以形析質 深化認知

摘 要：數學是一門邏輯性比較強的學科，初中數學教師在開展教學工作時，既要使學生理解、掌握基本理論知識，又要對學生的數學能力做出充分培養.在此期間，教師根據學生初中生幾何直覺觀察能力所處的真實水平，并進行有意識的指導，將起到對學生知識構建與能力發展的促進作用.基于這一認知，文章分析了幾何直覺觀察能力的內涵，提出了初中生數學幾何直覺觀察能力構建的指導原則，并給出建立于基本指導原則之上的具體操作策略.

關鍵詞：初中數學;幾何直觀;教學方法

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）05-0002-03

收稿日期：2021-11-15

作者簡介：朱來娟（1979.12-），女，中學一級教師，從事初中數學教學研究.

在新課程標準中，對數學教師進行數學教學，提出了注重學生數學能力培養的要求，并希望教師能夠利用行之有效的舉措，幫助學生在數學能力方面有所建樹.幾何直觀能力作為學生應當掌握的能力之一，自然也要得到教師的重視.一些理論研究和教學實踐證實：利用對學生的幾何直觀能力的培養，能夠讓學生在數學學習興趣激發、學習積極性調動、將抽象內容和直觀形象相關聯等多個方面展現出較強優勢，最終實現以形析質、深化認知目標.為此，建議初中數學教師做好這方面的探索工作，給學生提供基于正確原則的、可操作性更強的直觀能力養成機會.

1 對于幾何直觀能力的認知

夸美紐斯（Comenius）、裴斯塔洛奇（Pestalozzi）等人都非常重視直觀主義的應用價值，而在我國教育領域，一般也會認可直觀主義在能力建設方面的實用性，并認為：直覺觀察可從感覺具體對象中，了解到與之相對應的抽象化的、理想化的本質內容，是一種由表及里的認知能力.或者也可以認為：建立于數學學科之上的直觀，實際上是一種對概念或者證明的直接把握.總之，無論是國外還是國內，無論是從學科整體還是具體到數學領域，對于直觀的解釋，都不排除從淺到深的認知規律，只是因為研究主體和研究對象存在區別，所以這種直覺的把握，在水平上存在高低不同而已.

具體到初中數學學科，普遍認為本學科的邏輯嚴謹性特點應當值得重視，同時要對其演繹特點給予高度關注.但與此同時，我們也應該留意到：數學的歷史發展進程，也表現出了人類對于數學的認識過程，這種過程既是動態的，又是直觀和邏輯二者之間互為表里的.也就是說，數學學習過程與數學應用過程，并不能排斥幾何直觀能力，甚至如果離開直覺觀察能力，會使學習與應用效果受到限制.

初中生幾何直觀能力培養所涉及到的圖形，含義是豐富的，內容也非常廣泛，它不僅僅局限在傳統意義上的幾何圖形，也可以包括比較常見的平面圖形、立體圖形，還有其他諸如表格、框圖、數軸、坐標系、直觀素材，等等，圖形代為處理的問題，也遠遠不能被數量關系所局限.初中數學教師利用圖形開展描述問題、分析問題的指導工作，把復雜數學問題變得簡單化，讓學生擁有更多的探索與解決數學問題的機會.特別是教師有意識地進行幾何直觀能力培養努力，更是會讓學生通過直觀且形象的形式，展開對于數學概念、定義、公式、法則等的主動理解與應用.

2 初中生幾何直觀能力培養的原則

強化學生幾何直觀能力，是初中數學教師的職責所在，教師在相關教學方法設計時，應當基于幾個基本原則.

2.1 堅持思維引導原則

為改善學生在幾何直觀能力方面的表現，需要教師始終在教學期間留意思維引導原則的導向性.初中生在思維方面比較活躍，這一特點對于教學有利也有弊，若教師不能正確干預和引導，學生便會因為思維分散而影響到學習效果.教師只有考慮及此，讓直觀能力培養期間的思維引導方向不偏、力度不減，才能促進學生在認知理解方面、方法應用方面持續進步.

2.2 突出創新應用原則

培養初中生的幾何直觀能力，需要教師在教學時多進行教學創新的嘗試，包括教學觀念創新、教學方法維新、教學資源革新等，都是值得重視的方面.例如在基本概念形象化展示時，教師借助多媒體技術手段的作用，便是比較典型的例子.這些創新性舉措，會有效破除傳統教學課堂的局限性，牢牢吸引學生注意力，使之自覺配合教師教學行為，增進對于教學內容的把握效果.

2.3 關注豐富拓展原則

初中數學教師在培養學生的幾何直觀能力時，需要在教學時突出教學內容的豐富與拓展可能性，使學生借此機會，達到對于教材內容的充分理解和延伸探索理想效果.這一原則的應用，需要教師同時關注教學內容是否有深度、教育思想與教育方法是否符合學生心理發展特點等問題，而此原則同思維引導原則、創新應用原則的相互協調，則會讓學生對于幾何直觀能力進行更準確的把握.

3 初中生幾何直觀能力培養的思路

3.1 基本數學概念的形象感知

概念是初中生數學學習的根本，概念學習對于學生而言又具有較大難度，其原因通常在于抽象內容和學生形象思維特點之間不易化解的矛盾.此時，教師可以借助現代信息技術手段，將數學概念用利于幾何直觀的形象展示出來.

例如當面對“垂直”這個概念時，教師可以給大家播放一段中國小將全紅嬋的跳水比賽視頻，然后向大家提出問題：“當運動員跳入水中的時候，水花非常小，她是怎樣做到這一點的？”很多學生都會給出答案：“她的身體保持了垂直，其他運動員沒有她做得好.”老師可以順勢引出垂直概念，以利于學生理解所學知識.這個例子側重于說明學生學習數學時直觀的優勢，例子是傾向于真實形象的，而為了突出教學效果，教師還應當讓直觀更加貼近于幾何知識，也就是通過傳統的，或者現代的教育技術，將比較直觀的、與幾何知識相關的內容直接呈現出來，讓學生樂于參與其中，并由此建立對于概念的準確印象.

3.2 數形結合方式的有效運用

數與形是初中數學教學時，兩個極為重要的、互相關聯的組成部分，若想更好地了解數學、弄通數學，需要幾何直觀能力的支持，而這項能力的取得，同樣可以從數形結合的角度入手.例如，下面的問題：目前已知正實數X，求y=x2+4+（2-x）2+1最小值.從表面看來，本題較復雜，學生在只知道X為正實數條件下，不知道該怎樣著手解決.此時，教師可以從幾何直觀角度著眼，并讓學生的數形結合功能被激發出來.

據此教師可逐步啟發學生明確：兩點間距離公式P（x1，y1），Q（x2，y2）

PQ=（x1-2）2+（y1-2）2

y=（x-0）2+（0-2）2+（x-2）2+（0-1）2

在此之后，明確P（x，0）至 A（0，2）二者之的距離;P（x，0）至 B（2，1）二者之間的距離，同時注意到y為P（x，0）到 A（0，2）與B（2，1）兩點距和，因此可用對稱軸求得最短距離方式完成本題計算.在本題中，正是因為幾何直觀時的形與數相結合，才讓問題迎刃而解.3.3 構圖想象能力的順勢激發

應該說，構圖對于處理數學問題具有重要的推動作用，在數學發展史上，不乏這方面的經典案例，像歐拉利用構圖方式，將哥尼斯堡七橋問題順利化解掉，笛卡爾利用構圖方式發展了解析幾何.在初中數學教學中教師從問題特點出發，以幾何直觀能力為歸宿，使學生的構圖想象能力被順勢激發，在此過程中，把原本內隱的構圖做顯性化調整，會給學生以極有啟發意義的提示.此外，在初中數學教學時，教師既有引導學生讀圖、識圖的必要性，又有使之接受根據問題特點進行構圖指導的必要性，兩項工作有機融入于幾何直觀能力培養思路中，保證教學目標的進一步優化.構圖是一種極有意義的思維建構形式.教師可帶領學生找準構圖要素、明確構圖順序，在幾何直觀能力養成目標指引下，靈活調整構圖方式、發展構圖能力.例如，當接觸到勾股定理的內容后，教師可以利用尺規作圖的形式，將問題呈現在大家面前：請嘗試比較1+ 2與10的大小.此題表面看來是單純的代數問題，然而因為2、10二者均為無理數，直接比較大小難度較大.看到此題時，有學生表示：因為數軸上面的每個點都可以表示一個數，換言之，也就是每個數均能夠在數軸上加以表示.那么是不是可以利用勾股定理構建直角三角形的做法，直接在數軸上呈現出無理數呢？有了想法后，學生便可以動手畫圖，將圖形構造出來，用于處理實際的問題.在此過程中，學生的幾何直觀能力被有效激發，同時構造圖形的過程本身也使得問題被從復雜轉化成簡單，從陌生轉化為熟悉.

3.4 直觀啟發的層次漸進

教師在對初中生幾何直觀能力的培養過程中，應當以教材為中心，進行漸次遞進式的教學設計，讓學生的幾何直觀能力擁有有序發展的機會.具體講，從學生學習層面分析，幾何直觀能力無法自發形成，即便有前述基本概念、數形結合、構圖想象等方面的指導，也不容易達成理想效果.這一問題的解決，需要一個過程，也就是需要教師通過循序漸進的引導，讓學生分步驟、分層次地接受啟發，完成能力構建的最終目標.例如，教師可讓學生首先直觀基本圖形，產生對于此類基本圖形的幾何直觀印象，像看到a（b+c）會聯想到長方形面積，看到|a-b|會聯想到兩點在數軸上的距離等.之后，可進行從圖形表征得到解決問題的深層信息的難度提升訓練，并讓訓練難度呈階梯式遞進.

直觀，以及建立在直觀基礎之上的學習行為、解決問題活動等，具有理性的、邏輯的思維、行為所難以取代的作用，這一點對于其他學科如此，對于初中數學學科同樣如此.應該說，幾何直觀是數學之中生動的、持續增長的、充滿迷人魅力的課題之一，其在內容上、方法上的探索，將遠遠超過對于幾何圖形本身的探索價值.本文正是基于這一認知，率先分析了幾何直觀能力的內涵，提出了初中生數學幾何直觀能力構建的指導原則，并給出建立于基本指導原則之上的具體操作策略.

參考文獻：

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[責任編輯：李 璟]