初中數學：數學建模背后的模型教學意蘊

萬霞

[摘 ?要] 數學學科核心素養中的數學建模與核心素養所強調的關鍵能力之間存在著一些需要厘清的關系. 數學教師有一個重要的任務，那就是運用數學建模思想去認識并把握模型教學的意蘊. 數學建模的落地與數學建模是一個結果與過程的關系，認識到這種關系的存在，那么數學教師在教學中應當有模型教學的思路. 考慮到數學建模過程的復雜性，模型教學應當是一個以數學建模要素引領、以學生體驗為主的數學建模過程. 模型教學對于學生的意義分為宏觀與微觀兩個層面：從宏觀層面上來看，模型教學能夠更加充分地凸顯學生的主體性;從微觀層面上來看，模型教學能夠將數學要素更加完整地體現出來，學生所經歷的學習過程也就是數學思想方法更加充分運用以及數學思維更加充分激活的過程.

[關鍵詞] 初中數學;數學建模;模型教學

當數學學科核心素養明確數學建模是其組成要素之一后，數學教師一般不會感覺意外，這是因為在數學教學中，歷來就有重視數學建模的傳統. 但是將數學學科核心素養與核心素養結合起來看，在認識到后者是前者的上位概念的同時，還應當認識到數學學科核心素養中的數學建模與核心素養所強調的關鍵能力之間存在著一些需要厘清的關系. 數學教師只有厘清這種關系，才能把握數學建模的精髓，才能認識到數學建模背后有一個重要的意蘊，那就是模型教學.

在傳統的初中數學中，模型教學是教師普遍采用的一種教學方法（這在客觀上說明模型教學其實是可以作為教學方式方法存在的），這種方法可以讓學生更好地理解數學知識之間的關系，更好地掌握數學知識，提高數學思維能力. 更有一線的實踐者總結出了教師在實施模型教學時應注重的幾個地方，即數學語言的轉換，構建數學知識結構，感悟數學模型與實際的關系，強調要講清模型特點并且讓學生體會從多角度思考問題，同時也強調教師在實施模型教學時應該抓住數學教學的核心內容，不可讓學生生搬硬套，偏離數學本質. 將這樣的觀點放置在核心素養的視角下，筆者以為數學教師有一個重要的任務，那就是運用數學建模的思想去認識并把握模型教學的意蘊.

數學建模的落地依賴模型教學

所謂數學建模，說得通俗一點就是建立數學模型. 當然在建立數學模型的過程中，還涉及其他一些要素，比如數學抽象，且必然涉及一些數學思想方法的運用，除此之外，還涉及數學語言的理解與運用. 因此數學建模實際上是一個綜合性非常強的過程. 要想將數學建模在教學中變成實際，首先依賴的就是模型教學. 如果教師不能給學生設計一個數學建模要素相對齊全的學習過程，那么學生自然就無法經歷一個數學建模的過程，數學建模作為數學學科核心素養要素之一，也就不可能真正落地.

數學建模的落地與數學建模是一個結果與過程的關系，認識到這種關系的存在，那么數學教師在教學中就應當有模型教學的思路. 考慮到數學建模過程的復雜性，模型教學應當是一個以數學建模要素引領、以學生體驗為主的數學建模過程. 與此同時，教師還要認識到初中數學已經日益重視培養學生的創新能力和應用能力，這種能力也可以理解為核心能力. 而基于這些能力培養的需要，數學建模也可以成為一種很好的學習方法. 通過數學建模將生活中的案例轉變成具體的數學問題，然后建立相應的數學模型以解決實際問題，這就可以很好地培養學生的思維能力.

應當說數學建模的落地過程，是一個日積月累的過程，在選擇不同的知識點進行數學模型教學時，教師可以側重通過數學建模過程中的不同重點來優化學生數學建模過程中的重要環節. 這樣的一個過程，本質上也是模型教學設計與實施的過程，而在這個過程中存在的邏輯關系客觀上也證實了數學建模的落地必然依賴模型教學.

從數學建模思想到模型教學實踐

在核心素養的視角下，理解數學建模在數學教學中的地位，可以從兩個層面進行：從數學思想方法的角度來看，模型思想是《義務教育數學課程標準（2011年版）》中的核心理念之一，其作為一種基本思想，與數學教學的目標、內容密切相關. 因此作為初中數學教師，必須準確把握課程標準對模型思想的要求，并且落實到課堂教學之中. 從教學方法與策略的角度來看，模型教學是借助具體的數學概念或規律（從廣義的數學建模概念的角度來看，數學概念與規律的教學，本質上也屬于數學建模的教學）而生成知識體系的過程，先讓學生體驗數學思想方法的運用，然后讓學生用數學語言去概括數學現象或規律，進而形成一種模型化認識的過程. 有了這兩個層面的理解，那么在具體的教學過程中就可以走出一條從數學建模思想到模型教學的實踐過程.

例如，“一元一次方程”在初中數學知識體系中，具有重要的基礎性地位. 當學生掌握了一元一次方程的精髓后，就會發現其是解決很多生活問題與數學問題的基本工具;當學生遇到相關問題，大腦就會下意識地想到一元一次方程，這實際上就是一種模型化的存在. 因此可以將一元一次方程的教學，設計成一個模型教學的過程. 具體來說，應當有這樣幾個環節：

第一環節：借助生活問題，引導學生進行數學抽象.

比如：甲乙兩人同時從同一地點沿同一路徑出發，甲的速度是每小時7千米，乙的速度是每小時6千米. 如果甲比乙早一個小時經過某地，那么出發點距離該地的路程是多少？

這既是一個生活問題，又是一個數學問題. 部分學生在解決這個問題時，最先想到的是算術方法，盡管這個方法比方程來得復雜，但是教師完全可以讓學生先用算術方法解決這個問題，再與運用方程解決問題的過程相比較. 在比較過程中，學生就容易發現方程的優越性. 而運用方程解決問題時，學生基于原有的經驗會設所求路程為x千米，然后借助“時間等于路程除以速度”這樣一個關系，得出-=1以求解.

第二環節：反思解決問題的過程，認識方程在解決問題過程中的價值.

反思可以在比較的過程中進行，比較的對象就是算術方法與方程方法. 通過比較，學生會認識到在類似的問題中，如果設出一個未知數，再借助一個等量關系，就可以較順利地解決問題. 而且這種解決問題的方法往往更加“合理”（這是學生判斷時的原話）. 學生的話，反映出他們更加認同運用方程解決問題這一思路，也反映出他們認識到了方程在解決問題的過程中體現的價值.

第三環節：通過變式訓練，強化學生對一元一次方程的模型認識.

變式訓練主要指對不同問題的解決，初中學生依據自己的判斷比較能力，能夠在解決不同問題的過程中，強化對一元一次方程的認識. 這種認識有可能使得學生將一元一次方程當成解決類似問題的基本工具. 從“實際問題”到“設未知數”，再到“列方程”，也就容易成為一種相對固定的思路，這種“固定”就是直覺，就是模型化的體現.

模型教學實現數學建模思想落地

在上述例子中，學生的學習過程是比較順暢的. 從問題的提出到問題的解決，學生經歷了數學抽象、邏輯推理等過程. 數學抽象主要體現在實際問題數學化的過程中，邏輯推理則主要體現在運用未知數列方程并對方程進行求解的過程中. 尤其是在學生總結出解決類似問題的基本模式后，再用數學語言描述出這樣的過程，這實際上就是一個一元一次方程的模型得以成型的過程. 因此這是一個數學建模要素比較齊全的模型教學.

模型教學對學生的意義分為宏觀與微觀兩個層面：從宏觀層面上來看，建模教學能夠更加充分地發揮學生的主體性，可以讓學生走出機械的數學知識學習與解題的窠臼，從而更加準確地把握數學學科的本質，這奠定了數學學科核心素養落地的基礎;從微觀層面上來看，模型教學能夠將數學要素更加完整地體現出來，學生所經歷的學習過程也就是數學思想方法更加充分運用以及數學思維充分激活的過程. 很多容易模糊的認識在這樣的模型教學中都會變得更加清晰——這尤其體現在數學語言的運用上. 作為數學建模的臨門一腳，學生能否用準確的數學語言來概括自己的發現，從而讓模型變得準確、精煉，這是數學模型教學質量的一個重要評價因素.

著名數學家華羅庚曾經指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學.”數學教學的成功，很大程度上取決于學生對數學的感知，而這又決定于教師提供給學生的學習過程. 由此來看，初中數學教師在把握數學建模思想的基礎上，立足模型教學，可以為核心素養的培育探尋出一條有效的路徑.