注重數學觀察能力培養促進數學思維能力提升

謝永

[摘? 要] 在新課改的推動下，數學思維能力的培養已成為數學基本教學目標之一，而觀察能力作為一切思維活動的開端自然發揮著不可估量的作用. 文章結合具體案例分析了觀察能力在解題中的重要應用，并闡述了培養觀察能力的一些注意事項，以期通過培養觀察能力促進學生提升思維能力和解題能力.

[關鍵詞] 觀察能力;思維能力;解題能力

現行教學中，受傳統教學模式的影響，大多數學生習慣模仿和套用，致使觀察能力薄弱. 為此，在數學教學中教師要注重學生觀察能力的培養，尤其在解題教學時應給學生足夠的時間去觀察和思考，通過觀察全面了解題設信息，充分挖掘已知和結論中隱藏的內在聯系，通過聯想、簡化、類比掌握問題的本質，進而調用已有認知和已有經驗處理信息，從而成功解決問題.

當前，部分學生對觀察能力的認識明顯存在不足，認為觀察是一種被動的、消極的、缺乏目的的淺顯認知，然實際上觀察能力在指引學生主動獲取題設信息，引導學生有目的、有選擇地制定解題計劃時發揮著重要的作用，其是運算能力、思維能力等綜合能力開發的基礎，是重要的思維活動之一，在提升學生解題能力、思維能力等方面發揮著不可替代的作用. 文章以一道高考真題為例，淺談了觀察能力的重要性及培養中應注意的一些問題，以期共鑒.

例題 給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為120°. 如圖1所示，點C在以O為圓心的圓弧AB上變動，若=x+y，其中x，y∈R，則x+y的最大值是________.

[?] 整體觀察，統籌全局

解題前應先從整體入手，通過觀察題目全貌找到知識模塊間的聯系，通過全方位觀察認清問題的本質，進而找準解題方向，成功解決問題.

求解本例題：以點O為坐標原點，OA所在的直線為x軸，建立如圖2所示的平面直角坐標系，則點A（1，0），B

-，

，=

x-y，y

，又

=1，所以

x-y

+

y

=x2+y2-xy=1.

本例題中的向量猶如架設于代數和幾何圖形之間的橋梁，溝通彼此，解題時借助于坐標使問題變得形象化、準確化.

[?] 挖掘隱含的條件，培養觀察的深刻性

解題時要注意觀察題設的整體結構，挖掘隱含條件，根據題設中的某些數學特征或結構特征尋找解題的突破口. 學生在解題時之所以常出現“懂而不會”的現象往往就是缺乏觀察，對題設的挖掘深度不夠，不能抓住問題的本質，因而不能從題設的數字特征和結構特征中發現隱含的條件，然解題思路往往蘊含在隱藏的數量關系中，因此培養學生的觀察能力應注意培養觀察的深度.

對于本例題，觀察題設中的“給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為120°”，得

=

=1，∠AOB=120°;由“點C在以O為圓心的圓弧AB上變動”，可挖掘隱含條件

=1;又=x+y，容易聯想到

2=（x+y）2=（x）2+（y）2+2xy=x2+y2-xy=1.

通過觀察與分析得到了x2+y2-xy=1，為求x+y的最大值，需要將已知與結論建立聯系，繼續觀察題目的結構特征. 若將x，y看成單獨的兩個變量，顯然不能將已知與結論有效串聯;重新觀察題設結構，由x2+y2，xy，x+y自然可以將x2+y2轉化為x+y和xy，即x2+y2-xy=（x+y）2-3xy=1. 至此可以通過均值不等式繼續求解，即3xy=（x+y）2-1≤，解得x+y≤2.

這樣通過對已知條件的解讀和未知條件的挖掘發現了“x2+y2-xy=1”這一數量關系，使問題逐漸向熟悉的認知轉化. 在解題時要善于將題設的文字信息轉化為符號語言或圖形語言，這樣借助于兩者的簡潔性和直觀性等特點更方便學生理解題意，進而發現解題方法.

[?] 觀察結論，尋找新思路

上面通過題設的結構特征挖掘了隱含條件，一步一步觀察，一步一步聯想，最終結合已有經驗應用均值不等式得到答案. 為了拓展思維，可引導學生從結論出發，借助于解題通法在已知中尋找關聯條件，進而找到解題的切入點.

本例題求解的是x+y的最大值，而求最值問題常需要利用函數的值域或最值，此方法是求最值問題的一個通法，那么轉化為函數問題則需要尋找一個變量，將結論轉化為含有這個變量的函數. 觀察已知，可以設∠AOC=α（0°<α<120°），進而將x+y轉化為關于α（0°<α<120°）的函數.

結論往往是解題中的重要已知，通過結論進行反向思考和推理往往會獲得意外的驚喜. 另外，從結論出發使求解更具目的性，進而使轉化過程更有針對性. 為此，解題時應認真觀察結論，沿著結論的脈搏不斷聯想和轉化，使觀察更具目標性，提升轉化效率.

[?] 觀察圖形，正向遷移

通過對結論的觀察和分析，可以利用函數進行求解，那么如何將結論與變量建立聯系呢？為了使幾何問題向代數問題轉化，在解題時可以借助于圖形，通過“數形結合”的思路實現這一轉化.

對于本例題，將結論與變量建立等量關系最直接的手段就是利用三角形. 如圖3所示，過點C作CQ∥OA，CP∥OB，分別交OB，OA于點Q，P.

設∠AOC=α，又=+=x+y. 在△OCP中，根據正弦定理可得==，即==. 所以x+y=sinα+sin（120°-α）=sinα+cosα=2sin（α+30°）. 因為0<α<120°，當α=60°時，x+y取最大值2.

對于本例題，通過觀察結論確定了求解方向，觀察圖形并充分利用“平面向量和的夾角為120°”這一特點構造了平行四邊形，進而得出∠CPO為60°，再得出△CPO的三個角分別為α，120°-α，60°. 三者的關系確定后，應用正弦定理輕松地實現了問題的轉化. “數”與“形”往往相互結合、相互轉化才能使問題越來越直觀，越來越嚴謹. 因此，要培養學生的學習能力，發展學生的數學思維就必須重視數形結合思想的培養，在日常教學中讓學生多觀察，提升學生讀圖和識圖的能力，引導學生能夠根據圖形特點巧妙地構圖，讓直覺思維成為解題的重要武器. 學生讀圖、識圖、作圖的能力增強了，自然空間想象能力也就提升了，解題的方法也就變多了，思維能力和創新能力也就潛移默化地提升了.

[?] 觀察特值，合情推理

通過對特殊點和特殊值的觀察加上大膽猜測和合情推理往往可以獲得意外的驚喜，該方法常應用于選擇題或填空題的解答中，借助于特值可以有效簡化解題步驟，提升解題效率.

對于最值產生的位置往往是圖形中的特殊位置，因此求x+y的最大值，可嘗試利用特殊值進行合情猜測. 本例題中，顯然點C若在端點A或端點B上就是在兩特殊點上：當點C在端點A或端點B時，此時x+y=1;當∠AOC=α（α<60°），則=x+y中的x>;1，故x+y>1，同時存在另一點D，使∠BOD=120°-α，與點C對應，所得的x+y的值相等. 故可以猜測當點C在弧AOB的中點E時，恰好=+，此時x+y=2為最大值.

因結果是合情推理得到的，存在一定的主觀性，不具備說服力，因此得出結論后應進一步進行驗證. 觀察點C的運動規律可知，當點C從點A運動到中點E時，x+y的值從1遞增到2;當點C從中點E運動到點B時，x+y的值從2遞減到1，所以x+y=2為最大值.

求解本例題時先從端點出發，求得x+y=1，接下來根據中點得到了x+y=2，通過觀察和分析可知x+y的值是先增后減的，故得最值. 數學中許多性質和結論的得出都需要經歷特值的觀察、猜想和推理，進而從特殊中總結和歸納出一般的規律. 觀察最具直接性，因此在數學教學中必須多鼓勵學生觀察，培養學生的直覺思維.

觀察能力直接影響著學生解決問題的能力，因此提升學生的觀察能力勢在必行. 對觀察能力的培養還需要注意以下幾點：

（1）培養觀察興趣. 在培養學生觀察興趣時要控制好“量”和“度”，要注重潛移默化的滲透而非機械灌輸. 教學中可以引導學生通過類比、對比、實踐等數學活動體驗觀察在簡化解題過程、拓展解題思路等方面的重要應用，讓學生認識到觀察能力的重要性，從而使被動觀察向主動觀察過渡，培養學生的觀察興趣.

（2）指導學生會觀察.觀察是具有目的性和針對性的，絕非蜻蜓點水的簡單閱讀，要發揮出思考在觀察中的重要作用，從而使觀察更加全面、更加高效.

（3）引導學生會總結. 總結與反思是數學學習的重要一環，只有重視總結和反思才能將經驗轉化為能力. 在培養學生觀察能力時也應引導學生總結和反思，進而將觀察經驗和觀察結果轉化為觀察能力，使之與其他思維能力融會貫通，促進學生提升解題能力.

總之，觀察能力的培養離不開日常教學中的滲透，教師在教學中應引導學生有目的性、針對性地觀察，從而提高觀察能力的準確性和深刻性，促進學生提升解題能力.