以概念教學為抓手，落實數學核心素養

劉有德

[摘? 要] 隨著新教育理念的踐行，核心素養視域下的數學教育應重視培養學生的各項數學能力，對這些能力的培養是時代賦予我們的重任. 文章認為在核心素養的引領下，概念教學的實施主要有：關注概念形成，形成數學抽象;立足概念表達，建構數學模型;利用數學思想，培養直觀想象;注重概念生成，獲得邏輯推理.

[關鍵詞] 概念教學;核心素養;深度學習

概念教學屬于學科基礎性教學，教學的重心在于學生對概念的理解與應用. 在核心素養的背景下，如何創新概念教學模式，構建深度學習課堂，值得每個教育工作者深思. 本文對如何以數學概念教學為抓手，落實核心素養的相關要素談一些看法.

[] 關注概念形成，形成數學抽象

概念抽象的內容、過程與結果等，是人的思維對概念本質的再現，體現了人腦對數學內容的邏輯性的自然反應[1]. 因此，概念教學時，教師可引導學生以教材為邏輯的線索，關注概念的形成過程，為幫助學生形成良好的數學抽象能力奠定基礎.

新課標強調：教學過程中，應關注學生對基本概念與思想的掌握程度，一些核心概念或思想要注重其形成過程，并讓這種思想貫穿于教學的始終，讓學生在親歷中不斷深化理解. 但高中數學概念一般都具有高度的抽象性，教師在引導學生感知概念的形成過程時，應結合學生的認知水平，有梯度地進行引導，讓學生在具體實例中感知、抽象出概念的本質.

波利亞認為：知識的學習，最好的方式就是自主發現. 為概念教學搭建具體的模型，能有效促進概念的抽象，讓學生對概念產生直觀、形象的認識. 鑒于此，教師可通過具體事物引發學生體驗、分析與概括，讓學生自主獲得概念的屬性，為抽象概括能力的形成與創新意識的發展奠定基礎.

案例1 “任意角的三角函數”的教學

教材提出一些周期運動現象可用三角函數刻畫，但沒有具體闡述任意角的三角函數概念的形成過程，而是直接以定義的形式呈現，這會讓學生無法對其產生深刻的理解. 為此，筆者結合學生的生活經驗創設了以下情境.

如圖1，一座摩天輪的中心點與地面的垂直距離為h，該摩天輪的直徑為2r，若按照逆時針方向一直勻速旋轉，每旋轉一周需360s，一個座艙從初始位置點A出發，求該座艙運動時間與相對于地面的高度h之間的關系式.

為了讓學生體會任意角的三角函數概念的形成過程，教師可點撥學生從t=20、30、70秒時h的式子進行思考，逐步抽象出h=h+rsint的猜想，并鼓勵學生針對猜想進行分析與驗證，同時激發學生對t>90時利用該式計算與原有認知的矛盾，讓學主動發現h與t之間究竟存在怎樣的關系.

隨著探究的深入，學生對任意角的三角函數概念的形成過程有了直觀、形象的認識，從而獲得完整的概念. 此過程即數學抽象的過程，從具體事物背景中，以及圖形與圖形或數量與數量之間抽象出概念，獲得一般性的規律和知識結構. 學生的抽象能力在概念的抽象過程中得以有效發展，為核心素養的形成奠定基礎.

[?] 立足概念表達，建構數學模型

數學建模是指學習者根據實際的問題建立模型，在求解該模型的基礎上，反之用該模型再去解決其他實際問題的過程. 從某種意義上來說，數學概念其實就是最優的數學模型，概念形成過程的探索，也是建模過程的探究. 克萊因認為：任何一個模型的建構之前，都會經歷艱苦、漫長的探索過程[2]. 若認識到這一點，則學生在學習中不僅能獲得相應的知識，還能獲得攻克問題的勇氣.

案例2 “等差數列”的概念教學

問題：觀察以下數列，先填空，再說說它們之間具有怎樣的共同點與性質，并試著給它們起個名字.

①1，2，3，4，…___，…;②3，6，9， 12，…___，…;③-1，-3，-5，-7，-9、…___，-13…;④2，2，2，2，___，2，2，….

給出幾個具體的等差數列，讓學生從中發現共性特征，從而抽象出等差數列的基本特性，這為建立等差數列的概念打下了基礎. 學生從感性認識中，經歷“具體問題—總結、歸納特性—概念形成”，也就是“實際模型—抽象特征—優化模型”的過程. 反之，通過對具體模型的觀察，還可促使學生總結、提煉、歸納出概念的本質屬性.

[?] 利用數學思想，獲得直觀想象

數形結合思想是重要的數學思想之一，它可以借助幾何圖形將數量關系直觀地展現出來，也可以借助精確的數量關系，清晰刻畫直觀的圖形. 直觀想象是指學習者借助幾何的直觀特性與一定的空間想象，感知數學事物基本形態的過程. 學生對概念的認識，首先建立在對概念感性認識的基礎上，然后結合生活實際，通過觀察、分析、提煉來認識概念.

數形結合思想在概念教學中的應用非常豐富，學生對圖形的認識一般經歷從整體出發，到對局部的認識，或從特殊出發，到對一般的認識. 利用數形結合思想開展概念教學，一般遵循直觀感知、合作探究、思辨論證、提煉抽象幾個步驟.

案例3 “兩直線垂直的條件”教學

在學生的認知中，滿足兩直線垂直的條件為：若直線l，l的斜率分別為k，k，則kk=-1是這兩條直線垂直的充要條件. 至于該結論的幾何意義，一直未引起學生的注意. 為此，教材中特以幾何圖形的方式，呈現出以下解釋：

如圖2，設直線l，l的斜率分別為k，k，且l⊥l，那么k=tanα=;k=tanα=tan（180-α）=-tanα=-，也就是k·k=-1.

將此過程進行逆推，也就是已知k·k=-1，即可獲得l⊥l. 由此可獲得以下兩個結論：若兩條直線l，l都存在斜率（不為零），則有l⊥l?k·k=-1;②沒有斜率的直線和斜率為零的直線是垂直關系.

這種表達能讓學生更加直觀形象地認識并理解兩直線垂直的條件，為知識的靈活應用奠定基礎. 而學生的直觀想象能力也在數形結合的探索中得以有效發展，為核心素養的形成夯實了基礎.

[?] 注重概念生成，獲得邏輯推理

概念是發展學生思維，促進學生各項數學能力形成的基礎，也是學生形成良好判斷能力與邏輯推理的起點[3]. 概念的生成需要嚴密的邏輯推理能力作為支撐，它對培養學生的數學思維具有重要作用.

案例4 “線面垂直”的概念教學

對于此概念，學生本就有一定的感性認識，如橋柱與水面的位置關系、路燈與地面的位置關系等，從這些生活實際中很容易抽象出線面垂直的直觀形象. 雖說對此概念的理解比較容易，但抽象此概念的思維歷程還是有一定難度的. 為了實現概念的有效生成，以培養學生的邏輯推理能力，筆者設計了以下幾個遞進式的教學活動.

1. 用線刻畫線面垂直的關系

首先引導學生回憶直線與平面之間的位置關系存在哪幾種，常見的有線面相交、線在面內與線面平行三種，從而感知線面垂直為特殊的線面相交關系. 但怎么才能刻畫出“不斜”的線面關系呢？有學生認為垂直或90°的線面關系是“不斜”的. 那么這個直角的頂點在哪里？邊又在哪里呢？學生帶著這樣的思考，進行下一步的探究.

2. 線與平面上的線存在垂直關系

實驗：①如圖3，立放于桌面的書本，書脊、頁面所在的直線與桌面的交線垂直;②如圖4，將一張卡紙進行對折，微張立于講臺上，卡紙形成的折痕PQ所在的直線和紙張落于桌面的線段a，b所在的直線垂直;③如圖5，將直角三角尺斜立于桌面，一條直角邊a位于桌面，另一條直角邊b與邊a平行的所有直線均為垂直關系，但邊b所在的直線與桌面并非垂直的關系.

以上幾個探究活動，讓學生從直觀中逐漸推導出線面垂直的準確概念. 從此推導過程來看，概念的邏輯推理涉及名稱、例證、性質與定義四個方面，其中例證涵蓋了正例與反例. 一般正例利于學生確定所學概念的內涵，反例可反映出概念的非本質屬性，概念的內涵與外延則在正例、反例的應用中有效生成，邏輯推理能力也由此得以發展.

總之，核心素養視域下的數學概念教學，不僅能促使學生更好地理解與掌握概念的內涵與外延，還能有效地調動學生學習的主動性，讓學生充分發揮其學習的主體性作用，形成可持續發展的學習能力.

參考文獻：

[1]? 李興貴，王富英. 數學概念學習的基本過程[J] .數學通報，2014，53 （02）：5-8.

[2]? 科斯塔，卡利克. 思維習慣[M]. 李添，趙立波，張樹東，胡曉毅，等譯.北京：中國輕工業出版社，2006.

[3]? 史寧中. 學科核心素養的培養與教學——以數學學科核心素養的培養為例[J]. 中小學管理，2017（01）：35-37.

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