淺談數學概念教學四個要點

薛少滿

摘 要：數學概念是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，即一種數學的思維形式。在數學中，作為一般的思維形式的判斷與推理，以定理、法則、公式的方式表現出來，而數學概念則是構成它們的基礎。對于不同的數學概念，我們教師如何采取不同教學方法，在數學概念的教學過程中讓學生更好地正確理解并靈活運用數學概念，這是學生掌握數學基礎知識和運算技能、發展邏輯論證和空間想象能力的前提。

關鍵詞：數學概念;概念教學;橢圓概念

數學來之于生活而又高于生活，所以數學概念具有抽象性與具體性。中學數學概念無論如何抽象，實際都有它的具體內容和現實原型。在教學中，要注意學生的生活經驗與動手操作能力的培養。下面以《橢圓及其標準方程》這節課為例，淺談數學概念教學四個要點。

一、概念的引入

概念的引入，通常有兩類：一類是從數學概念體系的發展過程引入，一類是從解決實際問題出發的引入?！皺E圓及其標準方程”這節課，著重從實際問題引入，通過創設實驗活動，培養學生動手操作能力，讓他們在親自體驗實踐中形成數學概念。教師根據學生情況可以創造不同實踐，供參考實踐活動一：通過傳統作圖方法展示橢圓作圖過程，也就是在黑板上固定兩個小鐵釘設為點F1和F2，一根無彈性細繩繞在一支粉筆（M點）上。拿著粉拉直細繩，在黑板上畫出動點M的軌跡，即可得到橢圓，并且通過變動兩個小鐵釘的位置，或者改變細繩長度，可以得到不同離心率的橢圓。優點：這種“傳統”的引入方法，具有極強的生命力，說明其存在的合理性。缺點：體現不出與已學的圓之間的關系。

實踐活動二：在現代教學中，多媒體已經深入課堂，教師可通過信息技術展示橢圓的生成過程，下邊以“幾何畫板”為例展示，如圖1：

構造步驟：

（1）作一半徑為2a的圓，在圓上取一點B，P，連結OB、OP;

（2）在線段上取一點A（點A為線段OB上的動點），連結AP;

（3）作AP的垂直平分線，交OP于點M;

（4）把點M定義為動點P的“跟蹤點”，即可得點M的軌跡為橢圓。

繪圖原理：圖中|MO|+|MA|=|MO|+|MP|=2a，滿足橢圓定義，同時可改變點A在線段OB的位置，得到不同離心率的橢圓。

優點：可以通過動畫直觀生動地突出突橢圓軌跡的生成過程，同時移動點A與點O重合就是圓，與B重合時就是線段OB;缺點：學生只能坐著看教師的整個操作過程，被動接受橢圓的概念。

實踐活動三：每個學生準備一張圓形紙片，做一個折紙游戲，要求如下：

（1）在圓形紙片內取異于圓心F1的定點 F2;

（2）將圓形紙片的邊緣向內折疊，使圓形紙片的通過定點F2，或者說使原紙片邊 緣上的一點A與點F2：重合（圖2）;

（3）每取一次點A就得到一條折痕;

（4）通過不斷地操作，使折痕足夠密集（圖3、圖4）。

優點：有一定的新意，能有效激發學生的探究熱情;缺點：折痕只能得到一個近似的橢圓，教師還要對這個游戲進行有效抽象。

不管進行怎樣的實踐活動，教師首先對自己所教學生的學情進行學情分析，選擇適合他們思維起點的實踐活動，進行有效教學。

二、概念的形成

通過創設一種活動情境，實踐活動引導學生親自實驗或通過現代教育技術手段演示及自己操作（如“幾何畫板”）對數學概念有一個感性認識，去領悟數學概念的形成，然后再通過理性分析與理解概念的形成?；貧w《橢圓及其標準方程》一節，通過實踐活動，學生已對橢圓有了一定的感知認識，教師可再設置一定的思考問題，讓學生在思考中慢慢形成概念，橢圓的定義可以與以前已學圓的概念類比，設計問題。圓的定義：在一個平面內，到定點距離等于定長的點的軌跡叫做圓。

問題一：通過一個定點可作得一個圓，作得一個橢圓，通過幾個定點？

問題二：圓上的點到定點的距離等于定長，那橢圓上的點也有類似的特點嗎？

問題三：當橢圓的兩個定點慢慢靠近的時候，橢圓的形狀有什么變化？

問題四：當兩定點重合一起時得到一個什么圖形？

問題五：剛才作出橢圓圖形的時候，我們觀察到繩子的長度比兩定點的距離大，如果繩子長度等于兩定點距離長時能作出一個橢圓嗎？如果不能，只能作出什么圖形？

問題六：如果繩子小于兩定點距離長時能作出什么圖形？

衡量一名學生是否掌握一個概念的本質不在于能否用簡單的語言將數學概念表達出來，而是要真正理解概念的內涵和外延。因此，在概念的教學中，教師要指導學生反思概念形成的過程，深刻理解概念的本質特征。上述通過層層設問，學生通過思考，形成嚴謹的思維，到底滿足怎么樣條件的情況才能得到一個橢圓，從而形成橢圓概念。

三、概念的概括

通過實例或實踐活動，引導學生思考，進行討論，從而形成概念。因此，數學概念的形成實質上是抽象出數學對象的共同本質特征的過程。再看《橢圓及其標準方程》一節，橢圓的概念是發生式定義，教師還要對橢圓概念概括，明確概念，完善概念。

（一）給出課本橢圓概念的描述：“平面內到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距”。

（二）總結問題探究：

（1）若常數大于|F1F2|， 則點M的軌跡是（橢圓）;

（2）若常數等于|F1F2|，則點M的軌跡是（ 線段）;

（3）若常數小于|F1F2|，則點M的軌跡是（不存在）。

（三）進行橢圓的軌跡方程的推導（數學運算也是數學素養的一種）：

（1）建系;（2）設點：M（x，y）;（3）列式;（4）代坐標;（5）化簡，整理。

在概念的概括過程中，除了理解橢圓概念，還要掌握橢圓方程，而橢圓的軌跡方程的推導有些費時間，但提高運算能力，這也是學好圓錐曲線的重要部分。有個別教師可能為了省時，跳過推導，直接給出橢圓的標準方程，這個推導運算量大，教師可以根據學生的情況，進行引導式推導，從而提高學生的運算能力，使學生掌握求軌跡方程類問題的推理能力。

四、概念的應用

學生對概念理解與否，最后還要做相關習題來方法檢驗，通過檢驗才能了解學生掌握知識的情況，通過運用所學知識解決問題，才能使學生更深刻理解所學知識，靈活運用所學知識。而教師選取合適、典型的習題也是一節課的關鍵。

《橢圓及其標準方程》一節，根據教學要求：（1）理解橢圓概念和會求橢圓標準方程;（2）能利用橢圓概念解決一些簡單的問題。選取課本例題：已知橢圓的兩個焦點分別是（-2，0），（2，0），并經過，求它的標準方程。通過分析，可引導學生用兩種方法解答。法一：可由橢圓定義先求出2a，又已知c，故可求出方程;法二：由焦點坐標知道a、b關系，再將已知點代入橢圓方程。設計意圖：檢驗橢圓概念理解掌握情況，以及兩種標準方程形式的判別。堂上學生練習：

設計意圖：檢驗是否會求兩種橢圓標準方程。

恩格斯說過：“在一定意義上，科學的內容就是概念的體系?！睌祵W就是由概念與命題組成的邏輯體系，而數學概念就是整個邏輯體系里面的細胞，只有教師重視數學概念教學，才能使這些細胞賦予生命。

參考文獻：

[1]李一鳴.“橢圓及其標準方程”教學設計[J].中學數學教學參考，2018-12.

[2]張廳劍.數學概念教學的誤區及對策[J].中學數學教學參考，2016-12.