數列前n項和問題的有效解題突破研究

張云

摘要：數列求和問題是高中階段學生所要解決的一大重要問題，如何幫助學生理解掌握數列求和常見的幾種方法，并讓其可以根據具體的解題情況進行靈活選擇，就成為數學教師所要研究的內容。本文對數列前n項和問題的有效解題突破方法進行了論證研究。

關鍵詞：高中數學;前n項和;一題多解;一題多變

在高中數學教學中，數列是教學的重難點章節，這一部分內容在邏輯理解和分析推理方面對學生有著較高的要求，學生在實際的學習解題過程中也常常會反饋數列知識難以掌握、數列題目難以解答。教師若想幫助學生解決數列問題，就需要能從解題教學入手。筆者重點針對數列前n項和的問題進行具體的分析研究，嘗試著提出突破方法。

一、數列前n項和問題的價值分析

數列前n項和問題是數列問題的重難點，也是高考的易考點，學生需要能通過高中數學學習的進行掌握這一類問題的求解方法。為了幫助學生進行有效的學習，達成高考的考察要求，作為高中教師就需要能圍繞著數列前n項和進行設計，構建有效的教學方案，幫助學生掌握數列求和問題的基本解法。

二、幫助學生實現問題突破的方法

（一）結合教學展示，解析常見解題方法

在當前，在數列求和問題的解決上，常用的方法有六種，分別為公式法、分組化歸法、并項轉化法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、這六種方法都可以達成數列求和問題的解決，但其應用情境也不同。若學生可以牢固的掌握這六種數學方法的概念及原理，并能靈活的使用其進行解題，學生的解題能力就可以得到有效的發展。接下來，筆者將對這六種方法進行簡要解析。

1.公式法。公式法也可以被稱為利用常用求和公式求和，這一方法是進行數列求和問題解決的最基本也是最重要的方法。若想實現這一方法的有效運用，學生需要能對等差數列和等比數列的求和公式進行牢固的掌握。在教學實際中，教師就可以使用多媒體解析展示的方法，將其作為一種解題方式，為學生展示其應用流程與注意事項。首先是公式的基礎展示，教師還要要求學生注意，在進行等比數列前n項和求值時，需要特別注意公比q是否為1.如果不能確定q的值，就需要能對其進行分情況討論。

2.分組化歸法。這一求和方法主要面對一系列特殊的數列，這些數列既不是等差數列，也不是等比數列，若直接對其進行計算是難以得出結果的。而這些數列的特殊指出在于將其適當拆開時，可以將其劃分為幾個等差、等比數列。此時再利用公式法將其分別求和，而后將公式相加，幾何求解出最終結果。在面向這一方法進行展示解析時，教師可以給出題目，引導學生觀察分析。

3.并項轉換法。這一方法是在數列求和的過程中，將某些項分組合并后再轉化為特殊數列再求和的方法。使用這一方法進行解題時，需要注意對所分項數的奇偶進行討論。教師在進行這一解題方法的展示時，需要能給出例題，引導學生觀察思考解題的具體流程，進而加深學生的印象。

4.倒序相加法。該方法即教材中推理等差數列求和公式所使用的方法，從特征上來描述，可以理解為：若果一個數列，與首項和末項等距的兩項之和等于首末兩項之和，則可以用把正著寫和倒著寫和的兩個和式相加，就得到了一個常數列的和，這一求和方法被稱為倒序相加法。從數列特征上來分析，其可以表示為a1+an=a2+an-1。

5.錯位相減法。這一方法可以用來進行數列{an·bn}的前n項和，其中{an}、{bn}分別是等差數列（公差不為0）和等比數列（公比不為1）.簡而言之，這一方法是與解決哪些有等差和等比數列通過相乘或相除關系組成的新數列的求和問題。

6.裂項相消法。這一方法的應用是分解組合思想的應用延伸，其實質是將數列中的每一項進行分解，而后再通過組合的方式消去一些項，進而達成求和的目的。在教學實際中，為了幫助學生理解掌握這一方法，教師可以為學生展現幫助學生進行分析

在完成具體求和方法的展示之后，教師需要能引導學生對六種方法進行對比分析，研究其具體差異性，加深其認識。

（二）精選練習題目，引導學生解答分析

解題是一個實踐的過程，為了幫助學生真正的掌握數列前n項和問題的解答方法，教師在教學實際中需要能精選數列求和的練習題目，引導學生對題目的解答方法進行研究，進而幫助其進行掌握。在題目資源的獲取上，教師可以通過校內資源檢索的方式將輔導書運用起來，也可以通過網絡檢索的方式訪問一些資源站點，獲取教學所需的資源。需要注意的是，為了讓學生更好的認識到數列求和的問題，加強學生的學習動力，教師可以選擇一些高考題目，運用這些題目讓學生在獲得解題能力發展的同時，認識到高考對于數列求和問題的考察頻次，提升學生的知識重視程度。

1.并項轉換法。在進行這一方法的解題運用時，教師要能讓學生明確該方法在運用過程中對n進行分情況討論的必要性，可以出兩個變式題目，通過這兩個題目的解決，學生就可以實現并項轉換法的基本掌握。

2.倒序相加法。教師在進行倒序相加法的教學時，可以先為學生展示例題，引導學生觀察例題的特點，在此基礎上，教師再從倒序相加法的應用入手引導學生進行思考，分析運用其進行解答的方法。

3.錯位相減法。設等差數列{an}的前n項和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1，求數列{an}的通項公式;

設數列{bn}滿足，n∈N*，求{bn}的前n項和Tn。

通過這一題目的展示與引導解答，教師就可以讓學生對錯位相減法進行感悟，進而達成有效的知識掌握。

4.裂項相消法。求數列的前n項和Sn。

面對這一題目，教師可以引導學生從化簡入手，將這一復雜的數列轉化為較為清晰的通項格式，而后再使用裂項相消的方法達成解答。

（三）設置一題多解，拓展學生解題思維

對于部分數列題目而言，其可以使用多種方法進行解答，而學生通過對多種解法進行思考的過程，其能力也就可以得到有效的發展培養，解題思維也能得到拓展。相應的，教師在教學實際中，就可以選擇一些一題多解的習題，引導學生對其進行解答感悟。

綜上所述，數列前n項和問題是學生所要面對的重要高考考點，為了幫助學生實現相應內容的突破，發展學生的能力，教師在教學實際中需要能對自己的教學做出調整，將對應解題方法的教學重視起來。

參考文獻：

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