養學生思維品質的寬度. 張奠宙指出：“數學知識之間存在著緊密聯系，特別是數學知識之間的邏輯關系，但更深層次的知識聯系，是數學內涵上的發展與聯結”[18]. 所以繪制思維導圖應該以“數學本質”為主線.

4. 強調數學的跨學科應用

數學深度學習著意遷移運用. 所以建議教師在講解完數學題目后，呈現對應的數學思想方法在其他理科中的應用. 這樣的設計原因有二：首先當前國際教育發展大趨勢——STEAM教育強調知識跨界、場景多元. STEAM教育是一種基于科學（Science）、技術（Technology）、工程（Engineering）、藝術（Art）、數學（Mathematics）的跨學科教育，它倡導教學要超越學科教學的概念，注重知識與現實世界的聯系;要交叉融合各個學科，使其相互支撐，相互補充，在學科間的相互碰撞中培養學生各方面技能和認知. 其次我國近幾年高考題也開始出現學科交叉融合的題目，例如2019新課標二卷理科數學的第四題考查物理和數學的融合，2020年新課標三卷理科數學的第四題考查生物和數學的融合.

數學的跨學科應用要成為學生深度學習的途徑. 跨學科應用主要在培養學生的遷移運用能力，但是數學的跨學科應用通常被簡單化為“數學是其他科目的工具”，其應該成為學生深度學習的有效途徑，這種遷移訓練可以豐富學生對數學知識的表征.

反思

自近代以來，每當國外特別是西方的教育理論傳入我國，往往被奉為圭臬.辛亥革命后我們學赫爾巴特的“舊三中心”，五四運動后學杜威的“新三中心”，新中國成立后學凱洛夫，21世紀初，經濟合作與發展組織（OECD）率先提出了“核心素養”結構模型，我國又掀起來“核心素養”熱潮并持續到今天. 有些確實是取其精華，但是有些沒有去其糟粕，撰寫文章時大肆追捧國外一些光怪陸離沒有實踐效果的概念和理論是一種“內傷”. 批判吸收是我們對于一切學問借鑒與學習的準則，所以以后對任何自國外引進的教育理論，都要對其進行“本土化”改造后，方能為我所用.

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